結(jié)構(gòu)力學 04 三鉸拱

第4章

三鉸拱了解三鉸拱的受力特點掌握三鉸拱的內(nèi)力計算方法理解合理拱軸線的概念和幾種常見的合理拱軸線教學目標Contents目錄您的目錄標題寫在這里(普通樣式)1您的目錄標題寫在這里(突出樣式)3您的目錄標題寫在這里(普通樣式)5您的目錄標題寫在這里(普通樣式)2您的目錄標題寫在這里(普通樣式)4概述§4.1拱是軸線（截面形心的連線）為曲線且在豎向荷載下會產(chǎn)生水平反力的結(jié)構(gòu)。拱結(jié)構(gòu)是應(yīng)用比較廣泛的結(jié)構(gòu)型式之一。在房屋和橋梁建筑中，經(jīng)常用到拱結(jié)構(gòu)。拱結(jié)構(gòu)通常有三種常見的形式，其計算簡圖如圖，圖（a）、（b）所示的無鉸拱和兩鉸拱是超靜定結(jié)構(gòu)。圖（c）所示的三鉸拱為靜定結(jié)構(gòu)。概述§4.1拱結(jié)構(gòu)的特點是：桿軸為曲線，而且在豎向荷載作用下支座將產(chǎn)生水平力。這種水平反力又稱為水平推力，或簡稱為推力。拱結(jié)構(gòu)與梁結(jié)構(gòu)的區(qū)別，不僅在于外形不同，更重要的還在于豎向荷載作用下是否產(chǎn)生水平推力。拱結(jié)構(gòu)最高的一點稱為拱頂，三鉸拱的中間鉸通常是安置在拱頂處。拱的兩端與支座聯(lián)結(jié)處稱為拱趾，或稱拱腳。兩個拱趾間的水平距離l稱為跨度。拱頂?shù)絻晒爸哼B線的豎向距離f稱為拱高，或稱拱矢。如圖（a）所示。拱高與跨度之比f/l稱為高跨比或矢跨比。由后面可知，拱的主要力學性能與高跨比有關(guān)。三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2三鉸拱為靜定結(jié)構(gòu)，其全部反力和內(nèi)力都可由靜力平衡方程求出。為了說明三鉸拱的計算方法，現(xiàn)以圖（a）為例，導(dǎo)出其計算公式。1.支座反力的計算公式三鉸拱的兩端都是鉸支座，因此有四個未知反力，故需列四個平衡方程進行解算。除了三鉸拱整體平衡的三個方程之外，還可利用中間鉸處不能抵抗彎矩的特性(即彎矩Mc=0)來建立一個補充方程。三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2從求解結(jié)論，可以看出，圖(a)和(b)相應(yīng)的豎向支座反力相同水平支座反力右邊的分子，等于相應(yīng)簡支梁上與拱的中間鉸位置相對應(yīng)的截面C的彎矩M0C。由此可得：三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2由上式可知，推力FX等于相應(yīng)簡支梁截面C的彎矩MC0除以拱高f。其值只與三個鉸的位置有關(guān)，而與各鉸間的拱軸形狀無關(guān)。換句話說，即只與拱的高跨比f/l有關(guān)。當荷載和拱的跨度不變時，推力FX將與拱高f反比，即f愈大則FX愈小，反之，f愈小則FX愈大。三鉸拱的內(nèi)力計算§4.22.內(nèi)力的計算公式計算內(nèi)力時，應(yīng)注意到拱軸為曲線這一特點，所取截面與拱軸正交，即與拱軸的切線相垂直，截面K的內(nèi)力可以分解為彎矩MK、剪力FSK和軸力FNK，其中FSk沿截面方向，即沿拱軸法線方向作用，軸力FNK沿垂直于截面的方向，即沿拱軸切線方向作用。

三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2（1）彎矩的計算公式彎矩的符號，規(guī)定以使拱內(nèi)側(cè)纖維受拉的為正，反之為負。取AK段為隔離體，如圖(c)得截面K的彎矩由三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2（2）剪力的計算公式剪力的符號，通常規(guī)定以使截面兩側(cè)的隔離體有順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢的為正，反之為負。以AK段為隔離體，如圖(c)，由平衡條件得可得：三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2（3）軸力的計算公式因拱軸通常為受壓，所以規(guī)定使截面受壓的軸力為正，反之為負。取AK段為隔離體，如圖（c），由平衡條件可得：三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2例4.1

圖4.5（a）所示為一三鉸拱，其拱軸為一拋物線，當坐標原點選在左支座時，拱軸方程為：三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2解：先求支座反力，可得反力求出后，即可用截面法求解內(nèi)力圖。為此，將拱跨分成八等分，列表算出各截面上的M、FS、FN值，然后根據(jù)表中所得數(shù)值繪制M、FS、FN圖。三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2三鉸拱的內(nèi)力計算§4.2三鉸拱的壓力線和合理拱軸線§4.31、拱的壓力線三鉸拱任一截面上一般有彎矩、剪力和軸力三個內(nèi)力，它們可以合成為作用于該截面的一個合力。因為拱截面上的軸力通常為壓力，所以合力稱為該截面的總壓力。三鉸拱各截面總壓力作用點的連線，稱為三鉸拱的壓力線。壓力線表示拱截面合力偏離開心的程度，偏心距越小，則作用于截面上的彎矩越小。由于左右兩個支座及拱頂處的彎矩為零，因此壓力線必定通過三個鉸的中心。對于磚、石及混凝土材料的拱，若要求截面不出現(xiàn)拉應(yīng)力，則壓力線不應(yīng)超出截面核心的范圍。2、拱的合理軸線在一般情況下，三鉸拱截面上有彎矩、剪力和軸力，處于偏心受壓狀態(tài)，其正應(yīng)力分布不均勻。但是，我們可以選取一根適當?shù)墓拜S線，使得在給定荷載作用下，拱上各截面只承受軸力，而彎矩為零，這樣的拱軸線稱為合理軸線。可得三鉸拱的壓力線和合理拱軸線§4.3三鉸拱的壓力線和合理拱軸線§4.3例4.2試求圖（a）所示對稱三鉸拱在均勻荷載q作用下的合理拱軸線。解：作出相應(yīng)簡支梁如圖（b）所示，其彎矩方程為合理軸線方程小結(jié)1.靜定拱主要有三鉸拱和帶拉桿的三鉸拱。它們是由曲桿組成，在豎向荷載作用下，支座處有水平反力的結(jié)構(gòu)。水平推力使拱上的彎矩比同情況下的梁的彎矩小得多。因而材料可以充分得