第三章 熱平衡態(tài)下半導(dǎo)體載流子的統(tǒng)計(jì)分布

第三章熱平衡態(tài)下半導(dǎo)體載流子的統(tǒng)計(jì)分布熱平衡熱平衡時非簡并半導(dǎo)體載流子濃度的計(jì)算本征半導(dǎo)體載流子濃度的計(jì)算雜質(zhì)半導(dǎo)體載流子濃度的計(jì)算簡并半導(dǎo)體載流子濃度的計(jì)算§3-1熱平衡狀態(tài)一、

熱平衡在一定的溫度下，存在：產(chǎn)生載流子過程——電子從價帶或雜質(zhì)能級向?qū)кS遷復(fù)合過程——電子從導(dǎo)帶回到價帶或雜質(zhì)能級上在一定溫度下，產(chǎn)生數(shù)＝復(fù)合數(shù)→熱平衡狀態(tài)產(chǎn)生復(fù)合EcEDEV二、熱平衡時載流子的濃度載流子的濃度取決于：允許電子存在的量子態(tài)在能帶中按能量是如何分布的，或者說每一個能量E有多少允許電子存在的量子態(tài)電子如何按能量分布在能帶中的各能級上假設(shè)：導(dǎo)帶中單位能量間隔含有的狀態(tài)數(shù)為gc(E)——導(dǎo)帶的狀態(tài)密度能量為E的每個狀態(tài)被電子占有的幾率為f(E)

在能量dE內(nèi)的狀態(tài)具有的電子數(shù)為：f(E)gc(E)dE

整個導(dǎo)帶的電子數(shù)N為：式中Ec′為導(dǎo)帶頂?shù)哪芰咳艟w的體積為V，那么電子的濃度為：空穴占據(jù)能量E的幾率為：1-f(E)空穴的濃度p為：式中Ev′為價帶底的能量gv(E)為價帶中單位能量間隔含有的狀態(tài)數(shù)——價帶的狀態(tài)密度§3-2熱平衡態(tài)時電子在量子態(tài)上

的幾率分布一、費(fèi)米分布函數(shù)和費(fèi)米能級晶體能帶中電子的能量狀態(tài)是量子化的，電子在各能級上的分布遵從費(fèi)米分布。在導(dǎo)帶和價帶處電子遵循的費(fèi)米統(tǒng)計(jì)規(guī)律：費(fèi)米分布函數(shù)——一個電子占據(jù)能量E的幾率。式中EF具有能量量綱，稱為費(fèi)米能級沒有被電子占有的幾率為：2.在雜質(zhì)能級EA和ED處

電子占據(jù)ED的幾率：

空穴占據(jù)EA的幾率：3.f(E)的特點(diǎn)(1)f(E)與溫度T有關(guān)T=0KE>EFf(E)=0E<EFf(E)=1∴EF在禁帶中T>0K，且溫度不太高時

E>EFf(E)<1/2E<EFf(E)>1/2E=EFf(E)=1/2T↑,E>EFf(E)↑E<EFf(E)↓（2）f(E)與EF有關(guān)EF↑，f(E)↑，能帶中的電子占有幾率增加

(a)強(qiáng)p型(b)p型(c)本征(d)n型(e)強(qiáng)n型費(fèi)米能級的位置標(biāo)志著電子填充水平的高低。

EF是電子熱力學(xué)系統(tǒng)的化學(xué)勢，是反映電子基本占據(jù)或基本不占據(jù)某一能量狀態(tài)的一個界限標(biāo)志，與溫度、半導(dǎo)體類型及雜質(zhì)濃度等有關(guān)。熱平衡狀態(tài)下，一個電子系統(tǒng)有相同的化學(xué)勢，即有統(tǒng)一的費(fèi)米能級。二、玻爾茲曼分布電子的玻氏分布當(dāng)E-EF

>>k0T時，>>1，電子占據(jù)量子態(tài)的幾率fn(E)<<1，此時不受泡利不相容原理限制，費(fèi)米分布轉(zhuǎn)化為玻爾茲曼分布，電子分布遵循玻爾茲曼分布。——玻爾茲曼分布例如：E-EF＝5kT時，本征Si：

(EF)本征≈Ei

(禁帶中心能級)

禁帶寬度Eg=1.12eV，

Ec-EF

=Ec-Ei

=0.56eV在室溫時，kT＝0.026eV0.56/0.026＝21.6>>5

常見的半導(dǎo)體中，EF位于禁帶內(nèi)，導(dǎo)帶底和價帶頂滿足E-EF

>>k0T，故常用玻爾茲曼分布計(jì)算半導(dǎo)體問題。通常把服從玻爾茲曼分布的電子系統(tǒng)稱為非簡并系統(tǒng)，服從費(fèi)米分布的電子系統(tǒng)稱為簡并系統(tǒng)。2.空穴的玻氏分布當(dāng)EF

-E>>kT時，空穴占據(jù)能量E的幾率≈

E↑，空穴占有幾率增加：EF↑，空穴占有幾率下降，即電子的填充水平增高。滿足：

E-EF

>>k0T或EF

–E>>k0T的半導(dǎo)體稱為非簡并半導(dǎo)體；否則為簡并半導(dǎo)體?！?-3量子態(tài)密度

量子態(tài)(狀態(tài))密度——能帶中能量E+dE之間有dz個量子態(tài)，則狀態(tài)密度為：即狀態(tài)密度是能帶中能量E附近單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)目，它是能量E的函數(shù)。狀態(tài)密度的計(jì)算：k空間的狀態(tài)密度——單位k空間體積內(nèi)的量子態(tài)數(shù)能量間隔dE對應(yīng)的k空間體積能量間隔dE對應(yīng)的量子態(tài)數(shù)dz計(jì)算狀態(tài)密度g(E)一、理想晶體的k空間的狀態(tài)密度1.一維晶體設(shè)它由N個原子組成，晶格常數(shù)為a，晶體長度為L，起點(diǎn)在x處：在x和x+L處，電子的波函數(shù)分別為φ(x)和φ(x+L)xX+LaL=a×N01/L2/L-2/L-1/Lk2.三維晶體設(shè)晶體的邊長為L,L=N×a,體積為V=L×L×L小立方的體積為：→一個允許電子存在的狀態(tài)在k空間所占的體積單位k空間允許的狀態(tài)數(shù)為：單位k空間體積內(nèi)所含的允許狀態(tài)數(shù)＝晶體體積

——k空間的量子態(tài)（狀態(tài)）密度kxkzky考慮自旋后，k空間的電子態(tài)密度為：2V任意k空間體積中所包含的電子態(tài)數(shù)為：波矢k～電子態(tài)的關(guān)系→能量E～電子態(tài)的關(guān)系↑能量E～波矢k的關(guān)系二、半導(dǎo)體導(dǎo)帶底和價帶頂?shù)臓顟B(tài)密度極值點(diǎn)k0＝0，E(k)為球形等能面導(dǎo)帶底球形等能面的半徑r：球所占的k空間的體積為：設(shè)這個球內(nèi)所包含的電子態(tài)數(shù)為Z(E):Z(E)=k0→k態(tài)所含的電子態(tài)數(shù)

=Ec→E所含的電子態(tài)數(shù)=能量由E增加到E+dE，k空間體積增加：電子態(tài)變化dZ(E):導(dǎo)帶底附近單位能量間隔的電子態(tài)數(shù)——量子態(tài)(狀態(tài))密度為：硅、鍺的導(dǎo)帶底附近，等能面是旋轉(zhuǎn)橢球，其E(k)與k的關(guān)系：

導(dǎo)帶底附近狀態(tài)密度為:多數(shù)半導(dǎo)體的價帶極大值附近可近似用球形等能面處理，且輕、重空穴帶在k=0處重合。其狀態(tài)密度為：狀態(tài)密度與能量的關(guān)系:(2)價帶頂gc(E)gv(E)EEcEv12對Si、Ge、GaAs材料令：稱mdp為價帶空穴狀態(tài)密度的有效質(zhì)量2.極值點(diǎn)k0≠0導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度為：式中S為導(dǎo)帶極小值的個數(shù)，Si:S=6,Ge:S=4令稱mdn為導(dǎo)帶電子狀態(tài)密度的有效質(zhì)量§3-4熱平衡時非簡并半導(dǎo)體的

載流子濃度n0和p0一、導(dǎo)帶電子濃度n0和價帶空穴濃度p01.電子濃度在能量E→E+dE間隔內(nèi)的電子數(shù)dN為：dN

=fB(E)gc(E)dE

整個導(dǎo)帶的電子數(shù)N為：

引入：利用積分公式：∴導(dǎo)帶中電子的大多數(shù)是在導(dǎo)帶底附近，熱平衡條件下，非簡并情況下導(dǎo)帶中的電子濃度n0：↑電子占據(jù)導(dǎo)帶底Ec

的幾率令←導(dǎo)帶的有效狀態(tài)密度∴電子濃度n0：2.空穴濃度同樣，價帶中大多數(shù)空穴位于價帶頂附近，非簡并情況下價帶中的空穴濃度：其中——價帶的有效狀態(tài)密度在室溫時：

Nc(cm-3)Nv(cm-3)Si2.8×10191.2×1019Ge1.04×10196.1×1018

GaAs4.7×10177×1018∴n0和p0隨溫度和EF不同而變化。二.影響n0和p0的因素

mdn和mdp的影響——材料的影響溫度的影響

NC、NV

～T

NC

、NV∝T3/2

T↑,NC、NV↑,n0、p0↑

占據(jù)EC、EV的幾率與T有關(guān)T↑,幾率↑∴T↑,n0、p0↑

3.EF位置的影響

EF→EC，EC-EF↓，n0↑—EF越高，電子的填充水平越高，對應(yīng)ND較高

EF→EV，EF-EV↓，p0↑—EF越低，電子的填充水平越低，對應(yīng)NA較高n0和p0與摻雜有關(guān)，取決于摻雜的類型和數(shù)量三、載流子的濃度積濃度積n0p0及影響因素n0p0與EF無關(guān)，不同半導(dǎo)體，由Eg

、T決定；一定半導(dǎo)體，取決于T,與雜質(zhì)無關(guān)。處于熱平衡的半導(dǎo)體，

n0、p0成反比。適用于熱平衡下的本征半導(dǎo)體和非簡并雜質(zhì)半導(dǎo)體。在一定的溫度下，載流子的濃度積與雜質(zhì)無關(guān)本征半導(dǎo)體：n01，p01n01=p01=ni(ni－本征載流子濃度)N型：n02，p02n02

＞p02P型：n03，p03p03＞n032.應(yīng)用

(1)在常溫下，已知施主濃度ND，并且全部電離，求導(dǎo)帶電子濃度n0和價帶空穴濃度p0?！呤┲魅侩婋x∴

n0=ND

(2)在常溫下，已知受主濃度NA，并且全部電離，求導(dǎo)帶電子濃度n0和價帶空穴濃度p0。∵受主全部電離1.已知室溫時，N型Si半導(dǎo)體的費(fèi)米能級位于禁帶中心線以上0.30ev處，試求出室溫時：（1）導(dǎo)帶電子濃度n0；（2）價帶空穴濃度p0;

（3）導(dǎo)帶電子濃度與價帶空穴濃度的乘積n0p02.已知室溫時，P型Si半導(dǎo)體的費(fèi)米能級位于禁帶中心線以下0.25ev處，試求出室溫時：（1）導(dǎo)帶電子濃度n0；（2）價帶空穴濃度p0;（3）導(dǎo)帶電子濃度與價帶空穴濃度的乘積n0p0室溫時Si半導(dǎo)體：載流子濃度是決定半導(dǎo)體導(dǎo)電性能的首要因素。在熱平衡態(tài)下，半導(dǎo)體導(dǎo)帶中的電子和價帶中的空穴濃度保持一個穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)平均值，顯然，這一數(shù)值與溫度和雜質(zhì)濃度密切相關(guān)。包括研究本征半導(dǎo)體和非簡并情況下的雜質(zhì)半導(dǎo)體。內(nèi)容：各種條件下的載流子濃度及它與溫度及雜質(zhì)濃度的關(guān)系。為了求出在某一溫度和雜質(zhì)濃度下載流子濃度的具體表達(dá)式，分析過程如下：寫出電中性條件，解出EF，代入基本公式求出其載流子濃度?！?-5

本征半導(dǎo)體的費(fèi)米能級和載流子濃度一、本征半導(dǎo)體的費(fèi)米能級Ei電中性條件：

n0

=p0電中性方程：費(fèi)米能級：Ei

為禁帶的中心能級將NC、NV代入：本征半導(dǎo)體的費(fèi)米能級Ei對于常用的半導(dǎo)體材料Si、Ge和GaAs，EF基本上在禁帶中線處。對Ge：mdp

=0.37m0，mdn

=0.56m0室溫時，kT

=0.026ev,EF－Ei

=－0.008eV

(Eg)Ge

=0.67ev∴EF≈Ei對Si、GaAs一樣，EF≈Ei對InSb，Eg

=0.17ev，EF≠Ei二、本征載流子濃度及影響因素1.本征載流子濃度ni表明：在一定溫度下，非簡并半導(dǎo)體的熱平衡載流子濃度乘積n0p0等于本征載流子濃度的平方，與所含雜質(zhì)無關(guān)。T一定，Eg越大，ni指數(shù)下降；Eg一定，ni隨T升高而指數(shù)增大；用本征材料制作的器件極不穩(wěn)定，常用雜質(zhì)半導(dǎo)體。每一種半導(dǎo)體材料器件有一定的極限工作溫度,其溫度值隨Eg增大而增加。

2.影響ni的因素(1)mdn、mdp、Eg——材料(2)T的影響

T↑，lnT↑，1/T↓，ni↑高溫時，在ln

ni

～1/T坐標(biāo)下近似為一直線。lnni-Eg/(2K)1/T三、本征半導(dǎo)體在應(yīng)用上的限制純度達(dá)不到本征激發(fā)是載流子的主要來源，雜質(zhì)原子/總原子＜＜本征載流子/總原子例如Si：原子密度為1023/cm3，室溫時，ni

=1010/cm3

本征載流子/總原子=1010/1023=10-13

＞雜質(zhì)原子/總原子∴Si的純度必須高于99.9999999999999%本征載流子濃度隨溫度變化很大在室溫附近：Si:T↑8K，ni↑一倍

Ge:T↑12K，ni↑一倍本征半導(dǎo)體的電導(dǎo)率無法控制§3-6非簡并雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度一、雜質(zhì)能級上的電子濃度和空穴濃度

電子占據(jù)ED的幾率:

空穴占據(jù)EA的幾率:

若施主濃度和受主濃度分別為ND、NA，施主能級上的電子濃度nD為:—未電離的施主濃度電離的施主濃度nD+為：沒有電離的受主濃度pA為：電離的受主濃度pA-為：

EF-EA

＞＞kTpA→0，pA-→NA，受主幾乎全電離

EA-EF

＞＞kT

pA→NA，pA-→0，受主幾乎都未電離

EF

=EA

EF

高時，受主全電離；EF低時，受主未電離；施主相反，EF

高時，施主未電離；EF低時,施主全電離。EF→雜質(zhì)的電離→導(dǎo)帶電子或價帶空穴↑內(nèi)在聯(lián)系↑要寫出雜質(zhì)半導(dǎo)體的電中性方程，需要了解雜質(zhì)電離情況的有關(guān)量：施主能級上的電子濃度中性受主能級上的空穴濃度中性電離施主濃度帶正電電離受主濃度帶負(fù)電熱平衡均勻半導(dǎo)體內(nèi)各處都是電中性的，即總的正電荷和負(fù)電荷須相等，其電中性條件一般可寫為：一般情況下的載流子統(tǒng)計(jì)分布：

半導(dǎo)體含有一種施主和一種受主時，電中性條件：采用有效雜質(zhì)濃度:可利用前面的單一雜質(zhì)半導(dǎo)體的相應(yīng)理論。半導(dǎo)體中含i種受主和j種施主，則電中性條件為：本節(jié)要點(diǎn)：在不同溫度和摻雜下的費(fèi)米能級與載流子濃度。雜質(zhì)能級上的電子和空穴：一個雜質(zhì)能級最多只能容納一個電子或空穴。電離施主雜質(zhì)濃度：電離受主雜質(zhì)濃度：二、雜質(zhì)半導(dǎo)體載流子濃度和費(fèi)米能級帶電粒子有：電子、空穴、電離的施主和電離的受主電中性條件：n0

+pA-=p0

+nD+

n型半導(dǎo)體的載流子濃度:

雜質(zhì)電離在低溫下就不可忽視，室溫下幾乎全電離，達(dá)到飽和；本征激發(fā)在室溫下一般都比較小，但隨溫度升高，迅速增大。雜質(zhì)電離區(qū)，多子幾乎完全由雜質(zhì)電離提供；過渡區(qū)：本征激發(fā)不可忽視，數(shù)量級上與雜質(zhì)電離相當(dāng)；本征激發(fā)區(qū):本征激發(fā)產(chǎn)生的載流子至少比雜質(zhì)電離高一個數(shù)量級。雜質(zhì)電離區(qū)：1.1低溫弱電離區(qū)溫度很低，k0T＜△ED＜＜Eg，本征激發(fā)很小(1)

含有ND、NA

兩種雜質(zhì)，但ND＞NA

因?yàn)镹D＞NA，價帶空穴主要來源于本征激發(fā)，而本征激發(fā)很小，所以p0可忽略。電中性條件可簡化為：

n0

+pA-=nD+施主部分電離，EF在ED附近；EF＞＞EA，受主全電離，∴

pA-=NA

∵

nD+

=ND－nD∴

n0=ND－nD－NA將nD

代入，并移項(xiàng)后，得：兩邊同乘：令∵n0＜＜Nc，kTln(n0/Nc)＜0，∴EF＜Ec(2)NA=0n0，EF

∵溫度很低，少量施主電離

n0～T的關(guān)系

對n0的表達(dá)式取對數(shù)：-Eg/(2k)-△ED/(2k)lnn01/T

EF～T的關(guān)系T→0K時,NC→0,T↑,NC↑,dEF/dT↓,但,∴EF↑當(dāng)T↑↑,達(dá)到Tmax時:EF達(dá)到最大值當(dāng)T＞Tmax后，EF↓當(dāng)T=T1時：EF

=ED

,

nD=2ND/3,nD+=ND/3中間電離當(dāng)ND↑時，EF～T的變化規(guī)律不變，但Tmax↑,

EFmax↑1.2中間電離區(qū)

溫度升高，當(dāng)2NC>ND時，EF降至ED以下；當(dāng)溫度升高到(EC+ED)／2，EF=ED時，有1／3雜質(zhì)電離參考前面一頁的EF～T關(guān)系1.3飽和電離區(qū)溫度升高到雜質(zhì)全部電離，本征激發(fā)仍很小(1)同時含有ND和NA，且ND＞NA

電中性條件為：∵∴又∵ni<<ND－NA,∴EF＞Ei

則

T↑，ni↑，EF↓(2)NA=0雜質(zhì)全電離時，n0=NDND>ni

∴EF＞EiT↑，ni↑，EF↓ND↑，EF↑這時載流子與溫度無關(guān)，載流子濃度保持等于雜質(zhì)濃度的這一溫度范圍稱為飽和區(qū)。對常用半導(dǎo)體，通常摻雜劑處于飽和區(qū)。雜質(zhì)達(dá)到全電離，存在一個濃度上限，高于此數(shù)值，雜質(zhì)將不能達(dá)到全電離，該值隨溫度升高而增大，隨電離能增加而減小。令未電離施主占施主雜質(zhì)數(shù)的百分比為：有弱電離，D_>10%全電離，D_<10%雜質(zhì)全部電離的濃度上限Nmax決定于電離能和溫度，△ED越高，T越低，Nmax越小。另一方面，雜質(zhì)全部電離的溫度決定于電離能和雜質(zhì)濃度?！鱁D和ND越高，該溫度越高。（例題分析見ppt56～ppt59）

三、工作溫區(qū)的確定1.

已知工作溫度(Tmin—Tmax)確定摻雜范圍(ND)min—(ND)max(1)由工作溫度的上限Tmax，確定摻雜濃度的下限(ND)min根據(jù)Tmax，由lnni～1/T曲線查出Tmax對應(yīng)的ni根據(jù)ni的公式計(jì)算出Tmax所對應(yīng)的(ND)min

(2)由工作溫度的下限Tmin，確定(ND)max要達(dá)到全電離，要求ED>>EF在強(qiáng)電離區(qū)：∴

一般：D-=0.1，達(dá)到全電離。例:計(jì)算工作溫度在室溫到500K的摻P的Si半導(dǎo)體的施主濃度范圍。工作溫區(qū)=強(qiáng)電離區(qū)Tmin

=300K，Tmax

=500K

室溫時：NC=2.8×1019/cm3，△ED=0.044ev(ND)max=3×1017/cm3(ND)min=10ni

(500K)

查表得：T=500K時，ni

=5×1014/cm3

(ND)min=5×1015/cm32.已知雜質(zhì)范圍確定工作溫區(qū)(ND)min→Tmax

(2)(ND)max→Tmin

2.過渡區(qū)(1)同時含有ND、NA，且ND＞NA

電中性條件：（2）NA=0載流子濃度求解聯(lián)立方程：

當(dāng)ND＞＞ni

時:靠近飽和區(qū)一側(cè)當(dāng)ND＜＜ni

時:靠近本征區(qū)一側(cè)

3.本征激發(fā)區(qū)本征激發(fā)產(chǎn)生的載流子數(shù)遠(yuǎn)多于雜質(zhì)電離產(chǎn)生的載流子數(shù)，即EF接近禁帶中線處，載流子濃度隨溫度升高而迅速增加；雜質(zhì)濃度越高，本征激發(fā)起作用的溫度越高。

5.P型半導(dǎo)體的載流子濃度和費(fèi)米能級低溫弱電離區(qū)(2)飽和電離區(qū)p0=NA，n0=ni2/NA(3)過渡區(qū)T↑，EF↑(4)本征激發(fā)區(qū)注意：計(jì)算摻雜半導(dǎo)體的載流子濃度時，需首先考慮屬于何種溫區(qū)。一般T處于300K左右，(處于100K～500k)，且摻雜濃度>>niN型：n0=ND－NA或n0=ND

屬于飽和電離區(qū)P型：p0=NA－ND或p0=NA§3-7簡并半導(dǎo)體(自學(xué)了解)一、簡并半導(dǎo)體的載流子濃度重?fù)诫s時，費(fèi)米能級接近甚至進(jìn)入導(dǎo)帶或價帶，此時導(dǎo)帶電子分布要受到泡利不相容原理的限制，電子服從費(fèi)米分布函數(shù)。

1.EF位于導(dǎo)帶中

其中:

費(fèi)米積分（J為整數(shù)和半整數(shù)）

2.EF位于價帶中

ξ -4 -3-2 -1 -1/201/2F1/2(ξ)0.0160.0430.1150.290.450.6890.99123 41.3962.5023.9775.771二、簡并條件

非簡并：簡并：簡并化條件（N型）：N型半導(dǎo)體的簡并條件：EF－EC≥0P型半導(dǎo)體的簡并條件：Ev－EF≥0開始發(fā)生強(qiáng)簡并時雜質(zhì)濃度：電離能越小，發(fā)生簡并相應(yīng)的濃度越小。三、簡并時的施主濃度∵簡并時EF=EC，∴ED＜EF

n0

=nD+當(dāng)EF=EC,ξ=0，F(xiàn)1/2

(0)≈0.689ND≥2.34NCN型簡并半