第三章 協(xié)方差傳播律-第二部分

韋建超湖南科技大學(xué)建筑學(xué)院誤差理論與測量平差基礎(chǔ)ErrorTheoryandfundationofsurveyingAdjustment測繪工程專業(yè)基礎(chǔ)核心課程第三章：協(xié)方差傳播律§1協(xié)方差傳播律1§2協(xié)因數(shù)傳播律2§3非線性函數(shù)廣義傳播律3§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用4§5由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用5重點和難點廣義傳播律在測量中的應(yīng)用非線性函數(shù)的廣義傳播律測量實踐中的實際問題測量實踐中的實際問題解決類似問題的方法就是：“協(xié)方差傳播律”

or“廣義傳播律”§1協(xié)方差傳播率觀測值函數(shù)觀測值線性函數(shù)非線性函數(shù)H=h1+h2+…h(huán)n一、線性函數(shù)協(xié)方差…或§1協(xié)方差傳播律從方差定義入手：代入一、線性函數(shù)協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律結(jié)論：對于函數(shù)：純量形式：其方差為：已知觀測量方差求函數(shù)方差協(xié)方差傳播定律一、線性函數(shù)協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律當(dāng)Dxx為對角陣時寫成純量形式：“誤差傳播率”一、線性函數(shù)協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律L1L2L3例：對于右圖所示三角形，觀測向量為:方差為:對于函數(shù):求方差：實踐中已知觀測值先驗方差，求平差值精度的問題！一、線性函數(shù)協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律參照線性函數(shù)：令：得：由題意得：解：根據(jù)協(xié)方差傳播公式：得：=同理可求二、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣……§1協(xié)方差傳播律參照線性函數(shù)：令：則r個線性函數(shù)可寫成：二、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣§1協(xié)方差傳播律所不同的是：VS§1協(xié)方差傳播律“多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣”“單個線性函數(shù)的協(xié)方差”形式上完全相同推導(dǎo)過程相同L1L2L3例：對于右圖所示三角形，觀測向量為:方差為:對于函數(shù):求方差：實踐中已知觀測值先驗方差，求平差值精度的問題！§1協(xié)方差傳播律解：參照線性函數(shù)：其中：根據(jù)協(xié)方差傳播公式：§1協(xié)方差傳播律三、兩組線性函數(shù)的互協(xié)方差有兩組以X為變量的線性函數(shù)若已知X的方差陣DXX求Y關(guān)于Z的互協(xié)方差陣DYZ以及DZY？§1協(xié)方差傳播律由互協(xié)方差定義出發(fā)：其中E(Y)由數(shù)學(xué)期望傳播律得：同理：同理：例：有函數(shù)已知X1、X2的協(xié)方差陣D12，求Y對Z的互協(xié)方差DYZ解：根據(jù)互協(xié)方差公式得：三、兩組線性函數(shù)的互協(xié)方差§1協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播率小結(jié)若則若則§1協(xié)方差傳播律§2協(xié)因數(shù)傳播律對于函數(shù)精度，還可以用協(xié)因數(shù)來表示隨機(jī)向量協(xié)因數(shù)已知待求函數(shù)協(xié)因數(shù)協(xié)因數(shù)傳播律觀測向量X的協(xié)因數(shù)QXX函數(shù)式：已知待求函數(shù)協(xié)因數(shù)陣及其協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)傳播律“權(quán)逆陣傳播律”§2協(xié)因數(shù)傳播律已知觀測向量X1和X2的協(xié)因數(shù)Qx1x1,Qx2x2和互協(xié)因數(shù)Qx1x2，或?qū)憺椋涸O(shè)有函數(shù)：試求Y關(guān)于Z的互協(xié)因數(shù)QYZ：例：§2協(xié)因數(shù)傳播律解：函數(shù)式可寫成：應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律得：§2協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)方差傳播律廣義傳播律歸納小結(jié)§3非線性函數(shù)的廣義傳播律設(shè)有觀測值為的非線性函數(shù)為Xn×1且已知X的協(xié)方差陣DXX求

Y的方差陣DYY？解此類問題的關(guān)鍵將非線性方程線性化，轉(zhuǎn)化成與線性問題如何線性化？方法1：將函數(shù)按泰勒級數(shù)展開?！囗棥?非線性函數(shù)的廣義傳播律多元非線性函數(shù)………………§3非線性函數(shù)的廣義傳播律令：則：套用求方差協(xié)方差公式:……………………§3非線性函數(shù)的廣義傳播律………………令：…等價于非線性函數(shù)兩邊微分后：由：………即令：則非線性函數(shù)的全微分形式為：套方差傳播公式得：我們需要的值：？§3非線性函數(shù)的廣義傳播律用協(xié)方差傳播定律推導(dǎo)例：§3非線性函數(shù)的廣義傳播律解：1）對非線性函數(shù)兩邊全微分得：Z的權(quán)陣PZ：2）按協(xié)因數(shù)傳播定律求得Z的協(xié)因數(shù)陣Qzz：其中：例：§3非線性函數(shù)的廣義傳播律解：（1）列函數(shù)式：由右圖及坐標(biāo)正算公式得：（2）線性化：（3）代入?yún)f(xié)方差傳播公式：（4）計算點位誤差：點位誤差另一個計算公式：求函數(shù)協(xié)方差的步驟小結(jié)§3非線性函數(shù)的廣義傳播律39§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測量的精度一個量獨立等精度觀測算術(shù)中數(shù)的中誤差

三角高程測量的精度距離丈量的精度廣義傳播律在測量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測量方法是目前布設(shè)國家高程控制網(wǎng)的主要測量方法.水準(zhǔn)測量的精度§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測量的精度§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測量的精度水準(zhǔn)測量高差的中誤差與距離（測站數(shù)）的平方根成正比K稱為單位距離高差的中誤差或每公里高差中誤差。45解：即每公里觀測高差中誤差應(yīng)小于等于5mm§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測量的精度8km8kmh2h1PAB例2：如圖所示水準(zhǔn)路線，由兩已知水準(zhǔn)點測兩高差確定P點高程。要求P點高程的中誤差小于等于10mm。問每公里的觀測高差中誤差應(yīng)限定在什么范圍內(nèi)？（已知點高程無誤差）令：則：令：則：§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測量的精度§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測量的精度解：22334449§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測量的精度一個量獨立等精度觀測算術(shù)中數(shù)的中誤差

三角高程測量的精度距離丈量的精度50§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用算數(shù)中數(shù)在測量中有著十分廣泛的應(yīng)用二、一個量獨立等精度觀測算術(shù)中數(shù)的中誤差

水平角的觀測結(jié)果怎么計算呢？§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用二、一個量獨立等精度觀測算術(shù)中數(shù)的中誤差

通常n>1，可見算術(shù)中數(shù)的精度好于單個觀測值的精度一個量獨立等精度的n

個觀測量：§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用二、一個量獨立等精度觀測算術(shù)中數(shù)的中誤差

§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用二、一個量獨立等精度觀測算術(shù)中數(shù)的中誤差

02040608010000.10.20.30.40.50.60.70.80.9114920100不能單純靠增加觀測次數(shù)提高算術(shù)中數(shù)的精度如何提高算術(shù)中數(shù)的精度？算術(shù)平均數(shù)的權(quán)是單次觀測的n倍前提：等精度觀測§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用二、一個量獨立等精度觀測算術(shù)中數(shù)的中誤差

解：B

角最少要觀測2個測回例：

在三角形ABC

中觀測角度A、B，一測回中誤差均為4″，其中A

角獨立等精度觀測了2個測回。若要求由A、B

算得C

角中誤差不大于4″，則B角最少需要獨立等精度觀測多少測回？h（高差）S（水平距離）a（標(biāo)高）i（儀器高）α三角高程測量是一種常用的高程測量方法三、三角高程測量的精度§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用h（高差）S（水平距離）a（標(biāo)高）i（儀器高）α此時角度的中誤差應(yīng)該取什么單位？三、三角高程測量的精度§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用在傳統(tǒng)的大地控制網(wǎng)中，通常邊長比較長時三角高程測量高差的中誤差與三角點間的距離成正比等級一等二等三等四等平均邊長20km13km8km4km三、三角高程測量的精度§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用59令：三角高程觀測高差的權(quán)與兩三角點間距離平方成反比三、三角高程測量的精度§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用四、距離丈量的精度若每一尺段距離丈量的中誤差為m，§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用歸納小結(jié)中誤差水準(zhǔn)測量算術(shù)中數(shù)三角高程距離丈量權(quán)測量應(yīng)用§4廣義傳播律在測量中的應(yīng)用§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)方差的公式63如何求各觀測值的中誤差？思路：轉(zhuǎn)成“同精度觀測”來求中誤差§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)方差的公式構(gòu)造一組虛擬觀測值對應(yīng)的真誤差關(guān)系為：由協(xié)因數(shù)傳播律得：為等精度觀測利用中誤差估值公式得到中誤差（或單位權(quán)中誤差）：§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)方差的公式結(jié)論：不等精度觀測值的真誤差計算單位權(quán)中誤差估值的公式：不等精度觀測值的改正數(shù)計算單位權(quán)中誤差估值的公式：同理：§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)方差的公式66觀測值的中誤差為：單位權(quán)中誤差隨著選擇的不同而改變?！?由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)方差的公式三角測量方法是布設(shè)水平控制網(wǎng)的主要方法之一§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用二、由三角形閉合差求測角方差估值公式中國天文大地網(wǎng)二等三角網(wǎng)三角形閉合差為真誤差§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用二、由三角形閉合差求測角方差估值公式n

個三角形的3n個獨立等精度的角度觀測量n

個獨立等精度的三角形閉合差§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用二、由三角形閉合差求測角方差估值公式——菲列羅公式

Ferrero’sFormula應(yīng)用：三角測量外業(yè)結(jié)束后用于估計測角中誤差，初步評定測角觀測量的精度等級一等二等三等四等測角中誤差0.71.01.82.5§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用二、由三角形閉合差求測角方差估值公式71§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用三、由水準(zhǔn)環(huán)線高差閉合差計算水準(zhǔn)測量單位權(quán)方差估值的公式四、由雙觀測值之差求中誤差（如水準(zhǔn)測量中的往返測）雙觀測值得差數(shù)：求單位權(quán)中誤差?！?由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用觀測值的差數(shù)差數(shù)的真誤差協(xié)方差傳播律即：用不等精度觀測的真誤差計算公式得：雙觀測值之差的中誤差§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用設(shè)分5段測定A、B兩水準(zhǔn)點間的高差，每段各測兩次，其結(jié)果列于表3-1.試求：（1）每公里觀測高差的中誤差；（2）第二段觀測高差的中誤差；（3）第二段高差的平均值得中誤差；（4）全長一次（往測或返測）觀測高差的中誤差及

全長高差平均值的中誤差例：水準(zhǔn)路線兩次觀測高差值水準(zhǔn)路線兩次觀測高差值解：令C=1，即令1km觀測高差為單位權(quán)觀測值，其數(shù)值計算列于下表+8-8+7-8+56464496425Pi=1/Si16.020.024.524.67.492.5§5由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用(1)

單位權(quán)(每公里觀測高差中誤差）為：(2)

單位權(quán)(每公里觀測高差中誤差）為：(3)

第二段高差的平均值得中誤差為：(4)全長一次（往測或返測）觀測高差