第8講泊松過程的推廣

隨機(jī)數(shù)學(xué)第8講泊松過程的推廣教師:陳萍prob123@12.2.2到達(dá)時刻的條件分布本節(jié)討論在給定N(t)=n的條件下，的條件分布及其有關(guān)性質(zhì)。這個定理說明，由于泊松過程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性，從而在已知[0,t]上有1個事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的時間τ1應(yīng)該服從[0，t]上的均勻分布。對此我們自然要問：(1)這個性質(zhì)是否可推廣到的情形？(2)這個性質(zhì)是否是泊松過程特有的？換言之，其逆命題是否成立？定理2.2.4設(shè)是泊松過程，則對有2為回答(1),需要如下關(guān)于順序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì):若{Ui,1in}在[0,t]上獨(dú)立同均勻分布,則其順序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合密度函數(shù)為定理2.2.5設(shè){N(t),t≥0}為參數(shù)(或強(qiáng)度)λ的泊松過程，若在[0,t)內(nèi)有n個事件相繼到達(dá)，則n個到達(dá)時刻的聯(lián)合分布和n個[0,t)上獨(dú)立同均勻分布的隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布相同.3設(shè)一系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)承受的沖擊數(shù){N(t),t0}是參數(shù)為λ的泊松過程，第i次受沖擊的損失為Di.設(shè){Di,i1}獨(dú)立同分布,且與{N(t),t0}獨(dú)立,且損失隨時間按負(fù)指數(shù)衰減,即t=0時損失為D,在t時損失為,設(shè)損失是可加的,那么到系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)受到?jīng)_擊的損失之和為其中τi為第i次沖擊到達(dá)的時刻,求EX用定理2.2.5解例2.2.24則{N(t),t≥0}為泊松過程.……證略.定理2.2.6

設(shè){N(t),t≥0}為計(jì)數(shù)過程，Tn為第n個事件與第n-1個事件的時間間隔，獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為F(x),若F(0)=0，且對,都有對問題(2),即逆命題,有如下定理:定理2.2.7設(shè){N(t),t≥0}為躍度為1的計(jì)數(shù)過程，滿足，t>0,N(t)P(λt),且在N(t)=n條件下，的條件概率密度是則{N(t),t≥0}為泊松過程.

……證略思考:如何利用以上定理對泊松過程進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬和檢驗(yàn)?52.3Poission過程的推廣(3)若,則定理2.3.1(1){X(t),t0}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程;(2)其特征函數(shù)為定義2.3.1設(shè){N(t),t0}為強(qiáng)度為λ

Poission過程,{Yi,i1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且{Yi,i1}與{N(t),t0}獨(dú)立,記稱{X(t),t0}為復(fù)合Poission過程(compoundpoissonprocesses).6例2.3.1設(shè)保險(xiǎn)公司在[0,t]時段內(nèi)接到的索賠次數(shù)N(t)形成強(qiáng)度為λ的Poisson流,且設(shè)保險(xiǎn)公司第i次賠償額是Yi,{Yi,i=1,2,…}獨(dú)立同正態(tài)分布,則每月要付出的賠償額服從什么分布？一年中它要付出的平均金額是多少?解：[0，t]內(nèi)賠償額形成復(fù)合Poission過程，每月要付出的賠償額特征函數(shù)為一年中它要付出的平均金額是7條件Poisson過程定義2.3.2

設(shè)Λ是一個正的隨機(jī)變量,分布函數(shù)為G(x),x0,設(shè){N(t),t0}是一計(jì)數(shù)過程,且當(dāng)給定Λ=λ時,{N(t),t0}是一Poisson過程,即

,有稱{N(t),t0}是條件Poisson過程.定理2.3.2設(shè){N(t),t0}是條件Poisson過程,且則(2)E[N(t)]=tEΛ(3)8例2.3.2設(shè)意外事故的發(fā)生頻率受某種未知因素影響,有兩種可能λ1,λ2,且0<p<1為已知.且當(dāng)給定Λ=λi時,[0,t]時段內(nèi)事故次數(shù)N(t)形成一強(qiáng)度為λiPoisson流.已知到時刻t為止已發(fā)生了n次事故,求[t,t+s]時段內(nèi)無事故的概率.解：在Λ=λi的條件下，N(t)是強(qiáng)度為λi的Poisson流.P{[t,t+s]時段內(nèi)無事故|N(t)=n}910非齊次Poisson過程當(dāng)Poisson過程的強(qiáng)度λ隨時間t變化時,Poisson過程被推廣成為非齊次Poisson過程.在實(shí)際中,非齊次Poisson過程也是比較常用的.例如在考慮設(shè)備故障率時,由于設(shè)備使用年限的變化,出故障的可能性會隨之變化;放射性物質(zhì)的衰變速度,會因各種外部條件的變化而隨之變化;昆蟲產(chǎn)卵的平均數(shù)量隨年齡和季節(jié)的變化而變化等.定義2.3.3隨機(jī)過程{N(t),t0}稱為具有強(qiáng)度函數(shù)λ(t)的非齊次Poisson過程，如果1）是一計(jì)數(shù)過程,且N(0)=0，2）具有獨(dú)立增量性，3）對任意實(shí)數(shù)t0,s>0,N(t+s)-N(t)為具有參數(shù)的Poisson分布.112.4更新過程一個計(jì)數(shù)過程,若它們相鄰事件到達(dá)時間間隔Tn是指數(shù)分布,則此過程為Poisson流.若是一般分布,則此過程為更新過程(renewalprocesses).更新機(jī)器零件問題是更新過程的典型例子.某機(jī)器上有一個零件是易損件,每當(dāng)它損壞時,就要換上新的零件.t=0時開始裝上一個零件,機(jī)器持續(xù)地運(yùn)轉(zhuǎn)一段時間T1,該零件損壞,立即用壽命T2的零件來更換,這樣不斷地進(jìn)行下去,關(guān)于這一列{Tn}的更新過程{N(t),t0}就表示到t時刻為止更換的零件數(shù).12則稱{N(t),t0}為更新過程。2.4.1更新過程的定義

顯然,更新過程是一個計(jì)數(shù)過程.在更新過程中,我們將事件發(fā)生一次叫作一次更新,從而定義中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的時間,τn是第n次更新發(fā)生的時刻.N(t)就是t時刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù).定義2.4.1設(shè)為獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)為F(x),且F(0)<1。令τ0=0，記13?更新過程一定是獨(dú)立增量過程嗎?設(shè)14更新過程的基本結(jié)論：

過程的統(tǒng)計(jì)特性可由序列的共同分布完全刻畫；N(t)是關(guān)于t的單調(diào)遞增階梯函數(shù)，對于固定的t，N(t)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量；的分布函數(shù)為

,即在有限時間內(nèi)不可能進(jìn)行無窮次更新.N(t)的概率分布為15例2.4.1設(shè)更新過程的更新間距