結構力學 10 影響線

第10章影響線教學目標掌握影響線的概念，了解公路橋涵標準荷載，理解內力包絡圖的概念掌握靜定梁反力內力影響線的繪制方法掌握利用影響線求解移動荷載作用下量值的方法Contents目錄概述1機動法作靜定梁的影響線3影響線的應用5靜力法作靜定梁的影響線2機動法作連續(xù)梁的影響線4內力包絡圖的概念6概述§10.1影響線的概念橋梁上行駛的火車、汽車，活動的人群，吊車梁上行駛的吊車等等，這類作用位置經常變動的荷載稱為移動荷載。常見的移動荷載有：間距保持不變的幾個集中力（稱為行列荷載）和均布荷載。為了簡化問題，我們往往先從單個移動荷載的分析入手，再根據(jù)疊加原理來分析多個荷載以及均布荷載作用的情形。

對于工程計算中的各種物理量和幾何量，我們統(tǒng)稱為量值，記作Z。由于移動荷載的作用位置是變化的，使得結構的支座反力、截面內力、應力、變形等等也是變化的。因此，在移動荷載作用下，我們不僅要了解結構不同部位處量值的變化規(guī)律，還要了解結構同一點處的量值隨荷載位置變化而變化的規(guī)律，以便找出可能發(fā)生的最大內力是多少，發(fā)生的位置在哪里，此時荷載位置又怎樣，從而保證結構的安全設計和施工。在豎向單位移動荷載作用下，結構內力、反力或變形的量值隨豎向單位荷載位置移動而變化的規(guī)律圖像稱為影響線。概述§10.11.公路標準荷載制

我國公路橋梁設計所使用的標準荷載，分為車道荷載和車荷載兩類。荷載等級分為公路-I級和公路-Ⅱ級兩個等級。

車道荷載由均布荷載和集中荷載組成，其計算圖式見圖10.3。公路I級的均布荷載標準值為qk=10.5kN/m；集中荷載標準值按以下規(guī)定選?。簶蛄河嬎憧鐝叫∮诨虻扔?m時Pk=270kN；橋梁計算跨徑等于或大于50m時Pk=360kN；橋梁計算跨徑在5m～50m之間時，PK采用直線內插求得。計算剪力效應時，上述集中荷載標準值Pk應乘以1.2的系數(shù)。公路-Ⅱ級車道荷載的標準值qk和集中荷載標準值Pk按公路-I級車道荷載的0.75倍采用。車道荷載的均布荷載標準值應滿布于使結構產生最不利效應的同號影響線上；集中荷載標準值只作用于相應影響線中一個最大影響線峰值處。概述§10.12.鐵路標準荷載制

我國鐵路橋涵設計使用的標準荷載，稱為“中華人民共和國鐵路標準活載”，簡稱為“中—活載”。它包括普通活載和特種活載兩種，其形式如圖10.5所示。一般設計時采用普通活載，它代表一列火車的重量，前面五個集中荷載代表一臺機車的五個軸重，中部一段30m長的均布荷載代表煤水車和與其相聯(lián)掛的另一臺機車與煤水車的平均重量。后面任意長的均布荷載，代表車輛的平均重量。特種活載代表某些機車、車輛的較大軸重。特種活載雖軸重較大，但軸數(shù)較少，故僅對小跨度橋梁(約7m以下)控制設計。靜力法作靜定梁的影響線§10.2靜力法作靜定梁的影響線

繪制影響線有兩種方法，即靜力法和機動法。利用靜力平衡條件建立量值關于荷載作用位置的函數(shù)關系，進而繪制該量值影響線的方法稱為靜力法。10.2.1簡支梁的影響線（1）支反力影響線首先，建立坐標系。如圖(b)所示，取A為坐標原點，x軸向右為正。由整體的力矩平衡條件(0≤x≤l)

靜力法作靜定梁的影響線§10.2可見，支反力FRA隨FP=1位置的改變而變化，是x的一次函數(shù)，所以FRA影響線是一條直線，作出FRA影響線如圖(c)所示。同理，F(xiàn)RB影響線方程可由整體的解得，為(0≤x≤l)

靜力法作靜定梁的影響線§10.2(0≤x≤a)

取任意指定截面C，當FP=1在其以左移動時（即在AC段上移動，0≤x≤a），由截面C以右部分CB段隔離體的力矩平衡條件，可得（2）彎矩影響線靜力法作靜定梁的影響線§10.2(a≤x≤l)

當FP=1在CB段上移動時（a≤x≤l），由截面C以左部分AC段的，可得靜力法作靜定梁的影響線§10.2C截面的剪力影響線。當單位力F在梁上移動時，C截面彎矩也隨之變化，根據(jù)截面法可以得知，當F在AC段上移動時，即當靜力法作靜定梁的影響線§10.2例10.1作圖10.8（a）所示外伸梁支座反力的影響線。解：設A點為坐標原點。討論A支座反力的影響線。且注意到單位力F在AB段移動時對B點之矩的轉向與其在BC段移動時對B點之矩的轉向是不同的，因此應分段討論。當0≤X≤l

時，由ΣMB=0，得：當

l

≤X≤l+C

時同理0

≤X≤l+C

時靜力法作靜定梁的影響線§10.2影響線與內力圖是截然不同的，初學者容易將兩者混淆。盡管兩者均表示某種函數(shù)關系的圖形，但各自的自變量和因變量是不同的?，F(xiàn)以簡支梁彎矩影響線和彎矩圖為例作比較如下圖10.11(a)表示簡支梁的彎矩MC影響線，圖10.11(b)表示荷載F作用在C點時的彎矩圖。兩圖形狀相似，但各縱距代表的含義卻截然不同。例如D點的縱距，在MC影響線中yD代表F=1移動至D點時引起的截面C的彎矩的大小。而彎矩圖中yD代表固定荷載F作用在C點時產生的截面D的彎矩值MD。其他內力圖與內力影響線的區(qū)別也與上相同影響線與內力圖的比較

機動法作靜定梁的影響線§10.3利用虛位移原理作影響線的方法稱為機動法。由于在結構設計中往往只需要知道影響線的輪廓，而機動法能不經計算就可迅速繪出影響線的輪廓，這對設計工作很有幫助。另外，也可對靜力法繪制的影響線進行校核用機動法作靜定梁的影響線的一般步驟為：去掉與量值對應的約束，以量值代替，使梁成為可變體系。使體系沿量值的正方向發(fā)生單位位移，根據(jù)剩余約束條件作出梁的剛體位移圖，此圖像即為欲求量值的影響線。

機動法作靜定梁的影響線§10.3例10.4作圖10.14（a）所示外伸梁B截面彎矩影響線和B左截面剪力的影響線

機動法作靜定梁的影響線§10.3例10.5作圖10.15（a）所示多跨靜定梁C支座反力FCy和K截面內力MK、FSK的影響線。解:對于多跨靜定梁來說，在繪制虛位移圖時要注意幾何位移協(xié)調，滿足剩余約束條件。由于A為固定支座，不允許發(fā)生位移和轉角，所以在作圖過程中，畫C支座反力的影響線時，AB段沒有剛體位移，同樣，畫K截面內力影響線時，AK段也沒有剛體位移，注意到這一點，再根據(jù)約束條件，可得出欲求量值的影響線，如圖10.15（c）（e）（g）所示。

機動法作連續(xù)梁的影響線§10.4對于連續(xù)梁來說，機動法作影響線的步驟仍然和靜定梁一樣，但是由于結構在去掉量值所對應的約束后，結構整體或者部分仍可保持為幾何不變，要使結構發(fā)生虛位移，梁的位移就不再是剛體運動，位移圖也不再是直線，而是約束所允許的光滑連續(xù)的彈性變形曲線，這是連續(xù)梁影響線的特征，在繪制影響線圖的時要注意這個特點。正因為連續(xù)梁的影響線為彈性變形曲線，所以其影響線的特征值難以直接利用機動法來加以確定。對于連續(xù)梁來說，常見荷載為均布荷載，很多情況下只需要根據(jù)影響線的輪廓來幫助確定最不利荷載位置，所以連續(xù)梁的影響線一般都是用機動法來分析，繪出圖像輪廓線即可。影響線的應用§10.510.5.1利用影響線求固定荷載下的量值

現(xiàn)已知道，影響線的橫坐標表示單位集中力的作用位置，縱坐標表示單位集中力作用在該位置時的量值大小。如將集中力的固定作用位置視為荷載移動過程中的某個位置，就可以利用影響線計算固定集中力下的量值。影響線反映的是單位集中荷載下量值的大小，而當集中荷載不等于1時，只需將相應的影響線值（注意正負號）乘以荷載大小即可。如果多個集中荷載同時作用，可運用疊加法，每個荷載分別計算后進行疊加。影響線的應用§10.5例10.7利用影響線求圖10.19（a）所示多跨靜定梁K截面的彎矩MK

。解：1、先作出MK的影響線，如圖10.19（b）所示。2、確定影響線的應用§10.5荷載最不利位置的確定使量值取得最大值時的荷載位置就是荷載的最不利位置，荷載最不利位置確定后，將荷載按最不利位置作用，然后將其視為固定荷載，即可利用影響線計算其極值。下面分集中荷載和移動均布荷載兩種情況來說明。單個集中力移動式時，荷載的不利位置就是影響線的頂點。當荷載作用于該點時，量值取最大值。對于圖10.20所示間距保持不變的一組集中荷載來說，可以推斷：量值取最大值時，必定有一個集中荷載作用于影響線頂點。作用于影響線頂點的集中荷載稱為臨界荷載，對于臨界荷載可以用下面兩個判別式來判定影響線的應用§10.5例10.8求圖10.21（a）所示簡支梁在圖示吊車荷載作用下，截面K的最大彎矩。解

先作MK的影響線，如圖10.21（b）所示。選F2作為臨界荷載FK來考察，將F2置于影響線的頂點處，如圖10.21（c）所示，此時力F1落在梁外，不予考慮，代入臨界荷載的判別式，有：F2滿足判別式，所以是臨界荷載。將其他集中荷載分別置于頂點，用同樣的方法可以判定都不是臨界荷載。所以圖10.21（c）所示F2作用在K點時為MK的最不利荷載位置。利用影響線可以求得MK的極值：內力包絡圖的概念§10.6在固定荷載作用下，通過繪制梁的彎矩圖可以得到整個梁的最大、最小彎矩值。同樣在移動荷載下，我們不僅要了解某個截面的內力變化規(guī)律，更關心整個梁的危險彎矩，這個危險彎矩就稱為梁的絕對最大彎矩。由前面的討論可知，在移動荷載下，量值也是隨著荷載位置的變化而變化。因此，在荷載的變化范圍內，量值必定有一個最大值和一個最小值。將梁沿長度方向分為n等分，即等距離的?。╪+1）個截面，分別作這些截面的內力影響線，討論內力的極值。將求得的各截面內力的最大值連線，將求得的內力最小值連線，由此得到的圖像稱為內力包絡圖。梁的內力包絡圖主要有彎矩包絡圖及剪力包絡圖。1.影響線是在豎向單位移動荷載作用下，結構內力、反力或變形的量值隨豎向單位荷載位置移動而變化的規(guī)律。影響線的橫坐標表示單位移動荷載作用位置，縱坐標表示單位移動荷載作用下結構某一指定位置某一量值的大小。2.繪制影響線有靜力法和機動法兩種。

根據(jù)靜力平衡條件建立量值關于單位移動荷載作用位置的函數(shù)方程，據(jù)此函數(shù)繪制影響線的方法稱為靜力法。

由虛位移原理，撤除與所求量值對應的約束，沿量值正向給出單位位移，根據(jù)約束條件作出機構的位移圖來繪制影響線的方法稱為機動法。

靜定結構的影響線由直線段組成，超靜定結構的影響線由曲線構成。3.固定荷載作用下的量值計算式為：小結