第十二章動態(tài)優(yōu)化模型

第十二章動態(tài)優(yōu)化模型

12.1速降線與短程線12.2生產(chǎn)計劃的制定12.3國民收入的增長12.4漁船出海12.5賽跑的速度y12.1速降線與短程線5.最簡泛函數(shù)極值的必要條件-----歐拉方程最簡單的一類泛函：，其中F具有二階連續(xù)偏導數(shù)，容許函數(shù)類S取為滿足端點條件為固定端點的二階可微函數(shù)。

泛函極值的必要條件：設泛函（3）在x(t)∈S取得極值，則x(t)滿足歐拉方程：或用歐拉方程求解速降線問題。考察例二得：不含自變量，所以方程可寫作：

等價于：作一次積分得：令則方程化為又因積分之，得由邊界條件

，可知，故得這是擺線（園滾線）的參數(shù)方程，其中常數(shù)

可利用另一邊界條件

來確定。

問題背景：12.2生產(chǎn)計劃的制定

工廠與客戶簽訂了一項在某時刻提交一定數(shù)量產(chǎn)品的合同，在制訂生產(chǎn)計劃時要考慮生產(chǎn)和貯存兩種費用．生產(chǎn)費用通常取決于生產(chǎn)率(單依時間的產(chǎn)量)．生產(chǎn)率越高費用越大；貯存費用自然由已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品數(shù)量決定，數(shù)量越多費用越大．所謂生產(chǎn)計劃這里簡單地看作是到任一時刻為止的累積產(chǎn)量，它與每單體時間(如每天)的產(chǎn)量可以互相推算．建模目的是尋求最優(yōu)的生產(chǎn)計劃，使完成合同所需的總費用(生產(chǎn)與貯存費用之和)最小。問題假設問題分析模型建立12.3國民收入的增長問題背景

國民經(jīng)濟收入主要來自兩個方面：輪廓大再生產(chǎn)的積累和滿足人民生活需要的消費資金。如何安排積累和消費資金的不利使國民收入得到嘴快的增長，是一個重大的理論和實踐問題，本節(jié)僅從最優(yōu)控制的角度介紹一個十分簡化的模型。模型建立模型評注12.4漁船出海

這一節(jié)繼續(xù)討論開發(fā)漁業(yè)資源的最大經(jīng)濟效益模型，與6.1節(jié)的不同之處是，這里用出海漁船的數(shù)量作為控制函數(shù)。事實上，捕漁業(yè)的具體做法是等漁場中魚量增長到相當大的時候，才派出一定數(shù)量的漁船進行捕撈。于是我們的控制函數(shù)可以取與這種做法想適應的特殊形式，從而將本來屬于動態(tài)優(yōu)化模型的泛函極值問題簡化為普通的函數(shù)極值問題。1、漁場數(shù)量x（t）的自然增長服從Logistic規(guī)律，單位時間內(nèi)捕撈量與漁船數(shù)量u（t）和x（t）成正比，在捕撈條件下滿足模型假設：(1)(2)(3)r，N同前，q是每只漁船單位時間（如每天）的捕撈率（相對于x而言）。u（t）視為連續(xù)變量，非整數(shù)部分理解為在部分時間內(nèi)進行捕撈。2、出始時刻漁場魚量（4）x（0）很小。在時間內(nèi)不派漁船出海。以后出海漁船的數(shù)量保持常數(shù)U，即u（t）的形式為：（5）將（5）、（8）帶入（6）式，目標范函變?yōu)閁的函數(shù)，記作F（U），則（10）注意c,p,q,N的含義，可知無量綱量b是費用——價格比的下界（因為漁場魚量取最大值N）。顯然應該b〈1，否則成本高于售價。漁船不會出海。并且由（10）式可知，效益F（U）為正值的條件是1-qU/r-b〉0，或記作：（11）用微分法求出在條件（11）下F（U）下F（U）的最大點為（12）將（12）帶入（9）式即得為漁船出海的最佳數(shù)量與時刻（13）

模型解釋：按照經(jīng)濟學的觀點。最優(yōu)解應該在邊際得益恰好等于邊際損失時達到，成為邊際解釋。為了得到這種解釋的表達式，考察單位時間的利潤。當時，以（5）、（8）代入（14）得（14）與（10）比較可知F（U）又可表為（15）（16）容易算出對于最優(yōu)解有故必滿足

由此可對最優(yōu)解