第四節(jié) 數(shù)據(jù)處理

第四節(jié)數(shù)據(jù)處理定義：數(shù)據(jù)處理就是用簡(jiǎn)明而嚴(yán)格的方法把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所代表的事物內(nèi)在規(guī)律性提煉出來(lái)。它是獲得數(shù)據(jù)到結(jié)果，包括記錄、整理、計(jì)算、分析等內(nèi)在的一個(gè)加工過(guò)程。數(shù)據(jù)處理方法很多，主要講列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法。一、列表法列表法就是在記錄和處理數(shù)據(jù)時(shí)，將原始數(shù)據(jù)（有時(shí)還把運(yùn)算的中間項(xiàng)）列成表格。要求：要把原始數(shù)據(jù)和必要的運(yùn)算過(guò)程中的中間結(jié)果引入表中。必須標(biāo)明各符號(hào)所代表的物理量的意義，并寫(xiě)明單位。表中的數(shù)據(jù)要正確地反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。記錄環(huán)境數(shù)據(jù)（如溫度）和測(cè)量樣品的參數(shù)。例1：通過(guò)測(cè)量溫度t和在溫度t下銅的電阻Rt來(lái)測(cè)量銅的電阻溫度系數(shù)，得到t與Rt的數(shù)據(jù)列表如下：表中數(shù)據(jù)均為有效數(shù)字優(yōu)點(diǎn)：1.簡(jiǎn)單而明確地表示相關(guān)各物理量之間的關(guān)系。

2.便于對(duì)比檢查測(cè)量與運(yùn)算結(jié)果是否合理。

3.便于發(fā)現(xiàn)和分析問(wèn)題，有助于從中找出規(guī)律性的聯(lián)系和找出經(jīng)驗(yàn)公式。二、作圖法二、作圖法作圖法就是把一系列數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線(xiàn)直觀地表示出來(lái)的一種方法，它是研究物理量之間的變化規(guī)律，找出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，求出經(jīng)驗(yàn)公式最常用的方法之一。1.作圖的應(yīng)用A.圖線(xiàn)是依據(jù)許多數(shù)據(jù)點(diǎn)描出的平滑曲線(xiàn)，因而具有取平均的效果，從圖線(xiàn)我們可以看出偶然誤差的大小以及判斷是否存在系統(tǒng)誤差。。。。。。。B.直接得到經(jīng)驗(yàn)公式(求斜率與截距）

從實(shí)驗(yàn)得出的一系列數(shù)據(jù)為線(xiàn)性關(guān)系或近似為線(xiàn)性關(guān)系時(shí)，可用一直線(xiàn)作為其圖線(xiàn)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到直線(xiàn)的圖線(xiàn)過(guò)程叫直線(xiàn)擬合，數(shù)據(jù)應(yīng)分布在直線(xiàn)兩邊。直線(xiàn)方程為斜率為截距為此法稱(chēng)為三點(diǎn)法，第三個(gè)點(diǎn)為非實(shí)驗(yàn)點(diǎn)截距為C.內(nèi)插與外推從圖線(xiàn)可得到非測(cè)量點(diǎn)的數(shù)據(jù)。如圖所示：利用內(nèi)插或外推使測(cè)量范圍得到了擴(kuò)展，并且方便快捷、避免了復(fù)雜的計(jì)算。當(dāng)數(shù)據(jù)在測(cè)量范圍內(nèi)時(shí)為內(nèi)插（X1,Y1）當(dāng)數(shù)據(jù)在測(cè)量范圍外時(shí)為外推（X2,Y2）注意：實(shí)驗(yàn)圖線(xiàn)是不能隨意延伸，不能認(rèn)定在一定范圍內(nèi)得到的規(guī)律一定可以適應(yīng)于另一范圍。D.校正曲線(xiàn)例2：一信號(hào)源的輸出頻率有較大的誤差，可利用高精度的信號(hào)源對(duì)它進(jìn)行校正，校正結(jié)果如下：利用校正曲線(xiàn)可以提高儀器的準(zhǔn)確度。注意：校正曲線(xiàn)是折線(xiàn)圖，相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線(xiàn)連接。E.曲線(xiàn)改直從實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)常近似滿(mǎn)足一定的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系，給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)找到合適的非線(xiàn)性函數(shù)圖線(xiàn)的過(guò)程叫曲線(xiàn)擬合。很多非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系可通過(guò)適當(dāng)變換成為線(xiàn)性關(guān)系，把這種變換稱(chēng)為曲線(xiàn)改直。測(cè)量單擺的周期T隨擺長(zhǎng)L的變化，函數(shù)關(guān)系為：L~T曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)。若進(jìn)行曲線(xiàn)改直作L~T2曲線(xiàn)。結(jié)果將得到一條通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。其斜率等于。由此可算出試驗(yàn)所在地的重力加速度g例1：電容的放電過(guò)程式中R或c為未知量，可以用作圖的方法確定。兩邊取對(duì)數(shù)得：作曲線(xiàn)，設(shè)圖線(xiàn)的斜率為截距為。由此可算出電路參數(shù)R或c。例2：2.作圖規(guī)則①?zèng)Q定作圖參量(標(biāo)尺）、選取坐標(biāo)紙。

作圖一定要用坐標(biāo)紙，測(cè)量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上也應(yīng)是可靠的，即圖紙上一小格對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位，而誤差位在小格之間估計(jì)。作圖時(shí)縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的比例不一定相同，坐標(biāo)原點(diǎn)也不一定與變量的零點(diǎn)一致。應(yīng)適當(dāng)?shù)剡x擇比例和坐標(biāo)原點(diǎn)，使曲線(xiàn)盡量充滿(mǎn)整個(gè)圖紙，不要偏于一角或一邊。某穩(wěn)壓二極管的I?V曲線(xiàn)2.作圖規(guī)則

②標(biāo)明坐標(biāo)軸和圖名如果圖中包括多條圖線(xiàn)，每條圖線(xiàn)也要寫(xiě)名稱(chēng)。2.作圖規(guī)則

③標(biāo)點(diǎn)若同時(shí)有幾條線(xiàn)，分別用“x”“+”“0”“?”“□”“I”等標(biāo)點(diǎn)，通常不用園點(diǎn)“?”，特別是小圓點(diǎn)“.”，圖線(xiàn)繪制時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確落在標(biāo)記的中心上。2.作圖規(guī)則

④連線(xiàn)a.平滑曲線(xiàn)平滑曲線(xiàn)是表示一定條件下兩個(gè)物理量之間相互關(guān)系的圖線(xiàn)。如果圖線(xiàn)是反映物理量之間未知函數(shù)關(guān)系的，一般應(yīng)繪制平滑曲線(xiàn)，連線(xiàn)應(yīng)盡量平滑、連續(xù)地過(guò)大多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)，曲率應(yīng)連續(xù)過(guò)渡，少數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)不符合整體規(guī)律的，不必過(guò)該數(shù)據(jù)點(diǎn)。b.校正曲線(xiàn)校正曲線(xiàn)是折線(xiàn)圖，相鄰的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)之間都是直線(xiàn)段連接。必須通過(guò)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連成折線(xiàn)。校正值ΔA=A標(biāo)準(zhǔn)-A被校為縱坐標(biāo)，A被校為橫坐標(biāo)，各相鄰校驗(yàn)點(diǎn)之間用直線(xiàn)連接起來(lái)得到的ΔA-A被校圖線(xiàn)即為校正曲線(xiàn)。c.擬合直線(xiàn)和擬合曲線(xiàn)如果測(cè)量數(shù)據(jù)可以用已知或期望的函數(shù)方程表示其規(guī)律性，則用該函數(shù)方程描繪的曲線(xiàn)就是擬合曲線(xiàn)。

從實(shí)驗(yàn)得出的一系列數(shù)據(jù)為線(xiàn)性關(guān)系或近似為線(xiàn)性關(guān)系時(shí)，可用一直線(xiàn)作為其圖線(xiàn)。由這些數(shù)據(jù)得到直的圖線(xiàn)的過(guò)程叫做直線(xiàn)擬合。直線(xiàn)擬合時(shí)，數(shù)據(jù)應(yīng)均勻地分布在直線(xiàn)兩邊。擬合直線(xiàn)是擬合曲線(xiàn)的特例，在實(shí)驗(yàn)中有著廣泛的應(yīng)用。

注意：連線(xiàn)時(shí)不一定通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)（甚至可能一個(gè)點(diǎn)都不通過(guò)），而是讓數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻地分布在擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)的兩旁說(shuō)明:同一圖上要畫(huà)幾條圖線(xiàn)，可以分別用不同虛實(shí)線(xiàn)或不同標(biāo)點(diǎn)或不同顏色畫(huà)出來(lái)。3.作圖舉例例3：直角坐標(biāo)舉例。測(cè)得銅電阻與溫度對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)如表所示，試用直角坐標(biāo)作圖表示出電阻與溫度的函數(shù)關(guān)系。在圖中任選兩點(diǎn)和，

將兩點(diǎn)代入式中可得：最后，得到電阻隨溫度的變化關(guān)系為：由于有x=0的坐標(biāo)點(diǎn)，故用電勢(shì)差計(jì)校準(zhǔn)量程為1mV的毫伏表，測(cè)量數(shù)據(jù)如下（表中單位均為mV）。在如圖所示的坐標(biāo)中畫(huà)出毫伏表的校準(zhǔn)曲線(xiàn)，并對(duì)毫伏表定級(jí)別。毫伏表讀數(shù)0.1000.2000.3000.4000.500電勢(shì)差計(jì)讀數(shù)0.10500.21500.31300.40700.5100修正值△U0.0050.0150.0130.0070.0100.6000.7000.8000.9001.0000.60300.69700.78500.89201.00700.003-0.003-0.015-0.0080.007毫伏表讀數(shù)電勢(shì)差計(jì)讀數(shù)修正值△U例4：毫伏表的級(jí)別為：為1.5級(jí)表（1）作用：驗(yàn)證理論或?qū)ふ医?jīng)驗(yàn)公式；用內(nèi)插法和外推法（在一定條件下）從圖線(xiàn)得到測(cè)量數(shù)據(jù)范圍以外的數(shù)據(jù)；作修正曲線(xiàn)及校準(zhǔn)曲線(xiàn)；幫助發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中個(gè)別測(cè)試點(diǎn)測(cè)量結(jié)果的錯(cuò)誤，對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析等。（2）優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)便；如果圖線(xiàn)是依據(jù)許多數(shù)據(jù)點(diǎn)描出的擬合直線(xiàn)或曲線(xiàn)，則有取平均的效果；利用作圖把復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系變換為線(xiàn)性關(guān)系即曲線(xiàn)改直等。（3）缺點(diǎn)：由于受坐標(biāo)紙圖幅的限制，有時(shí)不能完全反映測(cè)量值的有效數(shù)字；另外，同一數(shù)據(jù)，不同的人或同一人兩次描繪，結(jié)果也不盡相同。因此作圖法是一種粗略的方法。小結(jié)：三、逐差法1.逐差法的含義把實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)量（因變量）進(jìn)行逐項(xiàng)相減或依順序分為兩組實(shí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)測(cè)量數(shù)據(jù)相減之差作因變量的多次測(cè)量值。然后求出最佳值——算術(shù)平均值的處理數(shù)據(jù)的方法。例5：伏安法測(cè)電阻，試用逐差法求出電流I的最佳值并算出電阻R①.若按逐項(xiàng)相減，則有解：根據(jù)伏安公式②.若按順序分為兩組（1~5為一組，6~10為一組）實(shí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，其結(jié)果如表：可以利用這種分組法計(jì)算因變量的平均值根據(jù)歐姆定律得2.有關(guān)逐差法的幾點(diǎn)說(shuō)明③使用條件：

自變量等間隔變化（對(duì)一次逐差必須

是線(xiàn)性關(guān)系，否則先進(jìn)行曲線(xiàn)改直）用數(shù)據(jù)進(jìn)行直線(xiàn)擬合（一次逐差）

②優(yōu)點(diǎn)：充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)（取平均的效果）①作用：驗(yàn)證函數(shù)是否線(xiàn)性關(guān)系（一次逐差）

④如果測(cè)量數(shù)據(jù)不是偶數(shù)，計(jì)算時(shí)就要去掉頭、尾或中間一組數(shù)據(jù)。⑤計(jì)算不確定度時(shí)，把兩個(gè)數(shù)據(jù)的差作為直接測(cè)量量來(lái)計(jì)算不確定度，在數(shù)據(jù)較少時(shí)（如7個(gè)數(shù)據(jù)，逐差后剩3個(gè)）

儀器誤差一般要按照常值1.4倍計(jì)算。四、最小二乘法近似計(jì)算法比較：作圖法：

直觀、簡(jiǎn)便。但主觀隨意性大（粗略）逐差法：

粗略的近似計(jì)算方法（要滿(mǎn)足一定條件）回歸分析法：

最準(zhǔn)確的計(jì)算方法1.回歸分析法定義：由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算確定其函數(shù)關(guān)系的方法。步驟：1.推斷函數(shù)形式（回歸方程）2.由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定參數(shù)a、b、

c等的最佳值。3.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)函數(shù)關(guān)系

是否合理。y=aebx+c(指數(shù)關(guān)系）如y=a+bx(線(xiàn)性關(guān)系）2.用最小二乘法進(jìn)行一元線(xiàn)性回歸（1）最小二乘法原理給定函數(shù)關(guān)系為y=a+bx最小乘數(shù)a和b的值是能使各次測(cè)量值誤差平方和為最小的那個(gè)值。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：（2）一元線(xiàn)性回歸（直線(xiàn)擬合）函數(shù)形式（1）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為由于x和y的測(cè)量存在誤差，將代入（1）式，等式兩邊并不相等。等式兩端的差值用表示，則…...按最小二乘法原理，a、b最佳值應(yīng)滿(mǎn)足：（2）由于最小，（2）式對(duì)a和b求偏導(dǎo)應(yīng)為0。整理后得（3）由于代入（3）式有：總結(jié)：上式a、b就是用最小二乘法求得擬合直線(xiàn)的截距和斜率的最佳值。注意：

1.用最小二乘法計(jì)算a、b時(shí)，計(jì)算中間過(guò)程不宜用有效數(shù)字運(yùn)算法則，否則引起較大的計(jì)算誤差，用計(jì)算器為好，把顯示數(shù)字都記下來(lái)為好。

2.若x、y相關(guān)性好，可粗略考慮a的有效數(shù)字位數(shù)與y有效數(shù)字最后一位對(duì)齊，b的有效數(shù)字位數(shù)與和中有效位數(shù)較少的相同。但最可靠的方法是通過(guò)計(jì)算a、b的不確定度來(lái)確定有效數(shù)字的位數(shù)。

3.最小二乘法求出擬合直線(xiàn)時(shí)，并不要求自變量等間距變化，測(cè)量時(shí)比逐差法更方便。（3）相關(guān)系數(shù)r相關(guān)系數(shù)：定量描述x、y變量之間線(xiàn)性相關(guān)程度的好壞表示y和x的線(xiàn)性關(guān)系好，即線(xiàn)性函數(shù)形式正確，統(tǒng)計(jì)不確定度變小。

則x和y無(wú)線(xiàn)性關(guān)系，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分散，統(tǒng)計(jì)不確定度變大。(a)(b)(c)(d)（4）舉例還是以銅電阻~溫度關(guān)系為例，測(cè)得的一組數(shù)據(jù)如表所示。已知Rt和t的函數(shù)關(guān)系為Rt=a+bt，試用最小二乘法求