第六章誤差理論的基本知識

第六章誤差理論的基本知識主要內(nèi)容測量誤差概述偶然誤差的特性衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)觀測值的算術(shù)平均值基本要求：掌握產(chǎn)生誤差的原因和測量誤差分類，偶然誤差的特性，以及評定精度的指標(biāo)。重點(diǎn)：產(chǎn)生誤差的原因和測量誤差分類，算術(shù)平均值以及衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。難點(diǎn)：觀測值的中誤差。第一節(jié)誤差概述什么是誤差誤差（Error)Δ（真誤差）：觀測值L與真值X的差值。

Δ=L–X真值X：反映一個量真正大小的絕對準(zhǔn)確的數(shù)值。1、觀測誤差產(chǎn)生的原因：人----觀測者感覺器官的鑒別力的局限儀器----測量儀器與測量方法給觀測結(jié)果帶來誤差客觀環(huán)境----客觀環(huán)境給觀測結(jié)果帶來的影響觀測條件：人、儀器、客觀環(huán)境總稱觀測條件，它們是引起觀測誤差的主要因素。等精度觀測——觀測條件相同的各次觀測非等精度觀測——觀測條件不同的各次觀測2.測量誤差的分類（表現(xiàn)形式）1）偶然誤差(△a)在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，若誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小均不一致，而且從表而上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差單個偶然誤差無規(guī)律，大量偶然誤差有統(tǒng)計(jì)規(guī)律2）系統(tǒng)誤差（△s）在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，若誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性，對測量結(jié)果影響很大，具有一定的規(guī)律性可以采用一定的方法將系統(tǒng)誤差消除或減弱3）粗差（△g）由于觀測者疏忽大意，操作不當(dāng)，或受外界干擾等原因造成的測量錯誤測量中粗差不允許出現(xiàn)測量中，可通過一定的檢核條件，判讀是否有粗差存在，如有則重新觀測以消除粗差3.學(xué)習(xí)誤差理論的目的了解偶然誤差產(chǎn)生的規(guī)律正確處理觀測成果，即根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度根據(jù)誤差理論來指導(dǎo)實(shí)踐，使測量作業(yè)能達(dá)到預(yù)期的精度要求。第二節(jié)偶然誤差的特性

在相同的觀測條件下，獨(dú)立地觀測了817個三角形的全部內(nèi)角。由于觀測結(jié)果中存在著偶然誤差，三角形的三個內(nèi)角觀測值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測值為Li，則三角形內(nèi)角和的真誤差（或簡稱誤差）為Δi=Li-X（i一1，2，…n）

Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

12

X=

k/n/d

Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

14

X=

k/n/d

1、偶然誤差的特性1)有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。

2)單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多。

3)對稱性：

絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會基本相等。

4)補(bǔ)償性：

偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零。

當(dāng)n具有足夠大時，誤差在各個區(qū)間出現(xiàn)的相對個數(shù)就趨于穩(wěn)定。誤差分布曲線。其方程（稱概率密度）為式中參數(shù)σ是觀測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差）

σ對偶然誤差分布曲線形狀的影響f(Δ)ΔO0.6830.683σ愈小，曲線頂點(diǎn)愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。1)有界性：2)單峰性：3)對稱性：1．f(Δ)是偶函數(shù)。所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。2.Δ愈小，f（Δ）愈大。 當(dāng)Δ=0時，f（Δ）有最大值： Δ愈大，f（Δ）愈小。 當(dāng)Δ→±∞時，f（Δ）→0。 這就是偶然誤差的第一和第二特性。如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：對同一量觀測了n次對標(biāo)靶射n次觀測值為:l1,l2,l3,….ln如何評價數(shù)據(jù)的精度？成績多少？以上就是研究誤差的兩個目的第三節(jié)評定精度的指標(biāo) 在一定的觀測條件下進(jìn)行一組觀測，如果該組誤差值總的說來偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測質(zhì)量好些，這時標(biāo)準(zhǔn)差σ的值也較??；反之成立。 因此，一組觀測誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差值的大小，反映了該組觀測結(jié)果的精度。所以在評定觀測精度時，可用該組誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差σ的值。1.中誤差設(shè)對某真值

已知的量進(jìn)行了n次等精度獨(dú)立觀測得觀測值l1，l2，┄ln各觀測量的真誤差Δ1，

Δ2，┄Δn

觀測值精度可表示為：m稱為觀測值的中誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ跟中誤差m的不同，在于觀測個數(shù)n上例設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進(jìn)行了10次觀測，試求這兩組觀測值的中誤差。中誤差與真誤差不同，它只是表示一組觀測值的精度指標(biāo)，并不等于任何觀測值的真誤差。由于是等精度觀測，每個觀測值的精度都等于中誤差。§3評定真誤差精度的指標(biāo)2.相對誤差真誤差和中誤差都是絕對誤差相對誤差是專門為距離測量定義的精度指標(biāo)相對誤差——絕對誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比通常用分子是1的分式形式來表示工程測量第六章測量誤差的基本知識例如丈量兩條直線，一條長100m，另一條長20m，它們的中誤差都是全10mm，那么，能不能說兩者測量精度相同呢？即前者的精度比后者高。實(shí)踐證明：大于一倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為31.7%。大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為4.6％。大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占3‰左右。3、極限誤差結(jié)論：在觀測次數(shù)不多的情況下，可認(rèn)為大于三倍中誤差的偶然誤差實(shí)際上是不可能出現(xiàn)的測量中常取兩倍中誤差作為誤差的限值，也就是在測量中規(guī)定的容許誤差（或稱限差）。|Δ容|=2m在有的測量規(guī)范中也有取三倍中誤差作為容許誤差的。|Δ容|=3m第四節(jié)算術(shù)平均值及其中誤差

設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次，觀測值為L1、L2……Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個觀測值確定出該未知量的最或然值。設(shè)未知量的真值為X，寫出觀測值的真誤差公式為?i=Li-X(i=1,2…n)將上式相加得或故設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測值的算術(shù)平均值，即以?X表示算術(shù)平均值的真誤差，即代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，?X趨近于零，即也就是說，n趨近無窮大時，算術(shù)平均值x即為真值。1、等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值在等精度觀測條件下對某一量進(jìn)行多次觀測通常取算術(shù)平均值作為最后結(jié)果算術(shù)平均值是未知量的最可靠值或最或然值。2.白塞爾公式在實(shí)際工作中常用觀測值的改正數(shù)求中誤差算術(shù)平均值和觀測值之差，稱為觀測值的改正數(shù)，通常以v表示。兩端取和，得：將改正數(shù)和真誤差相加得：即：將上式相乘，然后取和，得：上式兩端除n，得：由于Δ1，Δ2，┄Δn

都是偶然誤差，故Δ1Δ2

，Δ1Δ3┄也具有偶然誤差的性質(zhì)。根據(jù)偶然誤差的第四個特性，當(dāng)n

趨于無窮大時，其總和應(yīng)趨近于零，即趨近于零當(dāng)n為較大的有限值時，的值也遠(yuǎn)小于[ΔΔ]，故可忽略不記。于是上式得：根據(jù)中誤差的定義得：即：這就是利用觀測值改正數(shù)Vi