第14章拉氏變換

第14章拉普拉斯變換14.1拉普拉斯變換14.2常用函數(shù)的拉普拉斯變換14.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)14.5復(fù)頻域中的電路定律、電路元件與模型14.6拉普拉斯變換法分析電路14.7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)14.8網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)14.4拉普拉斯反變換本章重點(diǎn)本章重點(diǎn).常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì).復(fù)頻域中的電路定律.運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納.拉普拉斯變換法分析電路的動(dòng)態(tài)響應(yīng).網(wǎng)絡(luò)函數(shù).14.1拉普拉斯變換的定義

拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來(lái)，把時(shí)域問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問(wèn)題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱(chēng)為電路的復(fù)頻域分析法，又稱(chēng)運(yùn)算法。1.拉氏變換法例一些常用的變換對(duì)數(shù)變換乘法運(yùn)算變換為加法運(yùn)算相量法時(shí)域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算拉氏變換F(s)(頻域象函數(shù))對(duì)應(yīng)f(t)(時(shí)域原函數(shù))2、拉氏變換(Laplacetransformation)的定義象函數(shù)(transformfunction)F(s)原函數(shù)(originalfunction)f(t)t[0,)時(shí)域(timedomain)復(fù)頻域(complexfrequencydomain)復(fù)頻率(complexfrequency)拉氏變換對(duì)(Laplacepairs)一一對(duì)應(yīng)記號(hào)L[f(t)]表示取拉氏變換L-1[F(s)]表示取拉氏反變換定義式(Laplacetransformation)(inverseLaplacetransformation)注意

積分域積分下限從0

開(kāi)始，稱(chēng)為0

拉氏變換。積分下限從0+

開(kāi)始，稱(chēng)為0

+

拉氏變換。今后討論的均為0

拉氏變換。[0,0＋]區(qū)間f(t)=(t)時(shí)此項(xiàng)

0象函數(shù)F(s)

存在的條件：如果存在有限常數(shù)M和c

使函數(shù)f(t)滿(mǎn)足：

則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因?yàn)榭偪梢哉业揭粋€(gè)合適的s

值使上式積分為有限值。下頁(yè)上頁(yè)象函數(shù)F(s)

用大寫(xiě)字母表示,如I(s)，U(s)原函數(shù)f(t)

用小寫(xiě)字母表示，如i(t),u(t)返回=114.2常用函數(shù)的拉普拉斯變換14.3

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線(xiàn)性(linearity)性質(zhì)證

根據(jù)拉氏變換的線(xiàn)性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行相乘及加減計(jì)算。結(jié)論例1例2例3二、原函數(shù)的微分(differentiation)例1例2三、原函數(shù)的積分(integration)例四、時(shí)域平移(timeshift)f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(t-t0)(t-t0)平移f(t)(t-t0)不是平移例1求圖示函數(shù)的拉氏變換式例2求圖示函數(shù)的拉氏變換式1Ttf(t)0TTf(t)0五、復(fù)頻域平移(frequencyshift)例1例2例3六、尺度特性七、初值(initial-value)定理和終值(final-value)定理初值定理若L[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0處無(wú)沖激，則終值定理f(t)及其導(dǎo)數(shù)f(t)可進(jìn)行拉氏變換，且例1例2例3返回目錄14.4拉普拉斯反變換一、由象函數(shù)求原函數(shù)(1)利用公式(2)經(jīng)數(shù)學(xué)處理后查拉普拉斯變換表象函數(shù)的一般形式：二、將F(s)進(jìn)行部分分式展開(kāi)(partial-fractionexpansion)f(t)=L-1[F(s)]較麻煩等式兩邊同乘(s-s1)=0ki也可用分解定理求等式兩邊同乘(s-si)，應(yīng)用洛比達(dá)法則求極限例1例2用分解定理例3m>n，用長(zhǎng)除法，得k1,k2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)假設(shè)只有兩個(gè)根可據(jù)前面介紹的兩種方法求出k1,k2設(shè)例法一：部分分式展開(kāi)，求系數(shù)法二：將F2(s)改寫(xiě)為(s＋)2+2等式兩邊乘例1例2等式兩邊乘一般多重根情況返回目錄一、電路元件的運(yùn)算形式(operatorform)電阻Ru=Ri14.5復(fù)頻域中的電路定律、電路元件與模型+u-i(t)R+U(s)

-I(s)R取拉氏變換電感LiL+

uL

-L+

-sLUL(s)IL(s)-+取拉氏變換sL+

-UL(s)IL(s)電容C+uC

-iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+--+

1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏變換互感M取拉氏變換ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-++--U1(s)I2(s)+-受控源+-U1(s)+-

RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1u1+-二、電路定律的運(yùn)算形式+u-iRLC設(shè)電路無(wú)初始儲(chǔ)能+U(s)-I(s)RsL1/sC運(yùn)算形式的歐姆定律運(yùn)算阻抗(operationalimpedance)運(yùn)算導(dǎo)納(operationaladmittance三、運(yùn)算電路模型1.電壓、電流用象函數(shù)形式2.元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納3.電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示時(shí)域電路RRLCi1i2E(t)+-運(yùn)算電路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-uC(0-)=25ViL(0-)=5A時(shí)域電路t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)例52F2010100.5H50V+-uC+

-iL換路后運(yùn)算電路0.5sUC(s)20-++1/2s25/s2.55IL(s)+--解返回目錄14.6拉普拉斯變換法分析電路步驟1.由換路前電路計(jì)算uC(0-),iL(0-)；2.畫(huà)運(yùn)算電路模型；3.應(yīng)用電路分析方法求出待求變量的象函數(shù)；4.反變換求原函數(shù)。t=0時(shí)閉合S，求iL，uL。例1200V300.1H10-uC+1000FiL+-uL+-S(2)畫(huà)運(yùn)算電路200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---解200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---(4)反變換求原函數(shù)校核初值和終值要考慮初值思考：uL是哪兩端的電壓？200/s

300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---UL(s)+-例2求圖示電路的單位沖激響應(yīng)uC(t)，iC(t)

。RCuC(t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-tuC(V)0tiC返回目錄14.7

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(networkfunction)一、定義單個(gè)獨(dú)立源作用的線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)零狀態(tài)e(t)r(t)E(s)R(s)(轉(zhuǎn)移函數(shù)(transferfunction)RC+_+_uS例uCR1/sC+_+_US(s)UC(s)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與激勵(lì)無(wú)關(guān)；網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)。1.驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納2.轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳遞函數(shù))轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電流比二、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的具體形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-三、單位沖激響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的關(guān)系零狀態(tài)(t)h(t)e(t)r(t)若單位沖激響應(yīng)h(t)已知，則任意激勵(lì)e(t)產(chǎn)生的響應(yīng)r(t)可求。單位沖激響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一對(duì)拉氏變換對(duì)返回目錄14.8網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)(pole)和零點(diǎn)(zero)一、復(fù)頻率平面j在復(fù)平面上用“”表示極點(diǎn)，用“?！北硎玖泓c(diǎn)。極點(diǎn)。零點(diǎn)j。2-3例繪出其極零點(diǎn)圖(pole-zerodiagram)-1j-j0二、極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)的關(guān)系H(s)在s平面上極點(diǎn)位置不同，沖激響應(yīng)波形不同。單位沖激響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一對(duì)拉氏變換對(duì)j極點(diǎn)的位置決定沖激響應(yīng)的波形極點(diǎn)和零點(diǎn)共同決定沖激響應(yīng)的的幅值網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性(stability)

全部極點(diǎn)在s

左半平面的電路動(dòng)態(tài)響應(yīng)是穩(wěn)定的；有位于s