第三章 協(xié)方差傳播律-第二部分

韋建超湖南科技大學(xué)建筑學(xué)院誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)ErrorTheoryandfundationofsurveyingAdjustment測(cè)繪工程專業(yè)基礎(chǔ)核心課程第三章：協(xié)方差傳播律§1協(xié)方差傳播律1§2協(xié)因數(shù)傳播律2§3非線性函數(shù)廣義傳播律3§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用4§5由真誤差計(jì)算中誤差及其應(yīng)用5重點(diǎn)和難點(diǎn)廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用非線性函數(shù)的廣義傳播律測(cè)量實(shí)踐中的實(shí)際問題測(cè)量實(shí)踐中的實(shí)際問題解決類似問題的方法就是：“協(xié)方差傳播律”

or“廣義傳播律”§1協(xié)方差傳播率觀測(cè)值函數(shù)觀測(cè)值線性函數(shù)非線性函數(shù)H=h1+h2+…h(huán)n一、線性函數(shù)協(xié)方差…或§1協(xié)方差傳播律從方差定義入手：代入一、線性函數(shù)協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律結(jié)論：對(duì)于函數(shù)：純量形式：其方差為：已知觀測(cè)量方差求函數(shù)方差協(xié)方差傳播定律一、線性函數(shù)協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律當(dāng)Dxx為對(duì)角陣時(shí)寫成純量形式：“誤差傳播率”一、線性函數(shù)協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律L1L2L3例：對(duì)于右圖所示三角形，觀測(cè)向量為:方差為:對(duì)于函數(shù):求方差：實(shí)踐中已知觀測(cè)值先驗(yàn)方差，求平差值精度的問題！一、線性函數(shù)協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律參照線性函數(shù)：令：得：由題意得：解：根據(jù)協(xié)方差傳播公式：得：=同理可求二、多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的協(xié)方差陣……§1協(xié)方差傳播律參照線性函數(shù)：令：則r個(gè)線性函數(shù)可寫成：二、多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的協(xié)方差陣§1協(xié)方差傳播律所不同的是：VS§1協(xié)方差傳播律“多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的協(xié)方差陣”“單個(gè)線性函數(shù)的協(xié)方差”形式上完全相同推導(dǎo)過程相同L1L2L3例：對(duì)于右圖所示三角形，觀測(cè)向量為:方差為:對(duì)于函數(shù):求方差：實(shí)踐中已知觀測(cè)值先驗(yàn)方差，求平差值精度的問題！§1協(xié)方差傳播律解：參照線性函數(shù)：其中：根據(jù)協(xié)方差傳播公式：§1協(xié)方差傳播律三、兩組線性函數(shù)的互協(xié)方差有兩組以X為變量的線性函數(shù)若已知X的方差陣DXX求Y關(guān)于Z的互協(xié)方差陣DYZ以及DZY？§1協(xié)方差傳播律由互協(xié)方差定義出發(fā)：其中E(Y)由數(shù)學(xué)期望傳播律得：同理：同理：例：有函數(shù)已知X1、X2的協(xié)方差陣D12，求Y對(duì)Z的互協(xié)方差DYZ解：根據(jù)互協(xié)方差公式得：三、兩組線性函數(shù)的互協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播率小結(jié)若則若則§1協(xié)方差傳播律§2協(xié)因數(shù)傳播律對(duì)于函數(shù)精度，還可以用協(xié)因數(shù)來表示隨機(jī)向量協(xié)因數(shù)已知待求函數(shù)協(xié)因數(shù)協(xié)因數(shù)傳播律觀測(cè)向量X的協(xié)因數(shù)QXX函數(shù)式：已知待求函數(shù)協(xié)因數(shù)陣及其協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)傳播律“權(quán)逆陣傳播律”§2協(xié)因數(shù)傳播律已知觀測(cè)向量X1和X2的協(xié)因數(shù)Qx1x1,Qx2x2和互協(xié)因數(shù)Qx1x2，或?qū)憺椋涸O(shè)有函數(shù)：試求Y關(guān)于Z的互協(xié)因數(shù)QYZ：例：§2協(xié)因數(shù)傳播律解：函數(shù)式可寫成：應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律得：§2協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)方差傳播律廣義傳播律歸納小結(jié)§3非線性函數(shù)的廣義傳播律設(shè)有觀測(cè)值為的非線性函數(shù)為Xn×1且已知X的協(xié)方差陣DXX求

Y的方差陣DYY？解此類問題的關(guān)鍵將非線性方程線性化，轉(zhuǎn)化成與線性問題如何線性化？方法1：將函數(shù)按泰勒級(jí)數(shù)展開?！囗?xiàng)§3非線性函數(shù)的廣義傳播律多元非線性函數(shù)………………§3非線性函數(shù)的廣義傳播律令：則：套用求方差協(xié)方差公式:……………………§3非線性函數(shù)的廣義傳播律………………令：…等價(jià)于非線性函數(shù)兩邊微分后：由：………即令：則非線性函數(shù)的全微分形式為：套方差傳播公式得：我們需要的值：？§3非線性函數(shù)的廣義傳播律用協(xié)方差傳播定律推導(dǎo)例：§3非線性函數(shù)的廣義傳播律解：1）對(duì)非線性函數(shù)兩邊全微分得：Z的權(quán)陣PZ：2）按協(xié)因數(shù)傳播定律求得Z的協(xié)因數(shù)陣Qzz：其中：例：§3非線性函數(shù)的廣義傳播律解：（1）列函數(shù)式：由右圖及坐標(biāo)正算公式得：（2）線性化：（3）代入?yún)f(xié)方差傳播公式：（4）計(jì)算點(diǎn)位誤差：點(diǎn)位誤差另一個(gè)計(jì)算公式：求函數(shù)協(xié)方差的步驟小結(jié)§3非線性函數(shù)的廣義傳播律39§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量的精度一個(gè)量獨(dú)立等精度觀測(cè)算術(shù)中數(shù)的中誤差

三角高程測(cè)量的精度距離丈量的精度廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量方法是目前布設(shè)國家高程控制網(wǎng)的主要測(cè)量方法.水準(zhǔn)測(cè)量的精度§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測(cè)量的精度§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測(cè)量的精度水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差與距離（測(cè)站數(shù)）的平方根成正比K稱為單位距離高差的中誤差或每公里高差中誤差。45解：即每公里觀測(cè)高差中誤差應(yīng)小于等于5mm§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測(cè)量的精度8km8kmh2h1PAB例2：如圖所示水準(zhǔn)路線，由兩已知水準(zhǔn)點(diǎn)測(cè)兩高差確定P點(diǎn)高程。要求P點(diǎn)高程的中誤差小于等于10mm。問每公里的觀測(cè)高差中誤差應(yīng)限定在什么范圍內(nèi)？（已知點(diǎn)高程無誤差）令：則：令：則：§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測(cè)量的精度§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測(cè)量的精度解：22334449§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量的精度一個(gè)量獨(dú)立等精度觀測(cè)算術(shù)中數(shù)的中誤差

三角高程測(cè)量的精度距離丈量的精度50§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用算數(shù)中數(shù)在測(cè)量中有著十分廣泛的應(yīng)用二、一個(gè)量獨(dú)立等精度觀測(cè)算術(shù)中數(shù)的中誤差

水平角的觀測(cè)結(jié)果怎么計(jì)算呢？§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用二、一個(gè)量獨(dú)立等精度觀測(cè)算術(shù)中數(shù)的中誤差

通常n>1，可見算術(shù)中數(shù)的精度好于單個(gè)觀測(cè)值的精度一個(gè)量獨(dú)立等精度的n

個(gè)觀測(cè)量：§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用二、一個(gè)量獨(dú)立等精度觀測(cè)算術(shù)中數(shù)的中誤差

§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用二、一個(gè)量獨(dú)立等精度觀測(cè)算術(shù)中數(shù)的中誤差

02040608010000.10.20.30.40.50.60.70.80.9114920100不能單純靠增加觀測(cè)次數(shù)提高算術(shù)中數(shù)的精度如何提高算術(shù)中數(shù)的精度？算術(shù)平均數(shù)的權(quán)是單次觀測(cè)的n倍前提：等精度觀測(cè)§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用二、一個(gè)量獨(dú)立等精度觀測(cè)算術(shù)中數(shù)的中誤差

解：B

角最少要觀測(cè)2個(gè)測(cè)回例：

在三角形ABC

中觀測(cè)角度A、B，一測(cè)回中誤差均為4″，其中A

角獨(dú)立等精度觀測(cè)了2個(gè)測(cè)回。若要求由A、B

算得C

角中誤差不大于4″，則B角最少需要獨(dú)立等精度觀測(cè)多少測(cè)回？h（高差）S（水平距離）a（標(biāo)高）i（儀器高）α三角高程測(cè)量是一種常用的高程測(cè)量方法三、三角高程測(cè)量的精度§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用h（高差）S（水平距離）a（標(biāo)高）i（儀器高）α此時(shí)角度的中誤差應(yīng)該取什么單位？三、三角高程測(cè)量的精度§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用在傳統(tǒng)的大地控制網(wǎng)中，通常邊長比較長時(shí)三角高程測(cè)量高差的中誤差與三角點(diǎn)間的距離成正比等級(jí)一等二等三等四等平均邊長20km13km8km4km三、三角高程測(cè)量的精度§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用59令：三角高程觀測(cè)高差的權(quán)與兩三角點(diǎn)間距離平方成反比三、三角高程測(cè)量的精度§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用四、距離丈量的精度若每一尺段距離丈量的中誤差為m，§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用歸納小結(jié)中誤差水準(zhǔn)測(cè)量算術(shù)中數(shù)三角高程距離丈量權(quán)測(cè)量應(yīng)用§4廣義傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)方差的公式63如何求各觀測(cè)值的中誤差？思路：轉(zhuǎn)成“同精度觀測(cè)”來求中誤差§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)方差的公式構(gòu)造一組虛擬觀測(cè)值對(duì)應(yīng)的真誤差關(guān)系為：由協(xié)因數(shù)傳播律得：為等精度觀測(cè)利用中誤差估值公式得到中誤差（或單位權(quán)中誤差）：§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)方差的公式結(jié)論：不等精度觀測(cè)值的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差估值的公式：不等精度觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算單位權(quán)中誤差估值的公式：同理：§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)方差的公式66觀測(cè)值的中誤差為：單位權(quán)中誤差隨著選擇的不同而改變?！?由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)方差的公式三角測(cè)量方法是布設(shè)水平控制網(wǎng)的主要方法之一§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用二、由三角形閉合差求測(cè)角方差估值公式中國天文大地網(wǎng)二等三角網(wǎng)三角形閉合差為真誤差§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用二、由三角形閉合差求測(cè)角方差估值公式n

個(gè)三角形的3n個(gè)獨(dú)立等精度的角度觀測(cè)量n

個(gè)獨(dú)立等精度的三角形閉合差§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用二、由三角形閉合差求測(cè)角方差估值公式——菲列羅公式

Ferrero’sFormula應(yīng)用：三角測(cè)量外業(yè)結(jié)束后用于估計(jì)測(cè)角中誤差，初步評(píng)定測(cè)角觀測(cè)量的精度等級(jí)一等二等三等四等測(cè)角中誤差0.71.01.82.5§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用二、由三角形閉合差求測(cè)角方差估值公式71§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用三、由水準(zhǔn)環(huán)線高差閉合差計(jì)算水準(zhǔn)測(cè)量單位權(quán)方差估值的公式四、由雙觀測(cè)值之差求中誤差（如水準(zhǔn)測(cè)量中的往返測(cè)）雙觀測(cè)值得差數(shù)：求單位權(quán)中誤差。§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用觀測(cè)值的差數(shù)差數(shù)的真誤差協(xié)方差傳播律即：用不等精度觀測(cè)的真誤差計(jì)算公式得：雙觀測(cè)值之差的中誤差§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用設(shè)分5段測(cè)定A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，每段各測(cè)兩次，其結(jié)果列于表3-1.試求：（1）每公里觀測(cè)高差的中誤差；（2）第二段觀測(cè)高差的中誤差；（3）第二段高差的平均值得中誤差；（4）全長一次（往測(cè)或返測(cè)）觀測(cè)高差的中誤差及

全長高差平均值的中誤差例：水準(zhǔn)路線兩次觀測(cè)高差值水準(zhǔn)路線兩次觀測(cè)高差值解：令C=1，即令1km觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)值，其數(shù)值計(jì)算列于下表+8-8+7-8+56464496425Pi=1/Si16.020.024.524.67.492.5§5由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用(1)

單位權(quán)(每公里觀測(cè)高差中誤差）為：(2)

單位權(quán)(每公里觀測(cè)高差中誤差）為：(3)

第二段高差的平均值得中誤差為：(4)全長一次（往測(cè)或返測(cè)）觀測(cè)高差