第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的①

、②

、③

叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.(2)命題p∧q、p∨q、?p的真假判斷教材研讀pqp∧qp∨q?p真真④

真假真假⑤

真假假真假真⑥

假假假⑦

⑧

且或非真假真假真2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞:短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,

用“⑨

”表示;含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.(2)存在量詞:短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量

詞,用“⑩

”表示;含有存在量詞的命題叫做特稱命題.3.含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M,p(x)

?x0∈M,p(x0)

?

?

?x0∈M,?p(x0)

?x∈M,?p(x)正面敘述等于大于小于是都是p或qp且q至多有一個至少有一個任意一個所有的否定形式不等于不大于不小于不是不都是非p且非q非p或非q至少有兩個一個也沒有某個某些4.常見的否定形式如下

1.下列四個命題中的真命題為

(

)A.?x0∈Z,1<4x0<3

B.?x0∈Z,5x0+1=0C.?x∈R,x2-1=0

D.?x∈R,x2+x+2>0

答案

D選項A中,

<x0<

且x0∈Z,不成立;選項B中,x0=-

,與x0∈Z矛盾;選項C中,x=±1,與?x∈R矛盾;選項D中,由Δ=1-8=-7<0可知D正確.2.(2015北京朝陽一模,2)已知命題p:?x∈R,sinx≤1,則

(

)A.?p:?x∈R,sinx≥1

B.?p:?x∈R,sinx>1C.?p:?x0∈R,sinx0≥1

D.?p:?x0∈R,sinx0>1

答案

D命題p:?x∈R,sinx≤1的否定是把量詞“?”改為“?”,然后否定結(jié)論,即把“sinx≤1”改為“sinx>1”.3.(2015北京豐臺二模,2)已知a>0且a≠1,命題“?x>1,logax>0”的否定是

(

)A.?x≤1,logax>0

B.?x>1,logax≤0C.?x≤1,logax>0

D.?x>1,logax≤0

答案

D先把量詞“?”改為“?”,再否定結(jié)論.故選D.4.如果命題“p且q”是假命題,“非p”是真命題,那么

(

)A.命題p一定是真命題B.命題q一定是真命題C.命題q一定是假命題D.命題q可以是真命題也可以是假命題

答案

D“非p”是真命題,那么p一定是假命題,故A錯;“p且q”是假命題,且p是假命題,所以q可能是真命題也可能是假命題,故選D.5.命題p:若sinx>siny,則x>y;命題q:x2+y2≥2xy,下列命題為假命題的是

(

)A.p或q

B.p且q

C.q

D.?p

答案

B取x=

,y=

,可知命題p不正確;由(x-y)2≥0恒成立,可知命題q正確,故?p為真命題,p或q是真命題,p且q是假命題,故選B.

全稱命題與特稱命題的真假判斷典例1

(1)下列命題中的假命題是

(

)A.?x∈R,2x-1>0

B.?x∈N*,(x-1)2>0C.?x∈R,lgx<1

D.?x∈R,tanx=2(2)下列命題中,真命題是

(

)A.?x∈R,x2-x-1>0B.?α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβC.?x∈R,x2-x+1=0D.?α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ

答案

(1)B

(2)D考點突破

解析

(1)A正確;對于B,當x=1時,(x-1)2=0,錯誤;對于C,當x∈(0,1)時,lgx<0<1,正確;對于D,?x∈R,tanx=2,正確.(2)因為x2-x-1=

-

,所以A是假命題.當α=β=0時,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命題.x2-x+1=

+

≥

,所以C是假命題.當α=β=

時,有sin(α+β)=cosα+cosβ,所以D是真命題,故選D.全稱命題、特稱命題的真假判斷方法(1)要判斷一個全稱命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗證p

(x)成立;但要判斷全稱命題是假命題,只要能找出集合M中的一個x=x0,使得

p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).(2)要判斷一個特稱命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一個x=

x0,使p(x0)成立即可;否則,這一特稱命題就是假命題.1-1下列命題:①?x∈R,x2+2>0;②?x∈N,x4≥1;③?x∈Z,x3<1;④?x∈Q,x2=3;⑤?x∈R,x2-3x+2=0;⑥?x∈R,x2+1=0.其中真命題的序號為

.

答案①③

解析①由于?x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2,即x2+2>0,所以命題“?x∈R,x2+2>0”是真命題.②由于0∈N,當x=0時,x4≥1不成立,所以命題“?x∈N,x4≥1”是假命題.③由于-1∈Z,當x=-1時,能使x3<1,所以命題“?x∈Z,x3<1”是真命題.④由于使x2=3成立的數(shù)只有±

,而它們都不是有理數(shù),因此,沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3,所以命題“?x∈Q,x2=3”是假命題.⑤由于只有當x=2或x=1時,滿足x2-3x+2=0,所以命題“?x∈R,x2-3x+2=0”

是假命題.⑥由于不存在一個實數(shù)x使x2+1=0成立,所以命題“?x∈R,x2+1=0”是假命

題.

含有一個量詞的命題的否定典例2

(1)(2016北京東城期中,2)命題“?x∈R,

>0”的否定是

(

)A.?x∈R,

<0

B.?x∈R,

≤0C.?x∈R,

<0

D.?x∈R,

≤0(2)命題“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

)A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>nB.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>nC.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0

答案

(1)D

(2)D

解析

(1)先改變量詞,再否定結(jié)論,故選D.(2)“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定為“f(n)?N*或f(n)>n”,全稱命題的否定

為特稱命題,故選D.一般命題的否定通常是保留條件否定其結(jié)論,得到真假性完全相反的兩個

命題;含有一個量詞的命題的否定,是在否定結(jié)論的同時,改變量詞的屬性,

即全稱量詞改為存在量詞,存在量詞改為全稱量詞.2-1

(2015北京海淀二模,2)已知命題p:?x>0,x+

≥2,則?p為

(

)A.?x>0,x+

<2

B.?x≤0,x+

<2C.?x≤0,x+

<2

D.?x>0,x+

<2

答案

D

先把量詞“?”改為“?”,再否定結(jié)論.故選D.2-2命題“對任意x∈R,都有x2≥0”的否定為

(

)A.對任意x∈R,都有x2<0

B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x0∈R,使得

≥0

D.存在x0∈R,使得

<0

答案

D原命題的否定為存在x0∈R,使得

<0.

含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷典例3

(1)設a,b,c是非零向量.已知命題p:若a·b=0,b·c=0,則a·c=0;命題q:若

a∥b,b∥c,則a∥c.則下列命題中真命題是

(

)A.p∨q

B.p∧qC.(?p)∧(?q)

D.p∨(?q)(2)已知命題p:若x>y,則-x<-y;命題q:若x>y,則x2>y2.在命題①p∧q;②p∨q;③

p∧(?q);④(?p)∨q中,真命題是

(

)A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

答案

(1)A

(2)C

解析

(1)由題意知命題p為假命題,命題q為真命題,所以p∨q為真命題.故選A.(2)由不等式性質(zhì)知:命題p為真命題,命題q為假命題,從而?p為假命題,?q為

真命題.故p∧q為假命題,p∨q為真命題,p∧(?q)為真命題,(?p)∨q為假命

題,故選C.(1)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷的步驟:①確定復合命題的結(jié)構(gòu)形式;②判斷其中簡單命題的真假;③根據(jù)真值表判斷復合命題的真假.(2)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷以真值表為標準.可簡記為:p∧q,同真則

為真,其余為假;p∨q,有真則為真,其余為假;?p與p的真假相反.3-1

(2015北京西城二模,3)設命題p:函數(shù)f(x)=ex-1在R上為增函數(shù);命題q:函

數(shù)f(x)=cos2x為奇函數(shù),則下列命題中的真命題是

(

)A.p∧q

B.(?p)∨qC.(?p)∧(?q)

D.p∧(?q)

答案

D命題p:函數(shù)f(x)=ex-1在R上為增函數(shù),故p為真命題.命題q:函數(shù)f(x)=cos2x為偶函數(shù),故q為假命題,所以?q為真命題,從而p∧(?q)為真命題,

故選D.

利用復合命題的真假求參數(shù)范圍典例4已知命題p:關(guān)于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命題q:

函數(shù)y=lg(ax2-x+a)的定義域為R,如果p∨q為真命題,p∧q為假命題,則實數(shù)a

的取值范圍為

.

答案

∪[1,+∞)

解析由關(guān)于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{