第二章單自由度系統(tǒng)自由振動

第一章概論一、振動及其研究的問題1、振動2、振動研究的問題

振動隔離

在線控制

工具開發(fā)

動態(tài)性能分析

模態(tài)分析第一章概論二、振動分類及研究振動的一般方法1、振動分類：振動分析、振動環(huán)境預(yù)測、系統(tǒng)識別2、研究振動的一般方法（1）理論分析方法建立系統(tǒng)的力學(xué)模型、建立運動方程、求解方程得到響應(yīng)（2）實驗研究方法（3）理論與實驗相結(jié)合的方法三、汽車上的振動問題四、簡諧振動、諧波分析及頻譜分析1、簡諧振動2、諧波分析3、頻譜分析①函數(shù)表示法②旋轉(zhuǎn)矢量表示法（1）簡諧振動③復(fù)數(shù)表示法在簡諧振動中，加速度的方向與位移的方向相反，大小與位移的大小成正比，始終指向靜平衡位置。④簡諧振動的合成（2）周期振動的諧波分析基頻一個周期函數(shù)如果滿足如下條件，就可以展成傅立葉級數(shù)。（1）在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個間斷點，且間斷點的左右極限都存在；（2）在一個周期內(nèi)，具有有限個極大、極小點。其中對方波信號進(jìn)行諧波分析。例題1－1（3）振動的頻譜分析將頻率特性分析方法用于振動分析，成為頻譜分析。頻率特性分析是經(jīng)典控制理論中研究與分析系統(tǒng)特性的主要方法。利用此方法可以將系統(tǒng)傳遞函數(shù)從復(fù)域引到具有明顯物理概念的頻域來分析系統(tǒng)的特性。引入頻譜分析的重要性在于：①可將任意激勵函數(shù)分解為疊加的諧波信號，即可將周期激勵函數(shù)分解為疊加的頻譜離散的諧波信號，可將非周期激勵函數(shù)分解為疊加的頻譜連續(xù)的諧波信號。②對于無法用分析法求得傳遞函數(shù)或微分方程的振動系統(tǒng)，可以通過實驗求出系統(tǒng)的頻率特性，進(jìn)而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或微分方程。輸出和輸入的傅氏變換之比等于頻率響應(yīng)函數(shù)（頻響函數(shù)）時域模型：微分方程描述

頻域模型：傳遞函數(shù)描述頻率特性描述物理特性模態(tài)特性響應(yīng)特性響應(yīng)模型:位移、速度、加速度

力學(xué)模型:質(zhì)量、剛度、阻尼模態(tài)模型:固有頻率、模態(tài)矢量模態(tài)質(zhì)量、剛度、阻尼汽車振動學(xué)第二章單自由度系統(tǒng)的振動第二章單自由度系統(tǒng)的振動一、單自由度振動系統(tǒng)1、振動微分方程的建立2、振動等效系統(tǒng)及外界激勵二、單自由度系統(tǒng)的自由振動1、無阻尼系統(tǒng)的自由振動2、有阻尼系統(tǒng)的自由振動三、單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵作用下的受迫振動1、簡諧激勵下的受迫振動響應(yīng)及頻譜分析2、受迫振動的復(fù)數(shù)求解法－－單位諧函數(shù)法3、支座簡諧激勵（位移激勵）引起的振動與被動隔振4、偏心質(zhì)量（力激勵）引起的振動與主動隔振5、測振傳感器的原理

四、單自由度系統(tǒng)在周期性激勵作用下的受迫振動1、諧波分析與疊加原理2、傅立葉（Fourier）級數(shù)法五、單自由度系統(tǒng)在任意激勵作用下的受迫振動

1、脈沖響應(yīng)函數(shù)法或杜哈梅（Duhamel）積分法

2、傅立葉（Fourier）變換法

3、拉普拉斯（Laplas）變換法一、單自由度振動系統(tǒng)1、單自由度系統(tǒng)及其振動微分方程建立2、振動等效系統(tǒng)及外界激勵

3、振動微分方程的求解1、單自由度系統(tǒng)及其振動微分方程建立（1）單自由度振動系統(tǒng)（2）單自由度系統(tǒng)振動方程的建立方法①牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理例題2-1建立如圖所示振動系統(tǒng)的振動微分方程。（教材例題2.10）②能量法例題2-2半徑為r、重力為mg的圓柱體在半徑為R的圓柱面內(nèi)滾動而不滑動，如圖所示。試求圓柱體繞其平衡位置作微小振動的微分方程。（教材例題2.11）T+U=常數(shù)2、等效振動系統(tǒng)及外界激勵在工程上為便于研究，常把一些較為復(fù)雜的振動系統(tǒng)進(jìn)行簡化，以便當(dāng)作運動坐標(biāo)方向上只存在一個質(zhì)量和彈簧來處理，經(jīng)簡化后得到的質(zhì)量和剛度，分別成為原系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度。同樣，實際振動系統(tǒng)不可避免地存在阻力，因而在一定時間內(nèi)自由振動會逐漸衰減，直至完全消失。振系中阻力有各種來源，如干摩擦、流體阻力、電磁阻力、材料內(nèi)阻力等，統(tǒng)稱阻尼。在這些阻尼中，只有粘性阻尼是線性阻尼，它與速度成正比，易于數(shù)學(xué)處理，可以大大簡化振動分析問題的數(shù)學(xué)求解，因而通常均假設(shè)系統(tǒng)的阻尼為粘性阻尼。對于其他比較復(fù)雜的實際阻尼，則被轉(zhuǎn)化為等效粘性阻尼來處理。通常用能量法求復(fù)雜系統(tǒng)的等效剛度，即按實際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的彈簧的彈性勢能與等效系統(tǒng)彈簧勢能相等的原則來求系統(tǒng)的等效剛度。扭轉(zhuǎn)剛度（1）等效剛度拉壓剛度彎曲剛度彈簧的串、并聯(lián)（2）等效質(zhì)量通常用能量法求復(fù)雜系統(tǒng)的等效質(zhì)量，即按實際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的質(zhì)量的動能與等效系統(tǒng)質(zhì)量動能相等的原則來求系統(tǒng)的等效質(zhì)量。串聯(lián)彈簧的剛度并聯(lián)彈簧的剛度例題2-3例題2-4（教材例題2.4）例題2-5（教材例題2.5）例題2-6（教材例題2.3、2.6）求軸向軸轉(zhuǎn)化的單軸系的等效剛度和等效旋轉(zhuǎn)質(zhì)量

在工程實際中，往往根據(jù)在振動一周期內(nèi)實際阻尼所耗散的能量與粘性阻尼所耗散的能量相等來求系統(tǒng)的等效粘性阻尼。系統(tǒng)作簡諧振動時，粘性阻尼在振動的一周期內(nèi)所作的功庫侖阻尼流體阻尼結(jié)構(gòu)阻尼（3）等效阻尼（4）外界激勵單自由度系統(tǒng)的振動方程的一般形式如果系統(tǒng)受到外界持續(xù)激勵（即），就會從外界不斷地獲得能量，補充阻尼所消耗的能量，使系統(tǒng)保持等幅振動。這種由外界持續(xù)激勵引起的振動即是受迫振動或強迫振動。當(dāng)外界激勵為零（即）時，系統(tǒng)僅在開始時受到外界干擾即初始干擾（如初始位移或速度），靠系統(tǒng)本身的固有特性而進(jìn)行振動，即自由振動。由此可見，單自由度系統(tǒng)的振動分析問題就是二階常系數(shù)線性微分方程數(shù)學(xué)求解問題二

單自由度振系的自由振動mxk單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動是一種簡諧振動固有頻率是系統(tǒng)本身的性質(zhì)，與初始條件無關(guān)速度、加速度也是簡諧振動例題2.7某儀器中一元件為等截面懸臂梁，梁的質(zhì)量可忽略。在梁的自由端由磁鐵吸住兩個集中質(zhì)量m1、m2。梁在靜止時，斷電使m2突然釋放，求隨后m1的振動。固有頻率的求法

根據(jù)固有頻率的定義來求固有頻率的求法

由等效質(zhì)量和等效剛度來求固有頻率的求法

應(yīng)用能量法來求例題：求圓軸圓盤扭振系統(tǒng)的振動固有頻率思考求固有頻率有阻尼自由振動令相對阻尼系數(shù)過阻尼臨界阻尼小阻尼

例題質(zhì)量m=2450kg的汽車用四個懸掛彈簧支承在四個車輪上，四個彈簧由汽車重量引起的靜壓縮量均為λst=15cm。為了能迅速地減少汽車上下振動，在四個支承處均安裝了減振器，由實驗測得兩次振動后振幅減小到10%，即A1/A3=10，試求：1）振動的減幅系數(shù)和對數(shù)衰減率2）衰減系數(shù)和衰減振動的周期3）若要汽車不振動，減振器的臨界阻尼系數(shù)三

單自由度振系的強迫振動正弦型激勵周期激勵任意激勵無阻尼振系在正弦型擾力作用下的振動xmkmkxF(t)當(dāng)兩頻率ω與p相近時會產(chǎn)生振幅呈周期性變化的合成振動，Δ

拍振有阻尼振系在正弦型擾力作用下的振動放大因子，它代表穩(wěn)態(tài)振幅X與激振力幅F0靜止作用于彈簧上的靜位移之比。λ=1時的放大因子稱為品質(zhì)因子單位諧函數(shù)法求強迫振動單位諧函數(shù)法是指作用在系統(tǒng)上的激勵為復(fù)數(shù)形式的單位幅值簡諧激振力，系統(tǒng)運動微分方程為頻率響應(yīng)函數(shù)復(fù)數(shù)響應(yīng)與復(fù)數(shù)激振力之比頻率響應(yīng)函數(shù)的模稱為幅頻特性頻率響應(yīng)函數(shù)的相位差角稱為相頻特性不平衡轉(zhuǎn)子激發(fā)的振動支座正弦激擾引起的的振動系統(tǒng)響應(yīng)例小車重490公斤，可以簡化為用彈簧支在輪子上的一個重量，彈簧系數(shù)50公斤／厘米，輪子的重量與變形都略去不計。路面成正弦波形，可以表示為y=Ysin(2πx/L)，其中Y=4cm，L=10

米。試求小車在以水平速度v=36公里／小時行駛時，車身上下振動的振幅，設(shè)阻尼可以略去不計．振動的隔離實際傳遞的力幅與不平衡力幅的比值稱為力傳遞率主動隔振采用隔振措施后，振源傳給地基的力為被動隔離隔振系數(shù)測振儀表

周期激擾下的強迫振