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二次函數(shù)復(fù)習(xí)課知識(shí)要點(diǎn)(一)誰(shuí)是控制圖像的“幕后高手”
1.a決定開(kāi)口方向:a>0?開(kāi)口_______;(如圖1)a<0?開(kāi)口_______;(如圖2)相同,拋物線的形狀_____;越大,開(kāi)口越____。(圖1)(圖2)向上向下相同小2.a、b決定對(duì)稱軸的位置:b=0?對(duì)稱軸是_______;(如圖1)a、b同號(hào)?對(duì)稱軸在y軸的___側(cè);(如圖2)a、b異號(hào)?對(duì)稱軸在y軸的___側(cè)。(如圖3)y軸左右即:左同右異3.c決定拋物線與y軸的交點(diǎn):c=0?拋物線過(guò)_____;(如圖1)c<0?拋物線交于y軸的_____;(如圖2)c>0?拋物線交于y軸的_____。(如圖3)原點(diǎn)正半軸負(fù)半軸4.與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):
=0?拋物線與x軸只有___個(gè)交點(diǎn);(如圖1)>0?拋物線與x軸有___個(gè)交點(diǎn);(如圖2)<0?拋物線與x軸有___個(gè)交點(diǎn)。(如圖3)一兩0(即沒(méi)有交點(diǎn))練習(xí)1.二次函數(shù)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論:①a>0;②c>0;③b2-4ac>0,其中正確的個(gè)數(shù)是()
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)C3.已知函數(shù)的圖像如圖所示,那么關(guān)于x的方程的根的情況是()A.無(wú)實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根 D.有兩個(gè)同號(hào)不等實(shí)數(shù)根4.在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=mx+m和y=-mx2+2x+2,(m是常數(shù),且m≠0)的圖像可能是()3題圖yyyA.B.C.D.xOxOxOxyODD(二)性質(zhì)與平移1.二次函數(shù)的性質(zhì):二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______,對(duì)稱軸為。當(dāng)a>0時(shí),拋物線開(kāi)口向上,圖像有最___點(diǎn),且當(dāng)時(shí),y隨x的增大而_____,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而_____;當(dāng)a<0時(shí),拋物線開(kāi)口向下,圖像有最___點(diǎn),且當(dāng)時(shí),y隨x的增大而_____,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而_____。當(dāng)a>0,時(shí),函數(shù)有最小值______;當(dāng)a<0,時(shí),函數(shù)有最大值______。低增大減小高減小增大2.圖像的平移:上下平移:左右平移:復(fù)合平移:練習(xí)2.把拋物線y=-x2向左平移1個(gè)單位,然后向上平移3個(gè)單位,則平移后拋物線的解析式為()
A.B.C.D.D5.已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示,那么函數(shù)的表達(dá)式為()
A.y=-x2+2x+3B.y=x2-2x-3C.y=-x2-2x+3D.y=-x2-2x-36.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2且拋物線上點(diǎn)A(3,-8),則拋物線上縱坐標(biāo)為-8的另一點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________。A(1,-8)7.如圖所示,某中學(xué)教學(xué)樓前噴水池噴出的拋物線形水柱,其解析式為y=-x2+4x+2,此水柱的最大高度是()
A.2B.4C.6D.8.已知點(diǎn)、均在拋物線y=x2-1上,下列說(shuō)法正確的是()
A.若,則B.若,則
C.若,則D.若,則CD(三)二次函數(shù)解析式的求法:1.若已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo),則可設(shè)表達(dá)式為,然后組成三元一次方程組來(lái)解。2.若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程或最大(小)值,可設(shè)表達(dá)式為,其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為x=h。例1:如圖,直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(3,2)(1)求m的值和拋物線的解析式;(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接寫(xiě)出答案)。解(1)∵直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)∴0=1+m∴m=-1.即m的值為-1∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(3,2)∴解得:
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x+2
(2)x>3或x<1.(四)一些常見(jiàn)二次函數(shù)圖像的解析式1.如圖1:若拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn),設(shè)2.如圖2:若拋物線過(guò)原點(diǎn),設(shè)3.如圖3:若拋物線的頂點(diǎn)在y軸上,設(shè)4.如圖4:若拋物線經(jīng)過(guò)y軸上一點(diǎn),設(shè)5.如圖5:若拋物線知道頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),設(shè)
例2:某工廠大門(mén)是一拋物線水泥建筑物,如圖所示,大門(mén)底部寬AB=4m,頂點(diǎn)C離地面高度為4.4m,現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過(guò)大門(mén),貨物頂部距地面2.8m,裝貨寬度為2.4米,請(qǐng)判斷這輛車能夠順利通過(guò)大門(mén)?(請(qǐng)用三種不同的方法解決)xy(-2,-4.4)(2,-4.4)y=ax2例2:某工廠大門(mén)是一拋物線水泥建筑物,如圖所示,大門(mén)底部寬AB=4m,頂點(diǎn)C離地面高度為4.4m,現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過(guò)大門(mén),貨物頂部距地面2.8m,裝貨寬度為2.4米,請(qǐng)判斷這輛車能夠順利通過(guò)大門(mén)?(請(qǐng)用三種不同的方法解決)xy(2,0)(0,4.4)y=ax2+c例2:某工廠大門(mén)是一拋物線水泥建筑物,如圖所示,大門(mén)底部寬AB=4m,頂點(diǎn)C離地面高度為4.4m,現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過(guò)大門(mén),貨物頂部距地面2.8m,裝貨寬度為2.4米,請(qǐng)判斷這輛車能夠順利通過(guò)大門(mén)?(請(qǐng)用三種不同的方法解決)xy(2,4.4)(4,0)y=ax2+bx思考題已知二次函數(shù)y=x2-bx+1(-1≤b≤1),在b從-1逐漸變化到1的過(guò)程中,它所對(duì)應(yīng)的拋物線位置也隨之變動(dòng),下列關(guān)于拋物線移動(dòng)方向的描述中,正確的是()
A.先往左上方移動(dòng),再往左下方移動(dòng)
B.先往左下方移動(dòng),再往左上方移動(dòng)
C.先往右上方移動(dòng),再往右下方移動(dòng)
D.先往右下方移動(dòng),再往右上方移動(dòng)思考題已知二次函數(shù)y=x2-bx+1(-1≤b≤1),在b從-1逐漸變化到1的過(guò)程中,它所對(duì)應(yīng)的拋物線位置也隨之變動(dòng),下列關(guān)于拋物線移動(dòng)方向的描述中,正確的是()
A.先往左上方移動(dòng),再往左下方移動(dòng)
B.先往左下方移動(dòng),再往左上方移動(dòng)
C.先往右上方移動(dòng),再往右下方移動(dòng)
D.先往右下方移動(dòng),再往右上方移動(dòng)Cy0123123456-40-51-3yx2345-16-2-612.反比例函數(shù)圖象:①形狀___________________②位置______________________________________③對(duì)稱性___________________
④增減性
(1)_____________________________________(2)_____________________________________1.反比例函數(shù)解析式常見(jiàn)的幾種形式:雙曲線K>0時(shí),圖像位于第一、三象限K<0時(shí),在圖象所在的每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大K<0時(shí),圖像位于第二、四象限K>0時(shí),在圖象所在的每一象限內(nèi),y隨x的增大而減小關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=kx-1xy=k待定系數(shù)法描點(diǎn)法y21x0y1y2
題型一解題要點(diǎn):利用圖像比較大小時(shí)更加直觀。利用圖像利用反比例函數(shù)的增減性y0xBA
題型二D解題要點(diǎn):正、反比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
題型三Byx0PA1.將幾何圖形的邊長(zhǎng)用
表示2.利用K=x·y將圖形的面積化成含的代數(shù)式4解題要點(diǎn):形如下圖中圖形的面積變1:如圖,A、B是函數(shù)y=的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn),AC∥y軸,BC∥x軸,則△ABC的面積S為()A)1B)2C)S>2D)1<S<2ABCOxyB變2:換一個(gè)角度:雙曲線上任一點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線段,與x軸y軸圍成矩形面積為12,求函數(shù)解析式。如圖∵︳K︱=12∴k=±12先由數(shù)(式)到形再由形到數(shù)(式)的數(shù)學(xué)思想變3:如圖,A、C是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn),過(guò)C向x軸引垂線,垂足為B,則三角形ABC的面積為
??疾烀娣e不變性和中心對(duì)稱性。2合作探究如
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