高等數(shù)學(xué)第六版(下冊(cè))第八章課后習(xí)題答案

高等數(shù)學(xué)第六版(下冊(cè))第八章課后習(xí)題答案習(xí)題8－11.求下列函數(shù)表達(dá)式:(1)，求 解：(2)，求解：2.求下列函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形:(1) 解：(2)解：(3)解：3.求下列極限:(1) 解：(2)解一：解二：(3) (4)解一：解二：(4)解一：解二：4.證明下列函數(shù)當(dāng)時(shí)極限不存在:(1) 解：(2)解：5.下列函數(shù)在何處是間斷的?(1) 解：(2)解：第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在的某一鄰域有定義，則，.的幾何意義為曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率.在任意點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)、稱為偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù).求時(shí)，只需把視為常數(shù)，對(duì)求導(dǎo)即可.2.高階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為二階偏導(dǎo)數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為三階偏導(dǎo)數(shù)，如此類推.二階偏導(dǎo)數(shù)依求導(dǎo)次序不同，有如下4個(gè)：，其中后兩個(gè)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).若兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)皆為連續(xù)函數(shù)，則它們相等，即可交換求偏導(dǎo)數(shù)的次序.高階混合偏導(dǎo)數(shù)也有類似結(jié)果.習(xí)題8－21.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù):(1) 解：(2)解：(3) 解：(4)解：(5) 解：(6)解：(7) (8)解：(8)解：2.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù):（1），求解：（2），求解：3.求下列函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù):(1)，求，，解：(2)，求，，，解：(3)，求，解：4.設(shè)，求和.解：5.設(shè)，求證解:6.設(shè)，證明證明:由輪換對(duì)稱性,第三節(jié)全微分本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.全微分的定義若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量表示成則稱在點(diǎn)可微，并稱為在點(diǎn)的全微分，記作.2.可微的必要條件：若在可微，則（1）在處連續(xù)；（2）在處可偏導(dǎo)，且，從而.一般地，對(duì)于區(qū)域內(nèi)可微函數(shù)，.3.可微的充分條件：若在的某鄰域內(nèi)可偏導(dǎo)，且偏導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，則在可微。注：以上定義和充分條件、必要條件均可推廣至多元函數(shù)。習(xí)題8－31.求下列函數(shù)的全微分(1) (2)解:(2)解:(3) 解:(4)解:(5) 解:所以(6)解:2.求函數(shù)，當(dāng)時(shí)的全微分.解:3.求函數(shù)，當(dāng)時(shí)的全增量與全微分.解:4.研究函數(shù)在點(diǎn)處的可微性.解:由于，所以在點(diǎn)連續(xù)，又又所以所以在點(diǎn)處可微5.計(jì)算的近似值.解：令，則，再設(shè)則6.已知邊長(zhǎng)的矩形，如果邊增加5cm，而邊減少10cm，求這個(gè)矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)度變化的近似值.解：對(duì)角線長(zhǎng)為，則，所以第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）如下：1.設(shè)在可偏導(dǎo)，在相應(yīng)點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在的偏導(dǎo)數(shù)為2.推廣：(1)多個(gè)中間變量：設(shè)，則且(2)只有一個(gè)中間變量：設(shè)則且(3)只有一個(gè)自變量：設(shè)，則且 習(xí)題8－41.求下列復(fù)合函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2.求下列復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(1)解：(2)解：3.求下列復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（是類函數(shù)）(1) 解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：，，4.設(shè)且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：5.已知，其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求解：6.設(shè)，其中有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求解：第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.一個(gè)方程的情形（1）若方程確定隱函數(shù)，則.（2）若方程確定隱函數(shù)，則；.2.方程組的情形（1）若確定，，則，.（2）若確定，則，；，.習(xí)題8—51．求下列方程所確定的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(1) 解：(2)解：(3)解：(4)解：2．求下列方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(1) 解：(2)解：(3) 解：，(4)解：3．求下列方程所確定的隱函數(shù)的指定偏導(dǎo)數(shù)(1)設(shè)解：(2)設(shè)解：(3)設(shè) 解：(4)設(shè)解：4．設(shè)，而是由方程所確定的隱函數(shù)，求解：又，所以5.求由下列方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)，求解：(2)設(shè)，求解：6.設(shè)，求解：又所以7.設(shè)，而是由方程所確定的的函數(shù)，其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).試證明解：由，又所以第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.空間曲線的切線與法平面設(shè)點(diǎn)，(1)參數(shù)方程情形：若，則切向量為；其中；切線方程為 ；法平面方程為 .(2)一般方程情形：若，則切向量為；切線方程為 ；法平面方程為 .2.空間曲面的切平面與法線設(shè)點(diǎn).(1)隱式方程情形若，則法向量為；切平面為 ；法線為 .(2)顯式方程情形若，則法向量為，切平面為 ；法線為 .(3)參數(shù)方程情形若，則法向量，切平面為 ；法線為 .習(xí)題8—61．求曲線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線和法平面方程.解：切線：法平面：2．求下列曲面在指定點(diǎn)處的切平面與法線方程（1），點(diǎn)解：切平面：法線：（2），點(diǎn)解：切平面：即法線：3．求出曲線上的點(diǎn)，使在該點(diǎn)的切線平行于平面.解：設(shè)曲線在點(diǎn)的切向量為平面的法向量為，由題意可知所以，該點(diǎn)為4．求橢球面上平行于平面的切平面方程.解：設(shè)曲面在點(diǎn)處的法向量為，則，由題意可知，令，又，所以，代入得所以切平面方程為或即或5．試證曲面上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于1.證明：設(shè)為曲面上任一點(diǎn)，則曲面在該點(diǎn)處的法向量為，那么切平面的方程為即，該平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為，故6．求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程.解：曲線在點(diǎn)處的切向量為所以切線的方程為法平面為，即第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.方向?qū)?shù)(1)定義設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，是任一非零向量，，則在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)定義為表示函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的變化率.(2)計(jì)算公式若在點(diǎn)處可微，則對(duì)任一單位向量，有（此也為方向?qū)?shù)存在的充分條件）.2.梯度(1)定義設(shè)，則梯度grad為下式定義的向量：grad（或）.(2)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系(3)梯度的特征刻畫(huà)梯度是這樣的一個(gè)向量，其方向?yàn)樵邳c(diǎn)處增長(zhǎng)率最大的一個(gè)方向；其模等于最大增長(zhǎng)率的值.習(xí)題8—71．求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處沿指定方向的方向?qū)?shù)(1)為從點(diǎn)（1，2）到點(diǎn)（2，2+）的方向解：方向?yàn)?，而所?2)解：而所以2．求函數(shù)在拋物線上點(diǎn)（1，2）處，沿著這拋物線在該點(diǎn)處偏向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù).解：拋物線在點(diǎn)處的切向量為3．求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向角為的方向的方向?qū)?shù).解：4．設(shè)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，已給四個(gè)點(diǎn)，若在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)等于3，而沿方向的方向?qū)?shù)等于26，求在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù).解：所以5．設(shè)，求grad及grad解：6．問(wèn)函數(shù)在點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？并求此方向?qū)?shù)的最大值.解：沿梯度方向的方向的方向?qū)?shù)最大第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.極大（?。┲祮?wèn)題必要條件.若在點(diǎn)有極值且可偏導(dǎo)，則.使偏導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）.駐點(diǎn)與不可偏導(dǎo)點(diǎn)都是可疑極值點(diǎn)，還須用充分條件檢驗(yàn).充分條件.設(shè)在區(qū)域內(nèi)是類函數(shù)，駐點(diǎn)，記（1）當(dāng)時(shí)，是極值，且是極?。ù螅┲?；（2）當(dāng)時(shí)，不是極值；（3）當(dāng)時(shí)，還需另作判別.2.最大（?。┲祮?wèn)題首先找出在上的全部可疑極值點(diǎn)（設(shè)為有限個(gè)），算出它們的函數(shù)值，并與的邊界上的最大.最小值進(jìn)行比較，其中最大、最小者即為在上的最大、最小值.對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題，若根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，知目標(biāo)函數(shù)在內(nèi)一定達(dá)到最大（?。┲?，而在內(nèi)的可疑極值點(diǎn)唯一時(shí)，無(wú)須判別，可直接下結(jié)論：該點(diǎn)的函數(shù)值即為在內(nèi)的最大（小）值.3.條件極值（拉格朗日乘子法）求目標(biāo)函數(shù)在約束方程下的條件極值，先作拉格朗日函數(shù) ,然后解方程組，則可求得可疑極值點(diǎn).對(duì)于二元以上的函數(shù)和多個(gè)約束條件，方法是類似的。習(xí)題8—81．求下列函數(shù)的極值（1）解：，故在處取得極大值（2）解：可疑極值點(diǎn)有四個(gè)，即點(diǎn)-6600006-6-6600-36-363636是否極值點(diǎn)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)不是不是2．求下列函數(shù)在約束方程下的最大值與最小值（1）解：令最大值最小值（2）解：令最大值，最小值3．從斜邊之長(zhǎng)為的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形.解：令所以當(dāng)直角三角形的兩直角邊時(shí)，該直角三角形的周長(zhǎng)最大，且為4．求兩曲面交線上的點(diǎn)與面距離最小值.解：設(shè)兩曲面交線上的點(diǎn)為，由題意可得令，，，所以當(dāng)時(shí)，到面的距離最短。5．求拋物線到直線之間的最短距離.