自動控制原理2

1本章重點線性系統微分方程的建立；運用拉氏變換法求解線性微分方程；傳遞函數的概念和性質；傳遞函數和微分方程之間的關系；結構圖的繪制及其等效變換；結構圖和信號流圖的關系；梅遜公式。2本章難點運用綜合的基礎知識(如電子、機械、物理等知識)建立正確的微分方程；(2)建立系統的結構圖或信號流圖；(3)結構圖和信號流圖等效變換的靈活運用；(4)建立系統的動態(tài)方程。3第二章線性系統的數學模型物理模型—理想化的物理系統數學模型—物理模型的數學描述建?！⑵鸨容^簡單又能反映實際物理過程的模型。

建模的線性化問題

兩種基本方法：機理分析法和實驗辨識法。求解觀察線性微分方程性能指標傳遞函數時間響應頻率響應拉氏變換拉氏反變換估算估算計算傅氏變換S=jω頻率特性4§2.1線性系統的輸入—輸出時間函數描述§2.2線性系統的輸入—輸出傳遞函數描述§2.3典型環(huán)節(jié)的數學模型§2.4控制系統的結構圖及其等效變換§2.5自動控制系統的傳遞函數第二章線性系統的數學模型5第二章線性系統的數學模型§2.1線性系統的輸入—輸出時間函數描述

系統的輸入—輸出描述：是一種外部描述，目的在于通過該數學模型確定被控制量與給定量或擾動量之間的關系。一、列寫微分方程法（機理分析法）1.線性元件的微分方程(1)確定輸入量、輸出量和擾動量，并根據需要引進一些中間變量。(2)根據物理或化學定律，列出微分方程。(3)消去中間變量后得到描述輸出量與輸入量(包括擾動量)關系的微分方程（標準形式）。6

微分方程中含有時間、輸出量、輸入量及它們的各階導數。

微分方程又稱為動態(tài)方程或運動方程。系統的階數微分方程的階數微分方程中最高階導數項的階數7負載效應的概念

單個元件不具有、而若干個元件聚在一起時所具有的某些現象，稱為負載效應。例電阻電感電容組合諧振現象8

單輸入—單輸出線性定常系統的微分方程式：系統的輸入量；系統的輸出量；系統的結構參數9

用解析法列寫微分方程的一般步驟：分析系統的原理，確定系統和各元件的輸入量和輸出量；根據各元件所遵循的基本定律列寫微分方程組，同時要注意負載效應的影響；消去中間變量，求出描述系統輸入量與輸出量關系的微分方程，該方程只含有系統的輸入、輸出及其各階導數；10對微分方程進行整理和化簡，輸出變量及其各階導數放在等號左邊，輸入變量及其各階導數放在等號右邊，各自都按照導數的降階排列。112.1.1電氣網絡系統電氣網絡無源網絡有源網絡只含無源器件電阻電感電容包含有源器件電源放大器12電阻、電容、電感兩端電壓與電流的關系電阻電容電感13[例2-1]如下圖所示的RLC串聯電路，

為輸入，

為輸出，建立該電路的微分方程。14[解]假設回路電流為，如圖所示。根據基爾霍夫回路電壓定律，有15即這里的是中間變量，需要消去，依據：代入得：16令：再令：于是微分方程還可寫為：二階線性定常系統17[例2-2]由理想運算放大器組成的電路如圖所示，-+A電壓為輸入量，電壓為輸出量。建立該電路的微分方程。18[解]理想運算放大器正、反相輸入端的電位相同，且輸入電流為零。根據基爾霍夫電流定律，對A點有整理后得或一階線性定常系統192.1.2機械系統機械系統中的三種理想化要素質量彈簧阻尼器描述機械系統20質量要素運動方程21彈性要素運動方程彈性系數22阻尼要素運動方程粘性阻尼系數23慣性要素運動方程角速度24做直線運動的物體應遵循牛頓第二定律做轉動運動的物體應遵循牛頓轉動定律線位移角位移力矩轉動慣量25做直線運動的物體所受的摩擦力滿足恒值摩擦力又稱庫侖摩擦力粘性摩擦力粘性阻尼系數26做轉動運動的物體所受的摩擦力矩滿足恒值摩擦力矩粘性摩擦力矩粘性阻尼系數27[例2-3]機械平移系統如圖所示，輸入量輸出量寫出系統的運動方程。28[解]取垂直向下為正方向，當時，物體的平衡位置為位移的零點。該物體受到四個力的作用，分別為：外力彈簧的彈力粘性摩擦力重力正方向正方向負方向負方向29根據牛頓第二定律可得：

------時物體處于平衡狀態(tài)下彈簧的伸長量30整理得：二階線性定常系統重力對物體的運動沒有影響。31[例2-4]一個機械轉動系統如圖所示，粘性摩擦力矩負載阻力矩粘性摩擦系數主動外力矩輸入量分別以和為輸出量列寫微分方程。32[解]根據牛頓轉動定律可得其中于是又因為，于是332.1.3機電系統機電系統機械和電磁元件組合在一起并相互作用的系統稱為機電系統。機械能電能相互轉換與磁場有關34[例2-5]電樞控制式直流電動機系統如圖所示，+-35設電樞電壓為輸入量，電機轉速或轉角為輸出量，列寫微分方程式。[解]列寫原始方程式根據基爾霍夫電壓定律得：反電動勢電勢系數36由以上兩式得：電機軸上的轉矩平衡：電機軸上的電磁轉矩折算到電機軸上的等效負載轉矩折算到電機軸上的等效轉動慣量37電機轉動慣量負載轉動慣量減速器傳動比38檢查中間變量

和是中間變量，電機軸上的電磁轉矩電樞電流電動機轉矩系數39消去中間變量已得方程式消去和40令機電時間常數電樞回路電磁時間常數41則方程式可寫為以電機軸角速度為輸出量的微分方程式輸入信號擾動二階線性定常系統42若以為輸出，則由于，則微分方程式可寫為：三階線性定常系統43根據式在靜態(tài)時有負載對轉速的穩(wěn)態(tài)值有影響，稱為負載效應。44線性系統滿足疊加原理，可以將和兩個輸入分開研究。當時45若，則可忽略的影響，方程式可簡化為電機的傳遞系數46當時忽略的影響，47系統的總輸出為48第二章線性系統的數學模型2非線性方程的線性化

非線性方程難于求解，用線性數學模型近似表示非線性數學模型。在一定工作范圍內進行線性化處理。將非線性函數在平衡點附近展成泰勒級數，并忽略高次項。例：直流發(fā)電機X軸表示勵磁電流Y軸表示輸出電勢由于存在磁路飽和，y和x呈非線性關系y=f(x)可以在(x0,y0)附近泰勒級數

49第二章線性系統的數學模型忽略高次項，然后用增量表示是比例常數。經上述處理后，就變成了線性方程。50第二章線性系統的數學模型對于具有兩個自變量的非線性函數在靜態(tài)工作點y0=(x10,x20)附近展成泰勒級數。用增量表示及是比例常數。51第二章線性系統的數學模型上述方法稱為小偏差線性化方法。它是基于這樣一種假設：輸入量和輸出量只是在靜態(tài)工作點附近作微小變化。幾點注意：(1)只適用于不太嚴重的非線性系統，其非線性函數是可以利用泰勒級數展開的（非本質非線性）。(2)實際運行情況是在某個平衡點(即靜態(tài)工作點)附近，且變量只能在小范圍內變化。(3)不同靜態(tài)工作點得到的方程是不同的。(4)對于嚴重的非線性，例如繼電特性，因為處處不滿足泰勒級數展開的條件，故不能做線性化處理。(5)線性化后得到的是增量微分方程。52第二章線性系統的數學模型二、脈沖響應法（實驗辯識法）描述線性定常系統的微分方程為：實驗辨識方法的理論依據：C(t)=H(t)r(t)假設線性系統是定常的，初始條件為零或初始狀態(tài)為零，其響應和輸入之間滿足齊次和線性關系，即：53第二章線性系統的數學模型給定輸入是單位脈沖函數時實驗辨識基本原理脈沖函數的表達式為：A為脈沖面積或脈沖強度。脈沖強度A=1時的脈沖函數記為，令并求取極限，則稱為單位脈沖函數。，令54第二章線性系統的數學模型零初始條件的線性定常系統的輸入δ(t)，得到的輸出稱為系統的單位脈沖響應，也稱為權函數，記作g(t)。55第二章線性系統的數學模型§2.2線性系統的輸入—輸出傳遞函數描述為什么采用傳遞函數來描述？微分方程描述不直觀、求解困難。線性常微分方程經過拉氏變換，即可得到系統在復數域中的數學模型，稱之為傳遞函數。將單位脈沖響應g(t)的曲線轉換成相應的傳遞函數。表示其輸入輸出關系。56第二章線性系統的數學模型R(s)輸入r(t)的像函數，即輸入函數的拉氏變換；C(s)輸出c(t)的像函數，即輸出函數的拉氏變換。傳遞函數——初始條件為零的線性定常系統輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。也稱為頻（率）域描述。

幾點說明：只適用于線性定常系統。是系統的動態(tài)數學模型。分母的階數一定高于分子的階數。(為什么？）有慣性元件和受到功率的限制57第二章線性系統的數學模型客觀物理世界的基本屬性，它反映了一個基本事實：一個物理系統的輸出不能完全復現輸入信號，只有經過一定的時間過程后，輸出量才能達到輸入量所要求的數值。一個傳遞函數只能表示一個輸入量對一個輸出量的關系。單輸入-單輸出系統，若多輸入多輸出要采用傳遞函數矩陣。傳遞函數可以表示成有理分式，也可以表示成零極點表示的形式。也可以表示成時間常數的形式K值具有量綱也稱為傳遞系數58第二章線性系統的數學模型7.分子分母的系數都是實數，所以如果有復數零極點則必為共軛復數。式中，59第二章線性系統的數學模型復習－拉氏變換（Laplacetransform）

拉氏變換的定義t<0時f(t)=02.幾個簡單的函數的拉氏變換單位階躍指數函數60第二章線性系統的數學模型余弦函數61第二章線性系統的數學模型單位斜坡函數

3.拉氏變換的一些性質線性性質疊加性質62第二章線性系統的數學模型延遲性質像函數（復域）的微分相似定理本函數（時域）的微分63第二章線性系統的數學模型例：復域延遲性質例：已知64第二章線性系統的數學模型終值定理：有存在的條件f(t)及其導數是可拉氏變換的，且要sF(s)在虛軸（除原點）和右半平面上沒有極點。初值定理：卷積定理：已知函數f(t)和g(t)，其卷積定義為65第二章線性系統的數學模型3.拉氏反變換求本函數（1）部分分式分解法極點的幾種情形：都是一階實極點。66第二章線性系統的數學模型例：已知：計算f(t)

重的一階實極點67第二章線性系統的數學模型含有共軛極點。2.留數方法（略）

微分方程是時域中的數學模型，傳遞函數是采用L[]法求解微分方程時引申出來的復頻域中的數學模型，它不僅可以表征系統的動態(tài)性能，而且可以用來研究系統的結構和參數變化時對系統性能的影響，是經典控制理論中最重要的模型。輸入與輸出之間的關系僅取決于電路的結構形式及其參數（固有特性）,與輸入的具體形式無關，無論輸入如何，系統都以相同的傳遞作用輸出信息或能量。傳遞函數是代數式，其傳遞作用還經常用方框圖直觀的表示：傳遞函數的實際意義G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)傳遞函數的性質

(a)傳遞函數是一種數學模型，與系統的微分方程相對應。

(b)傳遞函數是系統本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質無關。

(c)傳遞函數只適用于線性定常系統，因為拉氏變換是一種線性變換。(d)傳遞函數描述的是一對確定的變量之間的傳遞關系，對中間變量不反應。(e)傳遞函數是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統的運動情況。（零狀態(tài)解）(f)傳遞函數一般為復變量s的有理分式，它的分母多項式是系統的特征多項式，且階次總是大于或等于分子多項式的階次，即nm。并且所有的系數均為實數。(g)傳遞函數與脈沖響應一一對應，是拉氏變換與反變換的關系。

系統辨識

70第二章線性系統的數學模型§2.3典型環(huán)節(jié)的數學模型典型環(huán)節(jié)：運動規(guī)律相同，具有相同的數學模型。

一、比例環(huán)節(jié)K稱為比例系數或放大系數，有時也稱為環(huán)節(jié)的增益。二、慣性環(huán)節(jié)τ－時間常數，K－比例系數輸出量不能立即跟隨輸入量變化。存在時間上的延遲?？梢杂忙觼砹慷取?1第二章線性系統的數學模型對慣性環(huán)節(jié)輸入單位階躍信號并且具有零初始條件時，其輸出量y(t)為：72第二章線性系統的數學模型三、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為積分環(huán)節(jié)在單位階躍輸入下的響應K－比例系數，T－積分時間常數。73第二章線性系統的數學模型四、微分環(huán)節(jié)，

τ—時間常數。

純微分

一階微分二階微分74第二章線性系統的數學模型輸入是單位階躍響應，即r(t)=1(t)，則輸出的單位階躍響應為：幾個實際微分的例子RC串聯電路τ＝RC

—時間常數75第二章線性系統的數學模型實際的比例微分電路76第二章線性系統的數學模型五振蕩環(huán)節(jié)彈簧阻尼系統的傳遞函數為：機械旋轉系統的傳遞函數為：RLC電路的傳遞函數為：振蕩環(huán)節(jié)的微分方程為傳遞函數為：77第二章線性系統的數學模型設0<ζ<1，K=1,輸入信號r(t)=1(t)，R(s)=1/s，求階躍響應。令無阻尼自然振蕩頻率阻尼自然振蕩頻率78第二章線性系統的數學模型如果令79振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應第二章線性系統的數學模型80第二章線性系統的數學模型六、純滯后環(huán)節(jié)輸出信號比輸入信號遲后一段時間。c(t)=r(t-τ)τ－滯后時間常數。得到傳遞函數1.結構圖的定義

定義:由具有一定函數關系的環(huán)節(jié)組成的，并標明信號流向的系統的方框圖，稱為系統的結構圖。

§2-4控制系統的結構圖及其等效變換

一、結構圖的基本概念

下圖為討論過的直流電動機轉速控制系統，用方框圖可描述其結構和作用原理，但卻不能定量分析，有了傳遞函數的概念后，就可迎刃而解。放大器電動機測速機urufuae+-

轉速控制系統由三個環(huán)節(jié)（元件）構成，把各元件的傳遞函數代入相應的方框中，并標明兩端對應的變量，就得到了系統的動態(tài)結構圖。

用G(s)代替相應的元件，好處：補充了方框中各變量之間的定量關系，既能表明信號的流向，又直觀的了解元件對系統性能的影響；因此，它是對系統每個元件功能和信號流向的圖解表示，也就是對系統數學模型的圖解表示。Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+P34，ML＝0

2.結構圖的基本組成

1）畫圖的4種基本元素

信號傳遞線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，傳遞線上標明被傳遞的信號。指向方框表示輸入，從方框出來的表示輸出。r(t),R(s)

分支點

表示信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號在數值和性質方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)

方框

表示對輸入信號進行的數學運算。方框中的傳遞函數是單向的運算算子，使得輸出與輸入有確定的因果關系。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加點對兩個以上的信號進行代數運算，“+”號表示相加，“”號表示相減。外部信號作用于系統需通過相加點表示。2）結構圖的基本作用：

(a)簡單明了地表達了系統的組成和相互聯系，可以方便地評價每一個元件對系統性能的影響。信號的傳遞嚴格遵照單向性原則，對于輸出對輸入的反作用，通過反饋支路單獨表示。

(b)對結構圖進行一定的代數運算和等效變換，可方便地求出整個系統的傳遞函數。

(c)s=0時，表示的是各變量間的靜態(tài)特性，否則，動態(tài)特性。結構圖的繪制步驟

(1)列寫每個元件的原始方程（保留所有變量，便于分析），要考慮相互間負載效應。

(2)設初始條件為零，對這些方程進行拉氏變換，得到傳遞函數，然后分別以一個方框的形式將因果關系表示出來，而且這些方框中的傳遞函數都應具有典型環(huán)節(jié)的形式。

(3)將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成完整的結構圖。

例

畫出下圖所示RC網絡的結構圖。

R

C

u1

u2

解：(1)列寫各元件的原始方程式

i(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來得圖。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)二.結構圖的基本連接形式

1.三種基本連接形式

(1)串聯。相互間無負載效應的環(huán)節(jié)相串聯，即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。

故環(huán)節(jié)串聯后等效的傳遞函數等于各串聯環(huán)節(jié)傳遞函數的乘積。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由圖可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去變量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)

(2)并聯。并聯各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數和。

由圖有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+C(s)=C1(s)C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)

故環(huán)節(jié)并聯后等效的傳遞函數等于各并聯環(huán)節(jié)傳遞函數的代數和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+(3)反饋連接

連接形式是兩個方框反向并接，如圖所示。相加點處做加法時為正反饋，做減法時為負反饋。由圖有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式稱為閉環(huán)傳遞函數，是反饋連接的等效傳遞函數。G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定義：G(s)：前向通道傳遞函數

E(s)C(s)H(s)：反饋通道傳遞函數

C(s)B(s)H(s)=1單位反饋系統G(s)H(s)開環(huán)傳遞函數

E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中負反饋時取“+”號，正反饋時取“-”號。2.閉環(huán)系統的常用傳遞函數考察帶有擾動作用下的閉環(huán)系統如圖所示。它代表了常見的閉環(huán)控制系統的一般形式。（1）控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++（2）擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數令R(s)=0有

（3）兩個輸入量同時作用于系統的響應

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++（4）控制輸入下的誤差傳遞函數（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數（6）兩個輸入量同時作用于系統時的誤差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++3.閉環(huán)控制系統的幾個特點

閉環(huán)控制系統的優(yōu)點通過定量分析，更令人信服。（1）外部擾動的抑制——較好的抗干擾能力（2）系統精度有可能僅取決于反饋通道的精度（3）各傳遞函數具有相同的特征方程式。動態(tài)特性相同（固有屬性）與輸入和輸出無關三、

結構圖的等效變換

變換的原則：變換前后應保持信號等效。1.分支點后移GRCRGRC1/GR2.分支點前移GRCCGRCGC4.比較點前移3.比較點后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F5.比較點互換或合并R1CR2++R3R1CR2++R3結構圖的簡化

對于復雜系統的結構圖一般都有相互交叉的回環(huán)，當需要確定系統的傳函時，就要根據結構圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉，然后按方框的連接形式等效，依次化簡。R1CR2+R3100引出點移動G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41101G2H1G1G3綜合點移動G1G2G3H1錯！G2無用功向同類移動G1102G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1RCG1G2G3H1H2練習用結構圖化簡的方法求下圖所示系統傳遞函數。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1

練習用結構圖化簡的方法求下圖所示系統傳遞函數。RG1G2CG3RG1G2CG3解：RG1G2CG3RG1G2CG31/G2107§2-6信號流程圖一、基本概念是一種將線性代數方程用圖形表示的方法。支路有三個特點：聯接有因果關系的節(jié)點；有方向性；有加權性。108二、一些術語和定義節(jié)點：表示變量或信號的點。支路：起源于一個節(jié)點，終止于另一個節(jié)點，這兩個節(jié)點之間不包含或經過第三個節(jié)點。出支路：離開節(jié)點的支路。入支路：指向節(jié)點的支路。源(節(jié))點：只有出支路的節(jié)點，對應于自變量或外部輸入，如x0。匯節(jié)點：只有入支路的節(jié)點，對應于因變量，如x6

。109開通道：如果通道從某節(jié)點開始終止在另一節(jié)點上，而且通道中每個節(jié)點只經過一次，則該通道稱為開通道。通道：又稱路徑，從一個節(jié)點出發(fā)，沿著支路的箭頭方向相繼經過多個節(jié)點的支路?；旌瞎?jié)點：節(jié)點既連接入支路又連接出支路。閉通道：如果通道的終點就是通道的始點，并且通道中每個節(jié)點只經過一次，該通道稱為閉通道或反饋環(huán)、回環(huán)、回路等。如果從一個節(jié)點開始，只經過一個支路又回到該節(jié)點的，稱為自回環(huán)。110前向通道：在開通道中，從源節(jié)點開始到匯節(jié)點終止，而且每個節(jié)點只通過一次的通道，稱為前向通道。不接觸回環(huán)：如果一些回環(huán)沒有任何公共節(jié)點，就稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。支路傳輸：兩個節(jié)點之間的增益。通道傳輸或通道增益：沿通道各支路傳輸的乘積。回環(huán)傳輸或回環(huán)增益：閉通道中各支路傳輸的乘積。三、信號流圖的簡化111混合節(jié)點的消除回路的消除自回路的消除串聯支路的合并并聯支路的合并112四、梅遜(Mason)公式及其應用梅遜公式為：T—從源節(jié)點到任何節(jié)點的傳輸；Pk—第k條前向通道的傳輸；Δ—信號流圖的特征式ΣL1—為所有不同回環(huán)的傳輸之和；ΣL2—為任何兩個不互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；ΣL3—為任何三個不互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；ΣLm—為任何m個不互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；Δk—為余子式，即從Δ中除去與第k條前向通道Pk相接觸的回環(huán)的回路增益后余下的部的特征式。113例1：系統只有一個回路增益為-G2G3H兩條前向通道：其余子式其余子式114三條前向通道：回路增益：L1=-G1G2G3G4H2L2=-G1G6H2L3=-G3H1L2和L3互不接觸，所以特征式為：P1=G1G2G3G4，P2=G3G4G5

P3=G1G6

115R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

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