第五章 不定積分第三、四節(jié)

§1不定積分的概念與基本積分公式§2換元積分法與分部積分法§3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分第五章不定積分§1不定積分的概念與基本積分公式第八章不定積分在第三章我們研究了已知f，如何求f的導數(shù)f的表達式，得到了一些計算法則，例如：(f+g)=f+g,(fg)=fg+fg,(f[])=f[]這些計算方法加上基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，我們可以解決初等函數(shù)的求導問題，即是，若f為初等函數(shù)，f的表達式能求出.我們現(xiàn)在來研究第三章求導問題的逆問題。問題：在已知f的表達式時，f的表達式是什么形式呢？即是，已知函數(shù)f

的表達式，求f的原函數(shù)是什么。.基本積分表換元積分法分部積分法有理函數(shù)積分本章主要內(nèi)容：

例如，在區(qū)間(-,+)內(nèi)，因為(sinx)cosx，所以sinx是cosx的一個原函數(shù)。提問：

cosx還有其它的原函數(shù)嗎？提示：

cosx的原函數(shù)還有sinx+C。

定義1如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)F(x)的導數(shù)為

f(x)，即對任一xI，都有F

(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，則稱函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。原函數(shù)概念兩點說明：2、f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)，即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù)，則(x)F(x)C(C為某個常數(shù))。1、如果F(x)是f(x)的原函數(shù)，那么F(x)C都是f(x)的原函數(shù)，其中C是任意常數(shù)。

定義1如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)F(x)的導數(shù)為

f(x)，即對任一xI，都有F

(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，則稱函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。原函數(shù)概念注2.符號差別：與不定積分的概念1.定義：設(shè)I為某區(qū)間，稱f(x)在I上的原函數(shù)的全體為f(x)在I上的不定積分，記作積分號被積函數(shù)積分變量注1.(3)式中積分號下的f(x)dx,可看作是原函數(shù)的微分。數(shù)一族函數(shù)(3)定理1.設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則(4)其中C為任意常數(shù)0x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4例1．例2．例3．解：-1O1xyy=x2函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3函數(shù)f(x)的積分曲線也有無限多條。函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率。三、不定積分的幾何意義

例4．求過點(1,3)，且其切線斜率為2x的曲線方程。解：設(shè)所求的曲線方程為yf(x)，則yf(x)2x，即f(x)是2x的一個原函數(shù)。因為所求曲線通過點(1,3)，故31C，C2。于是所求曲線方程為yx22。-2-1O12x-2-112yyx2+2yx2(1,3)

．所以y=f(x)x2C。例5：解：容易看到兩邊除以3，得求導數(shù)的性質(zhì)yy=x2xyx因此,2.不定積分的性質(zhì)：1)2)3)4)3.基本積分公式積分公式導數(shù)公式1231)2)3)5)6)7)56744)10)11)10119)98)84.積分公式的簡單應(yīng)用例1.

求解:例2.求解:例3.求解:例4.求f(x)=x2+1,x<0.解:F(x)=而要使F(x)成為f(x)在R上的原函數(shù)，必須F(x)連續(xù)，從而C1＝0，C2＝1，因此滿足條件的函數(shù)為F(x)=故例5．例6．例7．例8．練習：習題五：2(1,3,5,7)例9．例10．例11．例12．例13．例14．例15．例16．解：因為總成本是總成本變化率y的原函數(shù)，所以已知當x=0時，y=1000，

例17．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成成本為1000元，求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。因此有C=1000，作業(yè)：P181：1,2,3,4,5(1)~(16).上頁下頁結(jié)束返回首頁鈴第八章不定積分§2換元積分法與分部積分法第五章不定積分§2換元積分法與分部積分法但是解決方法利用復合函數(shù)，設(shè)置中間變量.令一問題的提出我們知道令

利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計算的不定積分是非常有限的；我們可以把復合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法。目的是去掉根式。若則設(shè)（且可微，根據(jù)復合函數(shù)微分法，）于是可得下述定理二第一類換元法注意使用此公式的關(guān)鍵在于將第一類換元公式（湊微分法）定理1第一類換元法又稱為湊微分法。解決問題的關(guān)鍵在哪里呢？再看上式的特點外部函數(shù)的導數(shù)中間變量u中間變量u的導數(shù)復合函數(shù)求導數(shù)得到的函數(shù)是兩個因子的乘積外部函數(shù)的導數(shù)中間變量的導數(shù)。如果從被積函數(shù)中你能看出這種形式，問題的答案就出來了。例1.求解：函數(shù)3x2cosx3看上去象某復合函數(shù)求導而得：cosx33x2sinu的導數(shù)中間變量u中間變量u的導數(shù)因此猜測sinx3是一個原函數(shù)，求導數(shù)驗證所以第一類換元法是通過變量替換

將積分下面介紹的第二類換元法是通過變量替換將積分使用這種方法的基本想法從被積函數(shù)中找到一個作中間變量的函數(shù)，其導數(shù)是作為一個因子出現(xiàn)的。這個想法在相差一個常數(shù)因子時也可以用。使用這種方法要求想象出復合函數(shù)的形式。例2.解：觀察中間變量u=x2+1但u=x2+1的導數(shù)為u=2x在被積函數(shù)中添加2個因子u因此換元法u=(x)例3.解:uudu重算一遍例4.解：能想出原函數(shù)的形式嗎？記得這個公式嗎？如何用這個公式？例5.求解：例8.解：例9.解：例3求解例4求解熟練以后就不需要進行轉(zhuǎn)化了例4求解例5求解例6求解例7解正弦余弦三角函數(shù)積分偶次冪降冪齊次冪拆開放在微分號d的后面解例8求例9求例10求解例11求解說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.例12求解利用三角學中的積化和差公式，得解類似地可推出例13求例15．例17．當a>0時，例16．練習1．練習2．練習3．三第二類換元法第一類換元法是通過變量替換

將積分下面介紹的第二類換元法是通過變量替換將積分證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理2第二類積分換元法例13求解1三角代換例14求解令例15求解令注三角代換的目的是化掉根式.例16求解令2根式代換考慮到被積函數(shù)中的根號是困難所在，故當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例17求解令3其他形式代換也可以化掉根式中,令注1倒數(shù)代換x=1/t是常用的代換之一

例18求令解例19求解令分母的次冪太高基本積分表續(xù)考慮積分解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.分部積分公式四分部積分法分部積分公式下面利用兩個函數(shù)乘積的求導法則，得出求積分的基本方法——分部積分法.對此不等式兩邊求不定積分即分部積分公式：關(guān)鍵：恰當選取u和確定v.如何選取u:(LIATE法)L-----對數(shù)函數(shù)I-----反三角函數(shù)A-----代數(shù)函數(shù)T-----三角函數(shù)E-----指數(shù)函數(shù)根據(jù)LIATE法，f(x)與g(x)誰排在LIATE這一字母表前面就選誰為u.即若選f(x)為u,則g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x).使用分部積分公式，若選f(x)=u,則v≠g(x)注：而v'=g(x).例1求積分解令如果令顯然，選擇不當，積分更難進行.

一般地，若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))例2求積分解若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為v,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))例3求積分解例4求積分解若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)為.例5求積分解令若被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)反三角函數(shù)為u.例6求積分解復原法在求不定積分時有著廣泛的應(yīng)用。例7求積分解例9求積分解解兩邊同時對求導,得例題與練習練習1.求下列不定積分解：常用解題技巧(Ⅰ)多次使用分部積分法則解：練習2.求不定積分例2.常用解題技巧(Ⅱ)還原法例3.解：練習3：Ⅲ與換元法相結(jié)合練習4.求不定積分解：常用解題技巧例9．例10．例11．

解：因為練習：例12．

解：因為例13．練習:用什么積分法求下列積分？五小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、根式代換三角代換常有下列規(guī)律可令可令可令合理選擇，正確使用分部積分式注意復原分部積分若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))一般地，（1）（2）若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為v,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))(4)若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時,二者皆可作為u,但作為u的函數(shù)的類型不變。(3)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u.六思考與判斷題12函數(shù)使用分部積分公式的要點是確定34中5

根據(jù)LIATE法，恰當選取u和確定v.第八章不定積分§3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一問題的提出怎么計算？關(guān)鍵是被積函數(shù)的裂項？（2）很顯然不能用湊微分和分部積分怎么辦？（3）去掉根號才能計算，怎樣去掉根號？兩個多項式的商表示的函數(shù).二有理函數(shù)的積分(IntegrationofRationalFunction)有理函數(shù)的定義：假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例如，我們可將化為多項式與真分式之和2）在實數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個最簡式之和最簡分式是下面兩種形式的分式（1）分母中若有因式，則分解后為3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為便于求積分必須把真分式化為部分分式之和，同時要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法例1例2通分以后比較分子得：例1代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4求積分解例5求積分解例6求積分解令說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令則記這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).我們也可以用代值確定法來得到最簡分式，比如前面的例2，兩端去分母后得到例3整理得例4求積分

解由前面的裂項例5求積分

解由前面的裂項得三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)