第五章 不定積分第三、四節(jié)

§1不定積分的概念與基本積分公式§2換元積分法與分部積分法§3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分第五章不定積分§1不定積分的概念與基本積分公式第八章不定積分在第三章我們研究了已知f，如何求f的導(dǎo)數(shù)f的表達(dá)式，得到了一些計(jì)算法則，例如：(f+g)=f+g,(fg)=fg+fg,(f[])=f[]這些計(jì)算方法加上基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，我們可以解決初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，即是，若f為初等函數(shù)，f的表達(dá)式能求出.我們現(xiàn)在來(lái)研究第三章求導(dǎo)問(wèn)題的逆問(wèn)題。問(wèn)題：在已知f的表達(dá)式時(shí)，f的表達(dá)式是什么形式呢？即是，已知函數(shù)f

的表達(dá)式，求f的原函數(shù)是什么。.基本積分表?yè)Q元積分法分部積分法有理函數(shù)積分本章主要內(nèi)容：

例如，在區(qū)間(-,+)內(nèi)，因?yàn)?sinx)cosx，所以sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)。提問(wèn)：

cosx還有其它的原函數(shù)嗎？提示：

cosx的原函數(shù)還有sinx+C。

定義1如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為

f(x)，即對(duì)任一xI，都有F

(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，則稱函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。原函數(shù)概念兩點(diǎn)說(shuō)明：2、f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)，即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù)，則(x)F(x)C(C為某個(gè)常數(shù))。1、如果F(x)是f(x)的原函數(shù)，那么F(x)C都是f(x)的原函數(shù)，其中C是任意常數(shù)。

定義1如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為

f(x)，即對(duì)任一xI，都有F

(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，則稱函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。原函數(shù)概念注2.符號(hào)差別：與不定積分的概念1.定義：設(shè)I為某區(qū)間，稱f(x)在I上的原函數(shù)的全體為f(x)在I上的不定積分，記作積分號(hào)被積函數(shù)積分變量注1.(3)式中積分號(hào)下的f(x)dx,可看作是原函數(shù)的微分。數(shù)一族函數(shù)(3)定理1.設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則(4)其中C為任意常數(shù)0x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4例1．例2．例3．解：-1O1xyy=x2函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3函數(shù)f(x)的積分曲線也有無(wú)限多條。函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率。三、不定積分的幾何意義

例4．求過(guò)點(diǎn)(1,3)，且其切線斜率為2x的曲線方程。解：設(shè)所求的曲線方程為yf(x)，則yf(x)2x，即f(x)是2x的一個(gè)原函數(shù)。因?yàn)樗笄€通過(guò)點(diǎn)(1,3)，故31C，C2。于是所求曲線方程為yx22。-2-1O12x-2-112yyx2+2yx2(1,3)

．所以y=f(x)x2C。例5：解：容易看到兩邊除以3，得求導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)yy=x2xyx因此,2.不定積分的性質(zhì)：1)2)3)4)3.基本積分公式積分公式導(dǎo)數(shù)公式1231)2)3)5)6)7)56744)10)11)10119)98)84.積分公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1.

求解:例2.求解:例3.求解:例4.求f(x)=x2+1,x<0.解:F(x)=而要使F(x)成為f(x)在R上的原函數(shù)，必須F(x)連續(xù)，從而C1＝0，C2＝1，因此滿足條件的函數(shù)為F(x)=故例5．例6．例7．例8．練習(xí)：習(xí)題五：2(1,3,5,7)例9．例10．例11．例12．例13．例14．例15．例16．解：因?yàn)榭偝杀臼强偝杀咀兓蕐的原函數(shù)，所以已知當(dāng)x=0時(shí)，y=1000，

例17．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成成本為1000元，求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。因此有C=1000，作業(yè)：P181：1,2,3,4,5(1)~(16).上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)鈴第八章不定積分§2換元積分法與分部積分法第五章不定積分§2換元積分法與分部積分法但是解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.令一問(wèn)題的提出我們知道令

利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的；我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法。目的是去掉根式。若則設(shè)（且可微，根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，）于是可得下述定理二第一類換元法注意使用此公式的關(guān)鍵在于將第一類換元公式（湊微分法）定理1第一類換元法又稱為湊微分法。解決問(wèn)題的關(guān)鍵在哪里呢？再看上式的特點(diǎn)外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中間變量u中間變量u的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到的函數(shù)是兩個(gè)因子的乘積外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中間變量的導(dǎo)數(shù)。如果從被積函數(shù)中你能看出這種形式，問(wèn)題的答案就出來(lái)了。例1.求解：函數(shù)3x2cosx3看上去象某復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)而得：cosx33x2sinu的導(dǎo)數(shù)中間變量u中間變量u的導(dǎo)數(shù)因此猜測(cè)sinx3是一個(gè)原函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證所以第一類換元法是通過(guò)變量替換

將積分下面介紹的第二類換元法是通過(guò)變量替換將積分使用這種方法的基本想法從被積函數(shù)中找到一個(gè)作中間變量的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是作為一個(gè)因子出現(xiàn)的。這個(gè)想法在相差一個(gè)常數(shù)因子時(shí)也可以用。使用這種方法要求想象出復(fù)合函數(shù)的形式。例2.解：觀察中間變量u=x2+1但u=x2+1的導(dǎo)數(shù)為u=2x在被積函數(shù)中添加2個(gè)因子u因此換元法u=(x)例3.解:uudu重算一遍例4.解：能想出原函數(shù)的形式嗎？記得這個(gè)公式嗎？如何用這個(gè)公式？例5.求解：例8.解：例9.解：例3求解例4求解熟練以后就不需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化了例4求解例5求解例6求解例7解正弦余弦三角函數(shù)積分偶次冪降冪齊次冪拆開放在微分號(hào)d的后面解例8求例9求例10求解例11求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.例12求解利用三角學(xué)中的積化和差公式，得解類似地可推出例13求例15．例17．當(dāng)a>0時(shí)，例16．練習(xí)1．練習(xí)2．練習(xí)3．三第二類換元法第一類換元法是通過(guò)變量替換

將積分下面介紹的第二類換元法是通過(guò)變量替換將積分證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理2第二類積分換元法例13求解1三角代換例14求解令例15求解令注三角代換的目的是化掉根式.例16求解令2根式代換考慮到被積函數(shù)中的根號(hào)是困難所在，故當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例17求解令3其他形式代換也可以化掉根式中,令注1倒數(shù)代換x=1/t是常用的代換之一

例18求令解例19求解令分母的次冪太高基本積分表續(xù)考慮積分解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式四分部積分法分部積分公式下面利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，得出求積分的基本方法——分部積分法.對(duì)此不等式兩邊求不定積分即分部積分公式：關(guān)鍵：恰當(dāng)選取u和確定v.如何選取u:(LIATE法)L-----對(duì)數(shù)函數(shù)I-----反三角函數(shù)A-----代數(shù)函數(shù)T-----三角函數(shù)E-----指數(shù)函數(shù)根據(jù)LIATE法，f(x)與g(x)誰(shuí)排在LIATE這一字母表前面就選誰(shuí)為u.即若選f(x)為u,則g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x).使用分部積分公式，若選f(x)=u,則v≠g(x)注：而v'=g(x).例1求積分解令如果令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.

一般地，若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))例2求積分解若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為v,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))例3求積分解例4求積分解若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為.例5求積分解令若被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)反三角函數(shù)為u.例6求積分解復(fù)原法在求不定積分時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。例7求積分解例9求積分解解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得例題與練習(xí)練習(xí)1.求下列不定積分解：常用解題技巧(Ⅰ)多次使用分部積分法則解：練習(xí)2.求不定積分例2.常用解題技巧(Ⅱ)還原法例3.解：練習(xí)3：Ⅲ與換元法相結(jié)合練習(xí)4.求不定積分解：常用解題技巧例9．例10．例11．

解：因?yàn)榫毩?xí)：例12．

解：因?yàn)槔?3．練習(xí):用什么積分法求下列積分？五小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、根式代換三角代換常有下列規(guī)律可令可令可令合理選擇，正確使用分部積分式注意復(fù)原分部積分若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))一般地，（1）（2）若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為v,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))(4)若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時(shí),二者皆可作為u,但作為u的函數(shù)的類型不變。(3)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u.六思考與判斷題12函數(shù)使用分部積分公式的要點(diǎn)是確定34中5

根據(jù)LIATE法，恰當(dāng)選取u和確定v.第八章不定積分§3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一問(wèn)題的提出怎么計(jì)算？關(guān)鍵是被積函數(shù)的裂項(xiàng)？（2）很顯然不能用湊微分和分部積分怎么辦？（3）去掉根號(hào)才能計(jì)算，怎樣去掉根號(hào)？?jī)蓚€(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).二有理函數(shù)的積分(IntegrationofRationalFunction)有理函數(shù)的定義：假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如，我們可將化為多項(xiàng)式與真分式之和2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式（1）分母中若有因式，則分解后為3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為便于求積分必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法例1例2通分以后比較分子得：例1代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4求積分解例5求積分解例6求積分解令說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項(xiàng)式；討論積分令則記這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).我們也可以用代值確定法來(lái)得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例2，兩端去分母后得到例3整理得例4求積分

解由前面的裂項(xiàng)例5求積分

解由前面的裂項(xiàng)得三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)