應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)第7章

本章教學(xué)目標(biāo)了解和掌握統(tǒng)計(jì)推斷中的另一個(gè)基本問題：參假設(shè)檢驗(yàn)及其在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用；掌握運(yùn)用Excel的“數(shù)據(jù)分析”及其統(tǒng)計(jì)函數(shù)功能求解假設(shè)檢驗(yàn)問題。

第7章單個(gè)總體的假設(shè)檢驗(yàn)1本章主要內(nèi)容：§7.1案例介紹§7.2假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理§7.3單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)§7.4單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)本章重點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)中不可避免的兩類錯(cuò)誤及其應(yīng)用

Excel“數(shù)據(jù)分析”功能的使用及其運(yùn)行輸出結(jié)果分析。難點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)中不可避免的兩類錯(cuò)誤及其應(yīng)用。

2【案例1】新工藝是否有效？某廠生產(chǎn)的一種鋼絲的平均抗拉強(qiáng)度為10560(kg/cm2)。現(xiàn)采用新工藝生產(chǎn)了一種新鋼絲，隨機(jī)抽取10根，測(cè)得抗拉強(qiáng)度為：10512,10623,10668,10554,1077610707,10557,10581,10666,10670求得新鋼絲的平均抗拉強(qiáng)度為10631.4(kg/cm2)。是否就可以作出新鋼絲的平均抗拉強(qiáng)度高于原鋼絲，即新工藝有效的結(jié)論?

§7.1案例介紹3某臺(tái)加工缸套外徑的機(jī)床，正常狀態(tài)下所加工缸套外徑的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)不超過0.02mm。檢驗(yàn)人員從加工的缸套中隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得外徑的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S=0.03mm。問：該機(jī)床的加工精度是否符合要求?【案例2】機(jī)床加工精度是否符合要求?4§7.2假設(shè)檢驗(yàn)的原理一、實(shí)際推斷原理假設(shè)檢驗(yàn)的理論是小概率原理，又稱為實(shí)際推斷原理，其具體內(nèi)容是：小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的。二、假設(shè)檢驗(yàn)推理的思想方法假設(shè)檢驗(yàn)推理的思想方法是某種帶有概率性質(zhì)的反證法。5三、基本原理和步驟例1：統(tǒng)計(jì)資料表明，某電子元件的壽命X～N(0,

2)，其中0已知，

2未知?，F(xiàn)采用了新工藝生產(chǎn)，測(cè)得新工藝生產(chǎn)的n個(gè)元件壽命為x1,x2,···,xn。問：新工藝生產(chǎn)的元件期望壽命是否比原工藝的元件期望壽命0有顯著提高?此問題要推斷的是：是否>0?這可用假設(shè)檢驗(yàn)的方法解決，步驟如下：

6本例中

H0：=02.按希望出現(xiàn)的結(jié)果提出一個(gè)與原假設(shè)對(duì)立的假設(shè)，稱為備擇假設(shè)，記為H1。本例中

H1：>03.構(gòu)造一個(gè)能用來檢驗(yàn)原假設(shè)H0的統(tǒng)計(jì)量本例中，要檢驗(yàn)的是總體均值，當(dāng)H0為真時(shí)，～t(n-1)估計(jì),故應(yīng)使用來構(gòu)造檢驗(yàn)

的統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量1.提出一個(gè)希望推翻的假設(shè),稱為原假設(shè),記為

H074.

給定一個(gè)小概率

，稱為顯著性水平顯著性水平

是當(dāng)H0為真時(shí)，拒絕H0的概率(即犯“棄真”錯(cuò)誤的概率)。也即當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果拒絕H0時(shí)，不犯錯(cuò)誤的概率為1-，從而可以有1-

的可信度接受備擇假設(shè)H1。5.確定要拒絕H0時(shí)統(tǒng)計(jì)量的取值范圍，稱為拒絕域，拒絕域的邊界點(diǎn)稱為臨界值。本例中，由于H1：>0而當(dāng)H0為真時(shí)，有

P{t≤t(n-1)

}=1-可知當(dāng)統(tǒng)計(jì)量t>t(n-1)時(shí)，就可以有1-的把握判定H0不真(犯錯(cuò)誤的概率僅為)，故此時(shí)應(yīng)拒絕H0。從而拒絕域?yàn)閠>t(n-1)，臨界值為t(n-1)。

(右邊檢驗(yàn))，8

t(n-1)0f(x)x右邊檢驗(yàn)的拒絕域本例中，若計(jì)算結(jié)果為t>t(n-1)，6.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的值，并作出檢驗(yàn)結(jié)論則拒絕H0，接受H1，即在水平

下，認(rèn)為

顯著高于0。若t<t(n-1)，就不能拒絕H0，即認(rèn)為并不顯著高于0。當(dāng)拒絕H0時(shí)，說明在給定的水平

下，和0間存在顯著差異。這就是稱

為顯著性水平的原因。

9設(shè)t為檢驗(yàn)原假設(shè)H0所用的統(tǒng)計(jì)量，t(n-1)為檢驗(yàn)的臨界值，由顯著性水平

的定義(右邊檢驗(yàn))

P{t>t(n-1)|H0為真}=可知檢驗(yàn)中可能出現(xiàn)以下兩類判斷錯(cuò)誤：二.檢驗(yàn)中可能犯的兩類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤——當(dāng)H0為真時(shí)拒絕H0的錯(cuò)誤，即“棄真”錯(cuò)誤，犯此類錯(cuò)誤的概率為。第二類錯(cuò)誤——當(dāng)H0不真時(shí)接受H0的錯(cuò)誤，即“取偽”錯(cuò)誤，記犯該類錯(cuò)誤的概率為，即P｛t≤t(n-1)｜H0不真｝=由于H0不真時(shí)與H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量t的分布是不同的，故β≠1-。10H0:無辜法官判決假設(shè)檢驗(yàn)實(shí)際情況實(shí)際情況判決無辜有罪決策H0真H0假無辜CorrectError沒有拒絕H01-aTypeIIError(b)有罪ErrorCorrect拒絕H0TypeIError(a)Power(1-b)ResultPossibilities結(jié)果的各種可能性RelationshipBetweena&ba&b

間的聯(lián)系ab兩個(gè)錯(cuò)誤有反向的關(guān)系由圖可知，減少會(huì)增大，反之也然。在樣本容量n不變時(shí)，不可能同時(shí)減小犯兩類錯(cuò)誤的概率。應(yīng)著重控制犯哪類錯(cuò)誤的概率，這應(yīng)由問題的實(shí)際背景決定。當(dāng)?shù)谝活愬e(cuò)誤造成的損失大時(shí)，就應(yīng)控制犯第一類錯(cuò)誤的概率

(通常取0.05，0.01等)；反之，當(dāng)?shù)诙愬e(cuò)誤造成的損失大時(shí)，就應(yīng)控制犯第二類錯(cuò)誤的概率。要同時(shí)減小須犯兩類錯(cuò)誤的概率，必須增大樣本容量n。

x0H0：μ=μ0t(n-1)H1：μ=μ1β兩類錯(cuò)誤的關(guān)系13～t(n-1)

/2/2t/2(n-1)-

t/2(n-1)0f(x)x1-設(shè)X～N(

,

2)，

2未知，X1,X2,···,Xn為總體X的樣本，給定水平，原假設(shè)為H0：=0(0為某一給定值)當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量1.H1：≠0(雙邊檢驗(yàn))當(dāng)H0為真時(shí)，由P{-t/2(n-1)≤t≤t/2(n-1)}=1-可得：若|t|>t/2(n-1)

就拒絕H0，接受H1；否則接受H0。

§7.3單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)14當(dāng)H0為真時(shí)，由

P{t≤t(n-1)}=1-可得：若

t>t

(n-1)

就拒絕H0，接受H1；否則就認(rèn)為并不顯著高于0。3.

H1：<0(左邊檢驗(yàn))由P{t≥-t(n-1)

}=1-可得：若

t<-t(n-1)

就拒絕H0，接受H1；否則就認(rèn)為并不顯著小于0

。

-t(n-1)f(x)x左邊檢驗(yàn)的拒絕域1-2.H1：>0

(右邊檢驗(yàn))15某廠生產(chǎn)的一種鋼絲抗拉強(qiáng)度服從均值為10560(kg/cm2)的正態(tài)分布，現(xiàn)采用新工藝生產(chǎn)了一種新鋼絲，隨機(jī)抽取10根測(cè)得抗拉強(qiáng)度為：10512,10623,10668,10554,1077610707,10557,10581,10666,10670問在顯著性水平=0.05下，新鋼絲的平均抗拉強(qiáng)度比原鋼絲是否有顯著提高?

案例1.檢驗(yàn)新工藝的效果16案例1解答：說明新工藝對(duì)提高鋼絲繩的抗拉強(qiáng)度是有顯著效果的。本案例為右邊檢驗(yàn)問題，設(shè)新鋼絲的平均抗拉強(qiáng)度為，

2未知，故使用t檢驗(yàn)。由題意，H0：=0，H1：>0由所給樣本數(shù)據(jù)，可求得：S=81，n=10，=0.05，t0.05(9)=1.8331∵t=2.7875故拒絕H0，即在水平=0.05下，

顯著高于0。>t(n-1)=

t0.05(9)=1.833117在案例1中，若取

=0.01，問結(jié)論如何?【解】∵t0.01(9)=2.8214，t=2.7875<t0.01(9)=2.8214故不能拒絕H0。即在水平=0.01下，新鋼絲平均抗拉強(qiáng)度并無顯著提高。通常，在

=0.05下拒絕H0，則稱檢驗(yàn)結(jié)果為一般顯著的；若在=0.01下拒絕H0，則稱檢驗(yàn)結(jié)果為高度顯著的；若在=0.001下拒絕H0，則稱檢驗(yàn)結(jié)果為極高度顯著的。18課堂練習(xí)3一臺(tái)自動(dòng)包裝奶粉的包裝機(jī)，其額定標(biāo)準(zhǔn)為每袋凈重0.5kg。某天開工時(shí)，隨機(jī)抽取了10袋產(chǎn)品，稱得其凈重為：0.497，0.506，0.509，0.508，0.4970.510，0.506，0.495，0.502，0.507(1)在水平

=0.20下，檢驗(yàn)該天包裝機(jī)的重量設(shè)定是否正確?（，S=0.00554）(2)在本題的檢驗(yàn)問題中，為什么要將

取得較大？19設(shè)總體成數(shù)為P，則當(dāng)nP和n

(1-P)都大于5時(shí)，樣本成數(shù)p近似服從均值為P，方差為P

(1-P)/n的正態(tài)分布。從而當(dāng)原假設(shè)H0：P=P0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量與前面分析完全類似地，可得如下檢驗(yàn)方法：P≠P0

P>P0

P<P0

§7.4大樣本單個(gè)總體比例的檢驗(yàn)20【案例5】某一系列電視劇是否獲得成功

如果能夠證明某一系列電視劇在播出的頭13周其觀眾的收視率超過了25％，則可以斷定它獲得了成功。假定由400個(gè)家庭組成的樣本中，有112個(gè)家庭在頭13周看過了某系列電視劇。在=0.01的顯著性水平下，檢驗(yàn)這部。

系列電視劇是否獲得了成功。解：由題意，H0：P=P0=25%，H1：P>25%，樣本比例p=112/400=0.2821設(shè)H0：

2=02(02為某一給定值)則當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

與前面分析完全類似地，可得如下檢驗(yàn)方法：§7.5單個(gè)總體方差的檢驗(yàn)

2≠02

2>02

2<02

(

2檢驗(yàn))22f(x)x0/2/21-雙邊檢驗(yàn)f(x)x01-左邊檢驗(yàn)f(x)x01-右邊檢驗(yàn)卡方檢驗(yàn)的拒絕域23某臺(tái)加工缸套外徑的機(jī)床，正常狀態(tài)下所加工缸套外徑的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)不超過0.02mm，現(xiàn)從所生產(chǎn)的缸套中隨機(jī)抽取了9個(gè)，測(cè)得外徑的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S=0.03mm。問：在水平=0.05下，該機(jī)床加工精度是否符合要求?解：由題意，0=0.02，H0：

2=02，H1：

2>02

∵故拒絕H0，即該機(jī)床加工精度已顯著下降。應(yīng)立即停工檢修，否則廢品率會(huì)大大增加。

【案例2】機(jī)床加工精度問題24課堂