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文檔簡介

§8-1

彎曲變形與位移彎曲變形研究范圍:等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的:①對梁作剛度校核;②解超靜定梁(為變形幾何條件提供補充方程)。第八章彎曲剛度1.撓度:橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用ω表示。與f

同向為正,反之為負。

2.轉(zhuǎn)角:橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用表示,順時針轉(zhuǎn)動為正,反之為負。

3、撓曲線:變形后,軸線變?yōu)楣饣€,該曲線稱為撓曲線。其方程為:ω

=f(x)4、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系:彎曲變形小變形PxvCqC1f式(2)就是撓曲線近似微分方程。彎曲變形小變形fxM>0fxM<0(1)§8-2小撓度曲線微分方程曲線f(x)上任一點的曲率為:一、微分方程對于等截面直梁,撓曲線近似微分方程可寫成如下形式:彎曲變形注意:如果取f(x)向上為正,則f’’與M符號相同,上式可不帶負號。1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD二、用積分法求梁的變形討論:

①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。

②可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。

③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件(邊界條件、連續(xù)條件)確定。

④優(yōu)點:使用范圍廣,直接求出較精確;缺點:計算較繁。支點位移條件:連續(xù)條件:光滑條件:彎曲變形[例1]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分應用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解:PLxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xfPL解:建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分彎曲變形xfPLa[例2]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。應用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PLaxf彎曲變形

[例3]試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求C截面撓度和A截面轉(zhuǎn)角。設梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。

解:1.外力分析:求支座約束反力。研究梁ABC,受力分析如圖,列平衡方程:彎曲變形

2.內(nèi)力分析:分區(qū)段列出梁的彎矩方程:3.變形分析:AB段:由于積分后得:彎曲變形BC段:由于,積分后得:邊界條件:當連續(xù)光滑條件:代入以上積分公式中,解得:

彎曲變形故撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程分別為:

由此可知:

1、載荷疊加

多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。2、結(jié)構(gòu)形式疊加(逐段剛化法)彎曲變形§8-3疊加法結(jié)構(gòu)形式疊加(逐段剛化法)原理說明=+彎曲變形PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf

[例4]按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點撓度。解:①載荷分解如圖②由梁的簡單載荷變形表,查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa③

疊加彎曲變形

[例5]

試用疊加法求圖示梁C截面撓度和轉(zhuǎn)角。設梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。(已知AB=BC=l/2)

(a)(b)

+

解:將原圖分解成圖(a)和圖(b)所示情況。

查表,對于圖(a)有:彎曲變形于是有:對于圖(b)有:故梁C截面撓度為:轉(zhuǎn)角為:(順時針)

說明:對于圖(a):BC段無內(nèi)力,因而BC段不變形,BC段為直線?!?-4

簡單靜不定梁1、處理方法:變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合,求全部未知力。解:建立靜定基確定超靜定次數(shù),用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)—靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf彎曲變形幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補充方程求解其它問題(反力、應力、變形等)彎曲變形幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程:解:建立靜定基=[例6]

結(jié)構(gòu)如圖,求B點反力。LBC彎曲變形xfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBCxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程—變形與力的關(guān)系補充方程求解其它問題(反力、應力、變形等)彎曲變形其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角;[f/L]稱為許用撓跨比。、校核剛度:

、設計截面尺寸:、設計載荷:彎曲變形(對于土建工程,強度常處于主要地位,剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外)§8-5彎曲剛度條件一、剛度條件及計算舉例彎曲變形

[例7]

圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長a=200mm的正方形,均布載荷集度,彈性模量E1=10GPa,鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2,彈性模量E2=210GPa,試求拉桿的伸長量及梁跨中點D處沿鉛垂方向的位移。解:靜力分析,求出支座A點的約束反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程:彎曲變形本題既可用積分法,也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法:拉桿BC的伸長為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似微分方程積分得:

彎曲變形邊界條件:當時,;當時,代入上式得故當時,。疊加法:

說明:AB梁不變形,BC桿變形后引起AB梁中點的位移,與BC不變形,AB梁變形后引起AB梁中點的位移疊加。

PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB

[例8]

下圖為一空心圓截面梁,內(nèi)外徑分別為:d=40mm、D=80mm,梁的E=210GPa,工程規(guī)定C點的[f/L]=0.00001,B點的[]=0.001弧度,試校核此梁的剛度。=++=彎曲變形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++圖1圖2圖3解:結(jié)構(gòu)變換,查表求簡單載荷變形。彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf疊加求復雜載荷下的變形校核剛度彎曲變形彎曲變形通過以上討論可知,梁的變形與梁的抗彎剛度EI、跨度l、支座情況、載荷形式及其作用位置有關(guān)。根據(jù)這些因素對彎曲變形的作用,可通過下列措施來提高梁的剛度。

(1)增大抗彎剛度:主要是采用合理的截面形狀,在面積基本不變的情況下,使慣性矩I盡可能增大,可有效地減小梁的變形。為此,工程上的受彎構(gòu)件多采用空心圓形、工字形、箱形等薄壁截面。材料的彈性模量E值愈大,梁的抗彎剛度也會愈大。但對鋼材來說,各類鋼的E值非常接近,故選用優(yōu)質(zhì)鋼對提高梁的抗彎剛度意義并不大。

二、提高梁的剛度的措施

(2)調(diào)整跨度和改善結(jié)構(gòu):靜定梁的撓度與跨度的n次方成正比。在可能的條件下,減小跨度可明顯地減小梁的變形。但減小跨度往往和改變梁的結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起。如圖a)所示受均布載荷作用的簡支梁,若將兩端支座向內(nèi)移動2l/9變?yōu)橥馍炝?圖

b),則其跨中截面的撓度明顯下降。

彎曲變形彎曲變形(3)合理布置外力(包括支座),使M

max

盡可能小PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5對稱PL/43L/4Mx3PL/16+MxqL2/10+彎曲變形qLL/5qL/5qL/2L/2Mx+402qL50

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