圓錐曲線切線尺規(guī)作圖方法(東大徐文平)

圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖方法徐文平

東南大學土木工程學院[1]徐文平.圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖法及其簡證[J]，數(shù)學學習與研究，2014.5[2]徐文平.圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點調(diào)和分割定理[J]，數(shù)學學習與研究，2014.7

[3]徐文平.橢圓焦點弦的優(yōu)美性質(zhì)及其簡證[J]，中學數(shù)學研究，2014.5[4]徐文平.花中覓尋蝶影妙證蝴蝶定理[J]，數(shù)學學習與研究，2014.3

命題1：過橢圓Y上一點A，作豎向垂線，與橢圓Y相交于B點，點J、K是橢圓Y的象限點，JA、BK兩條延伸線相交于C點，過C點作豎向垂線，與水平軸交于N點，NA連線就是所求的橢圓切線T1。過橢圓上一點作切線方法

命題2：已知橢圓的斜向割線AB，點J、K是橢圓的頂點，JA、BK交于E點，JB、AK交于F點，確定EF的中點N點，連線NA、NB就是橢圓的切線。過橢圓上一點作切線方法

命題3：已知橢圓Y的一斜向割線AB，作一條過橢圓心O點的任意割線JK，與橢圓Y相交于J、K兩點。JA、BK交于E點，作AK、JB交于F點。確定EF的中點N點，連線NA、NB就是橢圓的切線。

過橢圓上一點作切線方法

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對邊延伸線兩交點調(diào)和分割對角線兩極點。

圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點調(diào)和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內(nèi)接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點為C，對角線LN的極點為D，KM與LN交于Q點，則A、B、C、D四點共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對邊延伸線兩交點調(diào)和分割對角線兩極點。

圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點調(diào)和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內(nèi)接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點為C，對角線LN的極點為D，KM與LN交于Q點，則A、B、C、D四點共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對邊延伸線兩交點調(diào)和分割對角線兩極點。

圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點調(diào)和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內(nèi)接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點為C，對角線LN的極點為D，KM與LN交于Q點，則A、B、C、D四點共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點調(diào)和分割定理

（新定理證明要點）

引理1：二次圓錐曲線的內(nèi)接完全四點形的對邊三點形是圓錐曲線的自配極三點形。

引理2：圓錐曲線中的極線共點于P，則這些極線相應的極點共線于P相應的極線。反之亦然，稱為極點與相應極線對偶性。第一步：通過引理1、2，證明下述3個圖形成立第二步：賽瓦定理和梅涅勞斯定理證明四極點調(diào)和分割第三步：對于內(nèi)接四邊形的對角線特例情況--通過圓心或垂直y軸，進行應用研究

命題4：已知雙曲線的斜向割線AB，點J、K是雙曲線的頂點，JA、BK交于E點，JB、AK交于F點，確定EF的中點N點，連線NA、NB就是雙曲線的切線。（如果JK為過雙曲線中心的任意割線，雙曲線切線做法也成立。）

過雙曲線上一點作切線方法

命題5：已知拋物線的斜向割線AB，點J是拋物線上任意一點，JA與B點豎垂線交于F點，JB與A點豎垂線交于E點，確定EF的中點N點，連線NA、NB就是拋物線的切線。（如果點J是拋物線的頂點，則拋物線切線做法更簡單，此時EF為水平線）過拋物線上一點作切線方法

勒姆柯爾過橢圓外一點P，引四條割線PAiBi（i=1,2,3,4）,直線A1B2與A2B1交于Q點，直線A3B4與A4B3交于R點，直線QR交橢圓于S、T兩個點，則S、T是橢圓對應點P的兩個切點，直線PS、PT就是所求的切線過橢圓外一點作切線方法

大數(shù)學家高斯的朋友舒馬赫不滿足勒姆柯爾的方法，寫信給高斯，信中說他找到了一個只需引三條割線就可以作橢圓切線的方法。

過橢圓外一點作切線方法

高斯在收到舒馬赫的信第六天，回信提出了一個只需引兩條割線。就可以作橢圓切線的簡捷方法。

過橢圓外一點作切線方法

虛擬橢圓法（徐文平）：已知橢圓Y1和橢圓外一點A，以橢圓Y1的長軸a為半徑作圓G1，過A點做豎向垂線L1，與水平軸相交于C點，在豎向垂線L1截取一點B，使得。過B點，作小圓G1的切線T1，相交于圓G1于切點D，相交于水平軸于N點，連接N點與A點連線，NA即所求小橢圓Y1的切線T2。過橢圓外一點作切線方法

命題6：已知雙曲線外一點P，過P點作PAB與PCD二條任意雙曲線割線，AD、CB交于Q點，AC、BD延長交于R，連線QR與雙曲線交于S、T兩點，PS、PT就是雙曲線的切線。過雙曲線外一點作切線方法

命題7：已知拋物線外一點，過P點作PAB與PCD二條任意拋物線割線，AD、CB交于Q點，在y軸上確定一點，連線QR與拋物線交于S、T兩點，PS、PT就是拋物線的切線。過拋物線外一點作切線方法

過拋物線外一點作切線方法命題8：已知拋物線外一點，過P點作一條任意拋物線割線交于A、B兩點，過P點作豎向垂線與拋物線交于C，連接AC連線，過B點作豎向垂線與AC交于Q點。在y軸上確定一點，連線QR就是P點的極線，QR與拋物線交于S、T兩點，PS、PT就是拋物線的切線。

過拋物線外一點作切線方法

命題8：已知拋物線外一點，過P點作一條任意拋物線割線交于A、B兩點，過P點作水平線與拋物線交于C，連接AC連線，過B點作水平線與AC交于Q點。在x軸上確定一點，連線QR就是P點的極線，QR與拋物線交于S、T兩點，PS、PT就是拋物線的切線。

極點極線與密克爾點

命題9：M點是完全四邊形ABCDEF的密克爾點，ABCD四點共圓，對角線AC、BD交于Q，圓⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的AB、DC對邊延伸交于E，BC、AD對邊延伸交于F，連線EF是Q極點關(guān)于圓⊙O的極線，則M點必定在極線EF上，且O、Q、M三點共線，OM⊥EF。

橢圓焦點弦的優(yōu)美性質(zhì)及其簡證

性質(zhì)1：過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于P、Q點，點A、B為橢圓長軸上的頂點，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，點C為MN的中點，則有以下一些優(yōu)美的性質(zhì)。（1）MF⊥NF；（2）FC⊥PQ；

（3）MN的中點C為焦點弦PQ的極點，即PC、QC與橢圓相切；（4）MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。

橢圓焦點弦的優(yōu)美性質(zhì)及其簡證

性質(zhì)2：過橢圓一個焦點F的任意兩條焦點弦PQ與AB，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，點C為PQ的極點，點D為AB的極點，則有以下一些優(yōu)美的性質(zhì)。（1）MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。

（2）MF⊥NF；（3）FC⊥PQ，F(xiàn)D⊥AB；

（4）CD調(diào)和分割MN，即1/NC+1/ND＝2/NM。

花中覓尋蝶影妙證蝴蝶定理（徐文平