同濟(jì)大學(xué)信號(hào)及系統(tǒng)第九章第3講2-dft

一、有限長(zhǎng)序列Z變換的抽樣若有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，其Z變換的表示式為：若有限長(zhǎng)序列滿足絕對(duì)可和條件，則其收斂域包括單位圓在內(nèi)，在單位圓上N個(gè)等間距點(diǎn)計(jì)算Z變換，令：§9-5離散傅里葉變換與Z變換的關(guān)系1weixzh@在Z平面單位圓上，取輻角為的等間距的第k個(gè)點(diǎn)，計(jì)算其Z變換。因此，有限長(zhǎng)序列的DFT可解釋為它的Z變換在單位圓上的均勻抽樣。1weixzh@二.以如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1.兩種抽樣時(shí)域抽樣:

對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào)，根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣，所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓，因此，完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。頻域抽樣:對(duì)一有限序列(時(shí)間有限序列)進(jìn)行DFT所得X(k)就是序列傅氏變換的采樣。所以DFT就是頻域抽樣。1weixzh@2.由頻域抽樣恢復(fù)序列由于x(n)絕對(duì)可和，故其傅氏變換存在且連續(xù)，也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣，對(duì)X(Z)在單位圓上N等份抽樣，就得到X(k)。一個(gè)絕對(duì)可和的非周期序列x(n)的Z變換為1weixzh@對(duì)X(k)進(jìn)行反變換,并令其為xN(n),則1weixzh@是非周期序列x(n)的周期延拓，也就是說(shuō)，頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓。可見(jiàn)，由得到的周期序列其中1weixzh@當(dāng)x(n)不是有限長(zhǎng)時(shí)，無(wú)法周期延拓；當(dāng)x(n)的長(zhǎng)度M,只有NM時(shí),才能不失真的恢復(fù)信號(hào),即3.頻域抽樣不失真的條件1weixzh@1.由X(k)恢復(fù)X(Z)序列x(n),（0nN-1）的Z變換為二.由X(k)表達(dá)X(Z)-內(nèi)插公式1weixzh@1weixzh@稱作內(nèi)插函數(shù)。上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中1weixzh@。。。。。。。將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式:2.內(nèi)插函數(shù)的特性1weixzh@令分子為零，得:所以有N個(gè)零點(diǎn)。為一階極點(diǎn)，Z=0為(N-1)階極點(diǎn)。但是極點(diǎn)與一零點(diǎn)相消。這樣只有(N-1)個(gè)零點(diǎn),抽樣點(diǎn)稱作本抽樣點(diǎn)。因此說(shuō),內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不為零,其他(N-1)個(gè)抽樣點(diǎn)均為零。令分母為零，得1weixzh@代入4.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性3.頻率響應(yīng)單位圓上的Z變換即為頻響,1weixzh@的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為當(dāng)k=0時(shí),則有可見(jiàn),既是1weixzh@所以時(shí)時(shí)這說(shuō)明在本抽樣點(diǎn)為1，在其他抽樣點(diǎn)為0。1weixzh@其中，相位特性幅度特性當(dāng)N=5時(shí),的1weixzh@N=51weixzh@1weixzh@而在其他抽樣點(diǎn)上這就是說(shuō),內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點(diǎn)由于i與k均為整數(shù),所以時(shí)1weixzh@就精確等于X(k)。即的特性可知,在每個(gè)抽樣點(diǎn)上其值為1,故由于與X(k)的關(guān)系1weixzh@而在抽樣點(diǎn)之間等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值疊加而得。1weixzh@§9-7離散傅里葉變換的應(yīng)用運(yùn)用DFT方法，往往伴隨FFT算法的實(shí)施，所謂的應(yīng)用幾乎成為FFT應(yīng)用的同意語(yǔ)。（一）快速卷積若長(zhǎng)度為N1的序列x(n)與長(zhǎng)度為N2的序列h(n)作線卷積，得到：y(n)為長(zhǎng)度為N1+N2–1的有限長(zhǎng)序列，要做N1*N2次乘法運(yùn)算，當(dāng)N1=N2=N，要做N2次乘法。1weixzh@直接卷積與快速卷積如果把求線卷積改為求圓卷積，兩序列分別補(bǔ)零加長(zhǎng)為為N1+N2–1，則有可能減少運(yùn)算次數(shù)。x(n)y(n)卷積FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)y(n)1weixzh@在快速卷積過(guò)程中，共需要2次FFT，1次IFFT，相當(dāng)于3次FFT運(yùn)算量，在一般數(shù)字濾波中，由h(n)求H(k)是事先計(jì)算完成放在存儲(chǔ)器中，故只需2次FFT的運(yùn)算量，若假設(shè)N1=N2=N，則補(bǔ)零后：故需要此外X(k)與H(k)兩序列相乘，還需要2N次復(fù)乘，全部復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為：次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算隨著N的增大，該運(yùn)算量比N2顯著減少。1weixzh@以上分析是針對(duì)兩序列長(zhǎng)度相近或相等的情況，如果一個(gè)序列很短，而另一序列很長(zhǎng)，則需要補(bǔ)很多零，圓卷方案甚至增加運(yùn)算量，可采用分段卷積的方法，其基本原理是將x(n)分成若干小段，每小段長(zhǎng)度與h(n)接近，將x(n)的各小段與h(n)卷積，最后取和，仍可發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。1weixzh@（二）快速相關(guān)相關(guān)和自相關(guān)也可借助FFT完成。x(n)y(n)相關(guān)FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H*(k)y(n)h(n)共軛H*(k)1weixzh@相關(guān)運(yùn)算常見(jiàn)于雷達(dá)和聲納系統(tǒng)中，應(yīng)用該運(yùn)算確定信號(hào)的時(shí)間延遲。當(dāng)x(n)與h(n)是同一信號(hào)，y(n)是自相關(guān)函數(shù)，而Y(k)是x(n)的功率譜。1weixzh@（三）利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近其中,T為抽樣間隔。或者一.用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅氏變換可能造成的誤差1.混疊現(xiàn)象為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足其中fs為抽樣頻率;fh為信號(hào)的最高頻率分量對(duì)于時(shí)間有限信號(hào)，其傅立葉變換不可能是有限帶寬，抽樣后必然帶來(lái)混疊(aliasing)，減小抽樣間隔可減弱混疊，但總不可避免。1weixzh@若信號(hào)頻譜有限，則時(shí)間函數(shù)必然是無(wú)限的。在實(shí)際應(yīng)用中，為利用FFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，必須把時(shí)間截取一定范圍，也就是說(shuō)，在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行截?cái)嗖僮?，或稱作加時(shí)間窗，亦即用時(shí)間窗函數(shù)乘以信號(hào)，由卷積定理可知，時(shí)域相乘，頻域?yàn)榫矸e，時(shí)間加窗使頻譜產(chǎn)生失真，它從原有的頻率受限圖中擴(kuò)散出來(lái)，這就造成拖尾現(xiàn)象，稱之為頻譜泄漏（leakage）。2.頻譜泄漏1weixzh@0n0nn1weixzh@3.柵欄效應(yīng)用DFT計(jì)算頻譜時(shí)，只是知道為頻率的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個(gè)譜線之間的情況就不知道,這相當(dāng)通過(guò)一個(gè)柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。補(bǔ)零點(diǎn)加大周期，可使F變小來(lái)提高分辨力，以減少柵欄效應(yīng)。1weixzh@[例]有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒(méi)有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件為（1）頻率分辨率為，（2）信號(hào)的最高頻率，試確定以下參量：（1）最小記錄長(zhǎng)度;(2)抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔T;(3)在一個(gè)記錄中的最小點(diǎn)數(shù)N。解：（a）最小記錄長(zhǎng)度（b）最大的抽樣時(shí)間間隔T(c)最小記錄點(diǎn)數(shù)N1weixzh@2.連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅氏級(jí)數(shù)變換對(duì)二.DFT與連續(xù)信號(hào)傅氏變換相對(duì)數(shù)值的確定1.連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)傅氏變換對(duì)1weixzh@3.DFT變換時(shí):1weixzh@4.用DFT計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏變換幅度電平未受到影響。用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘以T，就等于頻譜的正常幅度電平；用IDFT計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏反變換，再乘以fs就得到所需信號(hào)的正常幅度電平。所以,從時(shí)間到頻率,再?gòu)念l率到時(shí)間，整個(gè)過(guò)程總共乘了1weixzh@設(shè)用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘以T的理由：1weixzh@1weixzh@mai