結(jié)構(gòu)力學 03 靜定梁和平面剛架

第3章靜定梁和平面剛架掌握運用截面法進行控制截面內(nèi)力計算的方法理解荷載、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系，掌握區(qū)段疊加法原理熟練掌握單跨靜定梁、多跨靜定梁、靜定平面剛架的內(nèi)力圖繪制教學目標Contents目錄單跨靜定梁1多跨靜定梁2靜定平面剛架3單跨靜定梁§3.1以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。單跨靜定梁在工程中應用很廣，常見形式有水平梁、斜梁及曲梁。簡支梁、懸臂梁和外伸梁是單跨靜定梁的基本形式（圖3.1），是組成各種結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)件之一，其受力分析是多跨梁和剛架等結(jié)構(gòu)受力分析的基礎。單跨靜定梁§3.1梁在外力作用下，其任一橫截面上的內(nèi)力可用截面法來確定。剪力和彎矩的正負號規(guī)定：剪力FS使隔離體順時針轉(zhuǎn)動趨勢為正號，反之為負號，隔離體微段下側(cè)受拉時，橫截面上的彎矩為正號，反之為負號單跨靜定梁§3.1【例3.1】

圖示為在截面C處承受一斜向集中力的簡支梁。試求截面C處左、右兩截面的內(nèi)力。解：（1）計算梁的支座反力（2）計算點C左截面的內(nèi)力圖（b）（3）計算點C右截面的內(nèi)力同理，求點C右鄰截面的內(nèi)力時，應在截面C處切開，為了計算簡單，可取右邊為隔離體，如圖（c），利用平衡條件，可求出截C的三個內(nèi)力分量，結(jié)果同取左側(cè)相同。單跨靜定梁§3.1內(nèi)力圖剪力圖上某點切線的斜率等于相應截面處的分布荷載集度；彎矩圖上某點切線的斜率等于相應截面上的剪力；彎矩圖上某點的曲率等于相應截面處的分布荷載集度，即由分布荷載集度的正負可以確定彎矩圖的凹凸方向彎矩和剪力存在導數(shù)關(guān)系單跨靜定梁§3.1【例3.4】

簡支梁如圖所示，試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：（1）求約束反力（2）畫FS圖：各控制點處的FS值如下（3）畫M圖：各控制點處的彎矩值如下單跨靜定梁§3.1【例3.5】一外伸梁如圖所示。試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作此梁的FS、M圖。解：（1）支座反力（2）畫內(nèi)力圖根據(jù)梁上荷載情況，將梁分為AC，CB，BD三段。①剪力圖。ACB段：段內(nèi)有一集中力偶，集中力偶剪無變化，因此FQ圖為一水平直線，只需確定此段內(nèi)任一截面上的FS值即可。BD段：段內(nèi)有向下的均布荷載，F(xiàn)S圖為右下斜直線。單跨靜定梁§3.1②彎矩圖。AC段：段內(nèi)無荷載作用，F(xiàn)S<0，故M圖為一右上斜直線。CB段：段內(nèi)無荷載作用且FS<0，故M圖為一右上斜直線，在C處彎矩有突變。BD段：段內(nèi)有向下均布荷載，M圖為下凸拋物線，確定此段三個截面處彎矩值可確定拋物線的大致形狀。單跨靜定梁§3.1用疊加法作梁的彎矩圖在小變形的情況下，在求梁的反力、剪力和彎矩時，均可以按原始尺寸進行計算，所得結(jié)果與梁上荷載成線性關(guān)系。在這種情況下，梁在幾個荷載共同作用下產(chǎn)生的內(nèi)力等于各荷載單獨作用下產(chǎn)生的內(nèi)力的代數(shù)和。這樣，就可以先求出單個荷載作用下的內(nèi)力（剪力和彎矩），然后將對應位置的內(nèi)力相加，即得到幾個荷載共同作用下的內(nèi)力。這種方法稱為疊加法。畫彎矩圖也可以用疊加法。單跨靜定梁§3.1【例3.6】

簡支梁所受荷載如圖所示，試用疊加法作M圖。解：（1）荷載分解先將簡支梁上的荷載分解成力偶和均布荷載單獨作用在梁上，如圖3.13（b）、（c）所示。（2）作分解荷載的彎矩圖如圖3.13（e）、（f）3.疊加作力偶和均布荷載共同作用下的彎矩圖先作出圖（e），以該圖的斜直線為基線，疊加上圖（f）中各處的相應縱坐標，得圖3.13（d）即為所求彎矩圖。注意：彎矩圖的疊加，不是兩個圖形的簡單疊加，而是對應點處縱坐標的相加。單跨靜定梁§3.1斜梁的內(nèi)力計算在實際工程中，常見的斜梁是樓梯梁和剛架的斜桿。斜梁的內(nèi)力除彎矩和剪力外還可能有軸力，斜梁的彎矩通常不因斜梁軸線傾斜而受到影響。斜梁的計算方法與水平梁的計算方法完全相同，如下例計算：（1）求支座反力:由梁的整體平衡條件可求出其三個支座反力為單跨靜定梁§3.1（2）求斜梁的內(nèi)力方程，并作內(nèi)力圖以左支座A為坐標原點，任一截面K的位置以x表示。?。╞）所示隔離體，可得彎矩方程對圖（b）所示隔離體，沿與截面平行方向和垂直方向分別列出力的投影方程，可得剪力和軸力方程多跨靜定梁§3.2多跨靜定梁是由若干段梁用鉸鏈聯(lián)結(jié)，并通過支座與基礎共同構(gòu)成的無多余聯(lián)系的幾何不變體系。根據(jù)幾何組成規(guī)律，可以將多跨靜定梁的各部分區(qū)分為基本部分和附屬部分?；静糠质悄艹惺芎奢d的幾何不變體系；附屬部分是不能獨立承受荷載的幾何可變體系，它需要與基本部分相聯(lián)結(jié)方能承受荷載。多跨靜定梁§3.2結(jié)構(gòu)的組成順序可用圖3.17來表示。這種圖形稱為層疊圖。通過層疊圖可以看出力的傳遞過程。當荷載作用在最上面的附屬部分上時，不但會使附屬部分受力，而且還會傳給基礎部分。當荷載作用在基本部分上時，只在基礎部分上引起內(nèi)力和反力，而對附屬部分不會產(chǎn)生影響。總之，作用在附屬部分上的荷載將使基本部分產(chǎn)生反力和內(nèi)力，而作用在基本部分上的荷載則對附屬部分沒有影響。據(jù)此，計算多跨靜定梁時，應先從附屬部分開始，按組成順序的逆過程進行計算。由層疊圖可得到多跨靜定梁的受力特點為：力作用在基本部分時附屬部分不受力，力作用在附屬部分時附屬部分和基本部分都受力。多跨靜定梁§3.2多跨靜定梁的內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制由多跨靜定梁的構(gòu)造層次圖可知，作用于基本部分上的荷載并不影響附屬部分，而作用于附屬部分上的荷載會以支座反力的形式影響基本部分。因此，多跨靜定梁可由平衡條件求出全部反力和內(nèi)力，但為了避免解聯(lián)立方程，應先算附屬部分，再算基本部分。該計算原則，也適用于由基本部分和附屬部分組成的其他類型的結(jié)構(gòu)。根據(jù)多跨靜定梁的受力特點和計算原則，分析多跨靜定梁的步驟可歸納為：（1）按照附屬部分支承于基本部分的原則，繪出層疊圖。（2）根據(jù)所繪層疊圖，先從最上層的附屬部分開始，依次計算各梁的支座反力和鉸接處的約束力。（3）按照繪制單跨梁內(nèi)力圖的方法，分別作出各根梁的內(nèi)力圖，然后將其連在一起。（4）校核。多跨靜定梁§3.2【例3.7】

畫出圖（a）所示多跨靜定梁的剪力圖和彎矩圖。（1）作層疊圖圖（a）所示多跨靜定梁，由于僅受豎向荷載作用，故AB和CE都為基本部分，其層疊圖如圖（b）所示。多跨靜定梁§3.2（2）求反力和約束力從附屬部分BC開始，依次求出各根梁上的豎向約束力和支座反力。鉸C處的水平約束力為零，并由此得知鉸B處的水平約束力也等于零。計算出的反力和約束力見圖（c）多跨靜定梁§3.2（3）繪制內(nèi)力圖將各根梁的內(nèi)力圖置于同一基線上，則得出該多跨靜定梁的內(nèi)力圖如圖3.18（d）、（e）所示。多跨靜定梁§3.2【3.8】計算如圖（a）所示的多跨靜定梁支座反力，并繪制內(nèi)力圖。解

（1）作層疊圖，如圖（b）所示，ABC梁為基本部分，CD梁為附屬部分。（a）（b）多跨靜定梁§3.2（2）計算支座反力，從層疊圖看出，應先從附屬部分CD梁開始取分離體多跨靜定梁§3.2

（3）作內(nèi)力圖，如圖（d）、（e）所示。（d）（e）靜定平面剛架§3.3剛架是由若干梁、柱等直桿組成的具有剛結(jié)點的結(jié)構(gòu)。剛架在土木建筑工程中應用十分廣泛，單層廠房、工業(yè)和民用建筑如教學樓、圖書館、住宅等。6～15層房屋建筑承重結(jié)構(gòu)體系其骨架主要就是剛架，其形式有：懸臂剛架、簡支剛架、三鉸剛架和組合剛架等，如圖所示。靜定平面剛架§3.3剛架中的剛結(jié)點是指在剛架受力后，剛結(jié)點所連的各桿的角度保持不變，如圖所示。剛結(jié)點的特性是在荷載作用下，各桿端不僅不能發(fā)生相對移動，而且也不能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。因為剛結(jié)點具有約束桿端相對轉(zhuǎn)動的作用，所以它能承受和傳遞彎矩。由于在剛架結(jié)構(gòu)中，梁和柱由于剛結(jié)點相連，梁和柱能夠成為一個整體共同承擔外荷載的作用。因此，剛架結(jié)構(gòu)整體性好，剛度大，內(nèi)力分布較均勻。剛架中桿件數(shù)量較少，節(jié)點連接簡單，內(nèi)部空間較大，在大跨度、重荷載的情況下是一種較好的承重結(jié)構(gòu)。剛架結(jié)構(gòu)在土木建筑工程中被廣泛地使用。靜定平面剛架§3.3靜定平面剛架的內(nèi)力分析求解直梁內(nèi)力圖的方法，同樣適用于平面剛架。平面剛架橫截面上一般有軸力、剪力和彎矩三個內(nèi)力。通常將剛架的彎矩圖畫在桿件彎曲時受拉的一側(cè)，而不必標注正負號，但在作剪力圖和軸力圖時，其正負號仍按以前的規(guī)定。靜定剛架內(nèi)力求解的步驟通常如下：（1）求支座反力。一般要利用整體平衡和局部平衡求支座反力。（2）求控制截面的內(nèi)力?？刂平孛嬉话氵x在支承點、結(jié)點、集中荷載作用點、分布荷載不連續(xù)點。運用截面法求控制截面內(nèi)力值。（3）作內(nèi)力圖。內(nèi)力圖可用疊加法畫出，也可直接利用荷載與內(nèi)力之間的微分關(guān)系畫出。剪力圖和軸力圖可以畫在桿件的任一側(cè)，并注明正、負號。（4）內(nèi)力圖的校核。選擇任意脫離體，建立平衡方程，進行驗算。靜定平面剛架§3.3【例3.9】

試作圖（a）所示簡支剛架的內(nèi)力圖。解（1）求支座反力，由整體平衡：靜定平面剛架§3.3（2）作內(nèi)力圖，如圖(b)、(c)、(d)所示。考慮BD部分，由于D端所有端力已知，可以按D端自由B端固定的懸臂梁作其內(nèi)力圖?？紤]AB部分，由于A端所有端力已知，可以按A端自由B端固定的懸臂梁作其內(nèi)力圖。各截面的彎矩使剛架內(nèi)側(cè)受拉，故將彎矩畫在內(nèi)側(cè)。靜定平面剛架§3.3【例3.10】試作圖示（a）所示懸臂剛架的內(nèi)力圖。解：懸臂剛架可以不先求支座反力。其內(nèi)力計算與懸臂梁基本相同，一般從自由端開始，逐根桿件分別計算各桿端內(nèi)力。本例以列內(nèi)力方程形式進行解題。靜定平面剛架§3.3【例3.11】試作圖3.24（a）所示懸臂剛架的內(nèi)力圖。解：從自由端開始，逐根桿件截取分離體計算各桿端內(nèi)力。懸臂剛架可以不先求支座反力；只是在內(nèi)力計算結(jié)果的檢驗時，可利用整體平衡下求得的支座反力。（1）求桿端內(nèi)力：將懸臂剛架折分成三根桿件CB、DB、AB及結(jié)點B。其受力圖如圖3.24(b)。桿端內(nèi)力計算從自由端開始，用截面法直接計算：靜定平面剛架§3.3靜定平面剛架§3.3靜定平面剛架§3.3（2）作內(nèi)力圖，彎矩圖、剪力圖和軸力圖如圖(c)、(d)、(e)。（3）內(nèi)力校核：取出結(jié)點B為分離體，其受力圖如圖（b）。根據(jù)結(jié)點B桿端內(nèi)力的三個平衡方程檢驗結(jié)點B是否平衡：結(jié)論：因結(jié)點B上作用的所有的桿端內(nèi)力滿足平衡條件，故可說明內(nèi)力圖正確無誤。1.結(jié)構(gòu)、構(gòu)件某一截面的內(nèi)力，是以該截面為界，構(gòu)件兩部分之間的相互作用力。當構(gòu)件所受的外力作用在結(jié)構(gòu)、構(gòu)件軸線同一平面內(nèi)時，一般情況下，橫截面上的內(nèi)力有軸力、剪力、和彎矩。2.求內(nèi)力的基本方法是截面法。用截面法求解內(nèi)力的步驟為：以假想截面把構(gòu)件斷開為