山西省太原市西谷鄉(xiāng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省太原市西谷鄉(xiāng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量，，若與共線，則等于（

）A．；

B．

C．

D．參考答案：C2.在等差數(shù)列{an}中，已知a5=3，a9=6，則a13=（） A．9 B．12 C．15 D．18參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出2a9=a5+a13，然后將值代入即可求出結(jié)果． 【解答】解：∵{an}是等差數(shù)列 ∴2a9=a5+a13 a13=2×6﹣3=9 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)可以提高做題效率．屬于基礎(chǔ)題． 3.已知a+b+c=0,ab+bc+ac的值()A．大于0

B．小于0

C．不小于0

D．不大于0參考答案：D4.已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則b的值等于（

）A. B. C.2 D.±2參考答案：B【分析】由為冪函數(shù)，即可得到的值，計(jì)算出，且經(jīng)過的定點(diǎn)，代入中，即可得到的值?！驹斀狻坑捎跒閮绾瘮?shù)，則，解得：，函數(shù)，且，當(dāng)時，，故的圖像所經(jīng)過的定點(diǎn)為，所以，即，解得：,故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義以及函數(shù)恒過點(diǎn)點(diǎn)的問題，屬于基礎(chǔ)題。5.記I為虛數(shù)集，設(shè)，，。則下列類比所得的結(jié)論正確的是（

）A．由，類比得B．由，類比得C．由，類比得

D．由，類比得參考答案：C略6.定點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.直線的傾斜角是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D8.將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B. C.(5,5) D.(－5,－5)參考答案：A本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A9.5名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的4個課外知識講座，每個同學(xué)可自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是（

）

A．54

B．45

C．5×4×3×2

D．5×4參考答案：B略10.雙曲線中，已知，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．參考答案：A【知識點(diǎn)】雙曲線【試題解析】因?yàn)橛蓾u近線方程得得

所以，離心率為

故答案為：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分對?yīng)值如下表：的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)的命題：①函數(shù)的值域?yàn)?；②函?shù)在上是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈時，的最大值是2，那么t的最大值為5；④當(dāng)1<a<2時，函數(shù)有4個零點(diǎn)．其中真命題為________(填寫序號)．參考答案：②③試題分析：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．結(jié)合表格可得函數(shù)f（x）的圖象：由圖象可得：①函數(shù)f（x）的值域?yàn)?，正確；②函數(shù)f（x）在上是減函數(shù)，正確；③如果當(dāng)x∈時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5，因此不正確；④當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個零點(diǎn)，正確．綜上可得：正確命題的個數(shù)為：3考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用12.若，且，則__________．參考答案：1113.將5個相同的小球放到4個不同的盒子里，每個盒子里至少放一個小球，共有_____種放法參考答案：4

略14.一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1,一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是______參考答案：.解：一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1，一個面上標(biāo)以數(shù)2．將這個小正方體拋擲2次，向上的數(shù)之積可能為ξ=0，1，2，4，15.如圖，有組數(shù)據(jù)，去掉

組（即填A(yù)，B，C，D，E中的某一個）后，剩下的四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大。

參考答案：D組16.已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為______參考答案：1817.若曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線和曲線也相切，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)P（4，0）且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍.參考答案：（1）；（2）試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，若焦點(diǎn)明確，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合條件用待定系數(shù)法求出的值，若不明確，需分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況討論；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.試題解析：解：（1）由題意知，.又雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓的方程為.（2）若直線的傾斜角為，則，當(dāng)直線的傾斜角不為時，直線可設(shè)為，，由設(shè)，，，，綜上所述：范圍為.考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的綜合問題.19.（本大題滿分12分）直三棱柱中，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．參考答案：解：（Ⅰ）直三棱柱中，，

又可知，………2分由于，則由可知，，……4分則

所以有平面

……………6分（Ⅱ）直三棱柱中，，…….8分因?yàn)椋訟BC面積為................10分.............12分略20.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，m的值；（Ⅱ）求在區(qū)間[1,2]上的最值.參考答案：（Ⅰ）最大值為，最小值為.（Ⅱ）最大值為－2，最小值為.【分析】（Ⅰ）切點(diǎn)在函數(shù)上，也在切線方程為上，得到一個式子，切線的斜率等于曲線在的導(dǎo)數(shù)，得到另外一個式子，聯(lián)立可求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅱ）函數(shù)在閉區(qū)間的最值在極值點(diǎn)或者端點(diǎn)處取得，通過比較大小可得最大值和最小值.【詳解】解：（Ⅰ），∵曲線在處的切線方程為，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，則，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，∴在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與切線方程的關(guān)系以及利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問題.21.在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)．(1)求圓心的極坐標(biāo)；(2)求{－1,0}面積的最大值．參考答案：（1）；（2）?！痉治觥浚?）先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(x－1)2＋(y＋1)2＝2，再把圓心的坐標(biāo)化為極坐標(biāo).(2)先求出弦長AB,再求點(diǎn)P到直線AB距離的最大值，即得面積的最大值.【詳解】(1)圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圓心坐標(biāo)為(1，－1)，圓心極坐標(biāo)為.(2)直線l的普通方程為2x－y－1＝0，圓心到直線l的距離d＝，所以|AB|＝2＝，點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為，故最大面積Smax＝.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查弦長的計(jì)算、圓和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)求圓的弦長經(jīng)常用到公式.（3）解答本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合求出點(diǎn)P到直線AB的最大值.22.已知橢圓的焦距為，短半軸長為2，過點(diǎn)P（﹣2，1）斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求弦AB的長．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=b2+c2，聯(lián)立解得即可得出．（2）直線l的方程為：y﹣1=x+2，即y=x+3．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．與題意方程聯(lián)立化為：4x2+18x+15=0，利用弦長公式|AB|=即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=