《一元一次不等式組》第一課時教案 (公開課)2022年

教學(xué)目標(biāo)

課：元次等組〕1.了解一元一次不等式組的概念，理解一元一次不等式組的解集的意義，掌握求一元一次不等式組的解集的常規(guī)方法；2.經(jīng)歷知識的拓展過程，感受學(xué)習(xí)一元一次不等式組的必要性；3.逐步熟悉數(shù)形結(jié)合的思想方法，感受類比與化歸的思想。教學(xué)難點(diǎn)一元一次不等式組解集的理解知識重點(diǎn)一元一次不等式組的解集和解法。教學(xué)過程〔師生活動〕小寶和爸爸、媽媽三人在操場上玩蹺蹺板，爸爸體重為72克只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時爸爸的一端仍然著地。后來，小寶借來一副質(zhì)量為千克的啞鈴，加在他和媽媽坐的一端，結(jié)果爸爸被蹺起離地．猜猜小寶的體重約是多少？在這個問題中，如果設(shè)小寶的體重為x千克，〔1〕從蹺蹺板的狀況你可以概括出怎樣的不等關(guān)系？創(chuàng)設(shè)情境〔2你認(rèn)為怎樣求x的范圍，可以盡可能地接近小寶提出問題的體重？在討論或議論中，列出不等式：2x十x<722x十x＋6＞其中x同時滿足以上兩個不等式．在議論的根底上，老師揭示：一個量需要同時滿足幾個不等式的例子在現(xiàn)實(shí)生活中還有很多．問題2(教科書第頁〕

設(shè)計(jì)理念用學(xué)生身邊有趣的實(shí)例引入，生的參與欲，一方面的需要．設(shè)計(jì)此情境的意圖在于：1、次不等式解應(yīng)用題；2、感受同一個x不等式x應(yīng)該同等式的要求，為引出解集做鋪墊．類比探索引出新知

用每分鐘可抽30t的抽水機(jī)來抽污水管道里積存的污水，估計(jì)積存的污水超過1200t而缺乏，那么將污水抽完所用時間的范圍是什么？

等式的性質(zhì)1設(shè)用xmin將污水抽完，那么x時滿足不等式

①②

滲透類比思想。初這就是說，x要滿足兩個不等關(guān)系。那么x究竟在什么感的范圍呢？類似于方程組，引出一元一次不等式組的概念和記法教科書127〕類比方程組的解，引出一元一次不等式組的解集的概念教科書128〕利用數(shù)軸，師生一起將問題1問題的解集求出來．出示教科書例1解以下不等式組：

方法。對于例1解不〔1〕

xx

〔2〕

xx2

等式并新內(nèi)容．解題步驟的歸解法探討

小組討論：根據(jù)不等式組的解集的意義你覺得解決例需要哪些步驟？在這些步驟中，哪個是我們原有的知識，哪個是我們今天獲得的新方法？在討論的根底上師生一起歸納解一元一次不等式組的步驟：求出各個不等式的解集；(2)找各個不等式的解集的公共局部〔利用數(shù)軸師生一起完成例1

共局部的求取，才是新知識，卻是學(xué)生自己可領(lǐng)會的．通過此處的討論探索，對于多于成的解集的求取，期望學(xué)自通．先自主探究解題步驟，后具體解題，可以居高臨下次不等式組的解法．

學(xué)生練習(xí)：教科書第頁練習(xí)教師巡視、指導(dǎo)，師生共同評講

題步驟，熟練地利用穩(wěn)固練習(xí)課堂小結(jié)布置作業(yè)

找公共局部。教師及時調(diào)控。小結(jié)與作業(yè)1、這節(jié)課學(xué)到了什么？有哪些感受？2、教師歸：學(xué)習(xí)一元一次不等式組是數(shù)學(xué)知識拓展的需要，也是現(xiàn)實(shí)生活的需要；學(xué)習(xí)不等式組時，我們可以類比方程組提綱挈領(lǐng)，梳理總方程組的解來理解不等式組、不等式組的解集的概念；結(jié)。求不等式組的解集時，利用數(shù)軸很直觀，也很快捷，這是一種數(shù)與形結(jié)合的思想方法，不僅現(xiàn)在有用，今后我們還會有更深的體驗(yàn)．1、必做題課本第頁習(xí)題9.3第、、題2、選做題（1）不等式≤2x－1≤5，你覺得該怎樣思考這個問題，你有解決的方法嗎？（2）出不等式的解集中的正整數(shù)。

分層次布置作業(yè)。本課教育評注〔課堂設(shè)計(jì)理念，實(shí)際教學(xué)效果及改進(jìn)設(shè)想〕本節(jié)課的設(shè)計(jì)，以實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生找出問題解決的思路．在這一過程主線下，輔以類比、探索、概括的學(xué)習(xí)方法，合理設(shè)計(jì)問題，安排討論的最正確契機(jī)，及時揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)發(fā)數(shù)學(xué)思考，期望讓學(xué)生在自主探索中學(xué)得自然得真切、學(xué)得主動學(xué)得有效．本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容是一元一次不等式組的正確求解，關(guān)鍵卻是不等式組求解的步驟總結(jié)這一總結(jié)讓學(xué)生自己歸納比教師直接告之效果更好創(chuàng)設(shè)實(shí)際題情境引出一元一次不等式組的意義學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)不等式組的需求也對解不等式的方法有很自然的聯(lián)想．看似費(fèi)時，實(shí)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思考的隱性提升．

1.8完平公()●學(xué)目標(biāo)一)教學(xué)知識點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.2.完全平方公式的幾何背景二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步開展符號感和推理能力2.重視學(xué)生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達(dá)能力三)情感與價值觀要求1.了解數(shù)學(xué)的歷史，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣2.鼓勵學(xué)生自己探索算法的多樣化，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力●學(xué)重點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、語言表述、幾何解釋2.完全平方公式的應(yīng)用●學(xué)難點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋.2.完全平方公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用.●學(xué)方法自主探索法學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探索完全平方公式的幾何解釋數(shù)運(yùn)算角度的推理，揭示其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后到達(dá)合理、熟練地應(yīng)用●具準(zhǔn)備投影片四張第一張：試驗(yàn)田的改造，記作(A)第二張：想一想，記作(§1.8.1第三張：例題，記作(§1.8.1C)第四張：補(bǔ)充練習(xí)，記作(§1.8.1●學(xué)過程

Ⅰ.設(shè)問題情景，引入新課［師］去年，一位老農(nóng)在一“技下鄉(xiāng)〞活動中得到啟示，將一塊邊長為a的正方形農(nóng)田改成試驗(yàn)田上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻一年來收益很大今年，又一次技下鄉(xiāng)〞活動，使老農(nóng)鐵了心，要走科技興農(nóng)的路子，于是他想把原來的試驗(yàn)田，邊長增加b米，形成四塊試驗(yàn)田，種植不同的新品種同學(xué)們，誰來幫老農(nóng)實(shí)現(xiàn)這個愿望呢？同學(xué)們開始動手在練習(xí)本上畫圖，尋求解決的途徑［生］我能幫這位爺爺［師］你能把你的結(jié)果展示給大家嗎？［生］可以.圖－所示，這就是我改造后的試驗(yàn)田，可以種植四種不同的新品種.圖1－25［師］你能用不同的方式表示試驗(yàn)田的面積嗎？［生］改造后的試驗(yàn)田變成了邊長為(a+b)大正方形，因此，試驗(yàn)田的總面積應(yīng)為(a+b)2.［生可以把試驗(yàn)田的總面積看成四局部的面積和即邊長為a的正方形面積，邊長為b的正方形的面和兩塊長和寬分別為和的面積的和所以試驗(yàn)田的總面積也可表示為a

2

.［師］很好！同學(xué)們用不同的形式表示了這塊試驗(yàn)田的總面積，進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？［生可以發(fā)現(xiàn)它們雖形式不同但都表示同一塊試驗(yàn)田的面積因此它們應(yīng)該相等.(a+b)2

=a

2

［師］我們這節(jié)課就來研究上面這個公式—完全平方公式.Ⅱ.授新課

1.推導(dǎo)完全平方公式［師］我們通過比照試驗(yàn)田的總面積得出了完全平方公(a+b)2+2ab+b.其實(shí)，據(jù)有關(guān)資料說明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國人也是通過類似的圖形認(rèn)識了這個公我們姑且把這種方法看作對完全平方公式的一個幾何解釋.不能從代表運(yùn)算的角度也能推導(dǎo)出這樣的公式呢？出示投影片§A)想一想：

等于什么？你能用多項(xiàng)式乘法法那么說明理由嗎？－

2

等于什么？你是怎樣想的.(學(xué)們可先在自己的練習(xí)本上推導(dǎo)，教師巡視推導(dǎo)的情況，對較困難的學(xué)生以啟示)［生］用多項(xiàng)式乘法法那么可得(a+b)

2

+ab+ab+b222所以(=a22

(1)［師］上面的幾何解釋和代數(shù)推導(dǎo)各有什么利弊？［生］幾何解釋完全平方公式給我們以非常直觀的認(rèn)識，但幾何解釋2=a22,受到了條件限制a>0且b>0;代數(shù)推導(dǎo)完全平方公式雖然不直觀，但在推導(dǎo)的過程中，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，零，也可以是單項(xiàng)式,多項(xiàng)式［師］同學(xué)們分析得很有道理接下來，我們來完成第(2)問.［生］也可利用多項(xiàng)式乘法法那么，那么

(a2

=(a

ab－ba+b2－.［生我是這樣想的因(2+2ab+b中的可以是任意數(shù)或單項(xiàng)式、多項(xiàng).我們“〞代替公式中的b利用上面的公式就可以得到－2

［a+(b)］

.［師］這位同學(xué)的想法很.因?yàn)樗芰粜奈覀儽硎龅拿恳痪湓挼暮x，你能繼續(xù)沿著這個思路做下去嗎？我們一塊試一下

［師生共析］(ab)=［a+(－b)］22－b)+(－2↓↓↓↓↓↓

=a

2

·b+b

22

－

.于是，我們得到又一個公式：(ab)－2ab+b2

(2)［師］你能用語言描述上述公式(1)、(2)嗎？［生］公(1)用語言描述為：兩個數(shù)的和的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的2倍的和；公式(2)用語言描述為：兩個數(shù)的差的平等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的2倍的差這兩個公式為完全平方公式.它們和平方差公式一樣可以使整式的運(yùn)算簡便.2.應(yīng)用、升華出示投影片(B)［例1］利用完全平方公式計(jì)算：－3);(2)(4x+5y)2;(3)(mna)

.分析：利用完全平方公式計(jì)算，第一步先選擇公式；第二步，準(zhǔn)確代入公式；第三步化.解：方法一：

［例2］利用完全平方公式計(jì)算－

－－

;－z)

2

;(4)(x+y)2

－(x－y)2

;－2(2x+3y).分析：此題需靈活運(yùn)用完全平方公式，題可轉(zhuǎn)化為(－x)或(x－,再運(yùn)用平方差公式(2)題需轉(zhuǎn)化x+y)

,利和的完全平方公式(3)題利用加法結(jié)合律變形為［－］2

(［x+(y－z)］

(x－］2

用完全平方公式計(jì)算；(4)題利用完全平方公式，再合并同類項(xiàng)，也可逆用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.(5)題可先逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)變形，再用平方差公式和完全平方公式.解：方法一：(－x+2y)=(2yx)=4y2

－4xy+x

2

；方法二：－x+2y)

=－］2

=(x－2y)2

=x

2

－4xy+4y

.－x－y)2［－(x+y)2=(x+y)=x+2xy+y.－z)=［(x+y)－2=(x+y)22(x+y)·z+z2=x

2

+z

2

+2xy－2zx－方法一：

－(xy)=(x

2

+2xy+y

－(x

2

－2xy+y2

)方法二：(x+y)－(x－y)

1111x)=(2xy)x+(x)yxy+1111x)=(2xy)x+(x)yxy+=(x+y)+(x－y)－y)］－2(2x+3y)=(2x］2=4x

2

－2

］2

4

－2

y2

4

.Ⅲ.堂練習(xí)課本1.計(jì)算：

12

x－2y)

;(2)(2xy+

x)

;(3)(n+1)2

－n

2

.解：x－2=(x)－2·x·2y+(2y)=x2－2xy+4y22(2)(2xy+

12415525

x

2方法一：(n+1)

2

－n

2

=n2

+2n+1n

2

=2n+1.方法二：(n+1)

－n

2

=［(n+1)+n(n+1)－n］Ⅳ.后作業(yè)1.課本習(xí)題1.13的第、、題2.閱讀〞，并答復(fù)文章中提出的問題.Ⅴ.動與探究甲、乙兩人合養(yǎng)了頭牛，而每頭牛的賣價恰為n元.部賣完后兩人分錢方法如下先由甲拿元再乙拿10如此流拿到最后剩下缺乏十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元錢？［過程］因牛n頭，每頭賣n，故共賣得

2

元.令a表示n的十位以前的數(shù)字，b表示的個位數(shù)于是n2+.因甲先取10元，而乙最后一次取錢時缺乏10元，所以

2

中含有奇數(shù)個元，以及最后剩下缺乏元但10×2a(5a+b)中含有偶數(shù)個元此2中必含有奇數(shù)個元b<10，所以只可能是、4、9、16、、、、、，而這九個數(shù)中，只有16

和36含有奇數(shù)個10，因此

2

只可能是16或，但這兩個數(shù)的個位數(shù)都是，這就是說，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏元)［結(jié)果］甲比乙多拿了4元，為了平均分配甲必須補(bǔ)給乙元●書設(shè)計(jì)1.8.完全平方公式(一)一、幾何背景試驗(yàn)田的總面積有兩種表示形式：①

②(a+b)比照得：(a+b)

=a

2

2二、代數(shù)推導(dǎo)(a+b)

2

(ab)

=a+(－］22三、例題講例例1.利用完全平方公式計(jì)算：－3)(3)(mna)四、隨堂練習(xí)(略)●課資料一、楊輝楊輝中國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家在世紀(jì)中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多.

a=(11a=(11他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷著有詳解九章算法十二卷(年)、日用算法二卷(1262年除通變本末?三卷1274)畝比類乘除算法?二卷(1275)、續(xù)古摘奇算法?卷(1275年)楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面對籌算乘除捷算法進(jìn)行總結(jié)和開展，有的還編成了歌訣，如九歸口訣。他續(xù)古摘奇算法?中介紹了各種形式“橫圖〞及有關(guān)的構(gòu)造方法，同“積術(shù)〞是楊輝繼沈“隙積術(shù)〞后，關(guān)于高階等差級數(shù)的研究楊輝在“纂類〞中，將九章算術(shù)246個題目按解題方法由淺入深的順序重新分為乘除分率合率互換二衰分疊積、盈缺乏、方程、勾股等九類.他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和開展在算法通變本末?中楊輝為初學(xué)者制訂的“習(xí)算綱目〞是中國數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn).二、參考練習(xí)1.填空題－3x+4y)

－2a－=(3)x2－=(x－2.(4)a

+b2

=(a+b)2

(5)

12242

a+3b)2

.－2=2.選擇題以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是()A.(m－1)

=m2

－1B.(x+1)(x+1)=x+x+1C.(x－