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2023/2/41最優(yōu)控制1第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題2第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題一:概述實(shí)二次型:1.問(wèn)題的提法:設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為:其中,x(t)是n維狀態(tài)向量,u(t)是p維控制向量,y(t)是q維輸出向量,u(t)不受約束。A(t),B(t),C(t)是分段的時(shí)間連續(xù)函數(shù)3Yr(t)表示預(yù)期輸出,e(t)為廣義誤差。尋求最優(yōu)控制u*(t),使下面二次型性能指標(biāo)最小。其中,F(xiàn)是q×q半正定常數(shù)矩陣
Q(t)是q×q半正定矩陣
R(t)是p×p正定矩陣。2.性能指標(biāo)J第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題4第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題53.分類<1>調(diào)節(jié)器問(wèn)題.yr(t)=0①狀態(tài)調(diào)節(jié)器以零狀態(tài)為平衡狀態(tài)②輸出調(diào)節(jié)器<輸出調(diào)節(jié)器可轉(zhuǎn)化為狀態(tài)調(diào)節(jié)器>第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題6<2>伺服系統(tǒng)(隨動(dòng)系統(tǒng))以不大的能量是系統(tǒng)輸出跟隨給定的輸出而變化。二.狀態(tài)調(diào)節(jié)器1.已知尋求u*(t),使J最小。<X(tf)自由,tf有限>第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題7求解:①構(gòu)造哈密頓函數(shù):②協(xié)調(diào)方程:③橫截條件則第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題8④控制方程:⑤狀態(tài)方程第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題9的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣都可作為初始時(shí)刻<分塊>又由橫截條件:則②=③第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題10可以證明存在因此,呈線性關(guān)系,可表示為則<實(shí)際中不用上式來(lái)求P(t),過(guò)于復(fù)雜,采用如下方法;>2.黎卡提矩陣微分方程考察兩邊對(duì)t求導(dǎo)第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題11將狀態(tài)方程帶去上式,則又協(xié)態(tài)方程:最后可得黎卡提矩陣微分方程如下:又橫截條件則——黎卡提微分方程邊界條件第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題12說(shuō)明:<1>黎氏方程的解存在且唯一(常微分方程解的存在性唯一性定理)<2>P(t)是對(duì)稱陣<3>P(t)≥0J≥0第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題133.結(jié)構(gòu)——反饋增益矩陣上式確定最優(yōu)軌線第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題144.說(shuō)明①求J*考察二次型將狀態(tài)方程與黎卡提方程帶入上式,之后兩邊對(duì)t作t0→tf積分,移項(xiàng),配方法則第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題15②本問(wèn)題最優(yōu)控制的解是存在的且唯一的a.存在性P唯一存在b.唯一性(微分方程解的存在性和唯一性定理)第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題165.總結(jié)狀態(tài)調(diào)節(jié)器控制規(guī)律其中P(t)滿足下面的矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠碳斑吔鐥l件最優(yōu)狀態(tài)x*(t)則是下列線性微分方程解在最優(yōu)控制情況下,系統(tǒng)性能指標(biāo)具有最小值第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題17例:設(shè)有一階系統(tǒng)性能指標(biāo)求最優(yōu)控制u*(t)解:③帶入黎氏方程得第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題18④狀態(tài)方程的解雙曲余切(將定常系統(tǒng)變?yōu)榱藭r(shí)變系統(tǒng))此時(shí)tf有限6.定常情況下,tf→∞時(shí)的狀態(tài)調(diào)節(jié)器①結(jié)論:設(shè)有定常線性可控系統(tǒng)。二次型性能指標(biāo)第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題19u(t)不受約束,Q、R都是正定常數(shù)矩陣則,最優(yōu)控制存在。且可唯一的表示為其中是n×n正定常數(shù)矩陣,滿足下列的非線性黎卡提矩陣代數(shù)方程此時(shí)最優(yōu)軌線x*(t)是下列線性是不變齊次方程的解第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題20采用最優(yōu)控制規(guī)律時(shí),系統(tǒng)的性能指標(biāo)J取最小值J*說(shuō)明:<1>系統(tǒng)是可控的<2>系統(tǒng)是定常的(前提條件)②無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的考察二次型第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題21將狀態(tài)方程帶入三.輸出調(diào)節(jié)器1.問(wèn)題。設(shè)有線性系統(tǒng)第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題22其中x(t)為n維狀態(tài)向量,y(t)為q維輸出向量,u(t)為p維控制矩陣,u(t)不受約束。假定系統(tǒng)完全能觀,尋找最優(yōu)控制u*(t),使性能指標(biāo)最小,其中F和Q(t)是半是正定對(duì)稱矩陣,R(t)正定對(duì)稱陣2.分析第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題23將代入則<1>對(duì)稱陣<2>半正定陣對(duì)所有q維向量y(t)都成立第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題24由對(duì)所有q維向量C(t)x(t)都成立由于系統(tǒng)完全能觀對(duì)所有x(t)都成立3.輸出調(diào)節(jié)器控制規(guī)律其中P(t)滿足下面的矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠碳斑吔鐥l件第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題25最優(yōu)軌線滿足方程最優(yōu)性能指標(biāo)為結(jié)構(gòu)圖第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題26最優(yōu)控制輸出調(diào)節(jié)器仍然是狀態(tài)反饋,不是輸出反饋,需要所有的狀態(tài)變量4.線性定常系統(tǒng)當(dāng)tf→∞時(shí)的輸出調(diào)節(jié)器設(shè)有線性系統(tǒng)系統(tǒng)完全能控完全能觀,性能指標(biāo)第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題27其中u(t)不受約束,Q、R都是正定常數(shù)矩陣則,最優(yōu)控制存在。且可唯一的表示為其中是n×n正定常數(shù)矩陣,滿足下列的非線性
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