第三章空間力系

第三章空間力系主要內(nèi)容空間匯交力系的合成與平衡；力對點的矩和力對軸的矩；空間力偶；空間任意力系的簡化---主矢和主矩；空間任意力系的平很問題和平衡方程；物體重心的確定§3-1空間匯交力系1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影

xyzXiZiYiFiXiZiYiFiX=FsinγcosφY=FsinγsinφZ=Fcosγβαγφxyzγ

X=FcosαY=Fcosβ

Z=FcosγConcurrentforcesysteminspace2、空間匯交力系的合成與平衡條件：合力的大小空間匯交力系的平衡方程:求：三根桿所受力。例：P=1000N,各桿重不計。nnnnhABMO(F)rhABMO(F)rhABOzxyMO(F)rhABMO(F)r|M

O(F)|=FhF矢量記作MO(F)，且MO

(F)=r×F——定位矢量§3－2力對點的矩和力對軸的矩Themomentofaforceaboutapointoranaxis一、空間力對點的矩2）矢量的方位與力矩作用面的法向同，矩心為矢起端；1）矢量的模等于力矩的大??；3）矢量的指向確定了轉(zhuǎn)向，按右手法則。力對點的矩為零的條件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r與F共線，即力通過矩心；2）F=0力對點的矩采用行列式可得如下形式：由：r=xi+y

j+zk和F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k二、力對軸的矩度量力對繞定軸轉(zhuǎn)動物體的作用效果以門為例：門上作用一個力F假定門繞z軸旋轉(zhuǎn)將力F向z軸和xy面分解成兩個分力Fz

和Fxy，顯然力Fxy

使門繞z軸旋轉(zhuǎn)。FFxyFzzxyOz力對軸的矩之定義 力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對于此平面與該軸的交點的矩的大小。逆著坐標(biāo)軸正向看，力使物體繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)為正。FFxyFzABh即Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyh力對軸的矩等于零的情形：①力與軸相交(h=0)②力與軸平行(Fxy=0)一句話:只要力與軸在同一平面內(nèi),力對軸的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力對軸的矩之解析表達式設(shè)空間中有一個力FyxyxOzXYFxyXYZFA(x,y,z)力作用點A（

x，y，z）;

F

在三軸的投影分別為X，Y，Z;A(x,y,z)A(x,y,z)根據(jù)合力矩定理，得Mz(F)=M

O(Fxy)=MO(X)+MO(Y)=xY－yXXYZXYZ按同類方法求得其他兩式：M

x

(F)=yZ－zY

My

(F)=zX－xZ三、力對點的矩和力對軸的矩的關(guān)系力對點的矩矢量可以寫成：可得[MO(F)]x

=Mx(F)[MO(F)]y

=M

y

(F)[MO(F)]z

=M

z(F)MO(F)=[MO(F)]xi+[MO(F)]yj+[MO(F)]zk=(yZ－zY)i+(zX－xZ)j+(xY－yX)k

而

Mx(F)=yZ－zY

M

y(F)=zX－xZ

M

z

(F)=xY－yX

結(jié)論：力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。如果力對通過O點的直角坐標(biāo)軸x、y、z的矩是已知的，則力對點O的矩的大小和方向余弦為：手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個力F，它垂直y軸，偏離鉛垂線的角度為α，若CD=a，BC∥x軸，CE∥y軸，AB=BC=l。求力F對x、y和z三軸的矩。例3-1：CDEAxzyαFB由合力矩定理可得：CDEAxzyαFB解法1將力F沿坐標(biāo)軸分解為Fx和Fz。FxFzMx(F)=M

x(Fz

)=-F

z(AB+CD)=-F(l+a)cosαM

y(F)=M

y(Fz)=-F

z(BC)=-FlcosαM

z(F)=M

z(Fx)=-F

x(AB+CD)=-F(l+a)sinαFxFzFxFz解法2直接套用力對軸之矩的解析表達式：力在x、y、z軸的投影為X=FsinαY=0Z=-FcosαCDEAxzyαFBFxFzM

x(F)=yZ－zY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cosαM

y

(F)=zX－xZ=0-(-l)(-Fcosα)=-FlcosαM

z

(F)=xY－yX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinα圖中力F的大小為10kN，求的力F在x、y、z三坐標(biāo)軸的投影，以及對三坐標(biāo)軸的矩和對O點的矩。(長度單位為m)OxyzA(4,9,5)534例3-2:Fijk解：1、先求F的三個方向余弦FF2、求力的投影（F

=10kN）例4-2（續(xù)1）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：3、求力對軸的矩例4-2（續(xù)3）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：（求力對軸的矩也完全可以先將力F分解為三個分力，再由合力矩定理分別求出力對軸的矩）例4-2（續(xù)4）4、求力F對O點的矩由

MO(F)=Mx

i+My

j+Mz

k得：也可以按如下方法求解：二、圖示正立方體的邊長為0.5m，沿對角線HD作用一力F1，沿棱邊BC作用一力F2，在BCHE面上作用一力偶。已知：力偶矩M=10N·cm，F(xiàn)1=F2=100N，求力系對各軸的矩。(10分)ndFF’BAMnMM為自由矢M為自由矢M為自由矢M為自由矢O就是力偶矩的大小。可見，與矩心無關(guān)。如圖力偶對O點的矩為：§3－3空間力偶Systemofforcecouplesinspace一、力偶矩以矢量表示：力偶矩矢方位與作用面法方向方位n同。指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則。二、空間力偶等效定理：作用于剛體上的兩力偶，若它們的力偶矩矢相等，則此二力偶等效。（2）力偶作用面可平行移動而不改變力偶對剛體的效應(yīng)。只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變。（1）只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變。===力偶矩矢相等的力偶等效，即力偶矩矢是空間力偶作用效果的唯一量度。三、空間力偶系的合成與平衡條件：

任意個力偶可以合成為一個合力偶，這個合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2rBABA證：設(shè)有n個力偶，總可得到兩個匯交力系，匯交點分別為A和B。合力偶矩矢的大小和方向余弦：例：求：工件所受合力偶矩在軸上的投影.在工件四個面上同時鉆5個孔，每個孔所受切削力偶矩均為80N·m。有空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，即圓盤面O1垂直于z軸，求:軸承A,B處的約束力。例F1=3N，F(xiàn)2=5N，圓盤面O2垂直于x軸，AB=800mm,兩圓盤半徑均為200mm，解：例不計正方體和直桿自重。求：正方體平衡時，力的關(guān)系和兩根桿受力。正方體上作用兩個力偶∥解：兩桿為二力桿，取正方體，畫受力圖建坐標(biāo)系如圖b以矢量表示力偶，如圖c解得設(shè)正方體邊長為a,有§3-4空間任意力系向一點簡化主矢和主矩

Reductionofaforcesysteminspacetoagivenpoint一空間匯交力系與一空間力偶系等效代替一空間任意力系一、空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點簡化，可得一力和一個力偶。主矢作用線通過簡化中心O；這個力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩矢。主矢與簡化中心無關(guān)；主矩一般情況下與簡化中心的位置有關(guān)?！行七M力—有效升力—側(cè)向力—滾轉(zhuǎn)力矩飛機繞x軸滾轉(zhuǎn)—偏航力矩飛機轉(zhuǎn)彎—俯仰力矩飛機仰頭OdOdO二、空間任意力系的簡化結(jié)果分析1、空間力系簡化為一個合力偶主矢R’=0；主矩MO≠0主矩與簡化中心無關(guān)。2、空間力系簡化為一個合力合力矩定理

①主矢R’≠0；主矩MO=0合力的作用線通過簡化中心。②主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO⊥

R’

MOR’R’RR”RMOMOMOR’R”R’R”R’R”

MO(R)=∑MO(F)空間任意力系的合力對于任意一點的矩等于各分力對同一點的矩的矢量和。將上式向任意軸投影（如z軸）得：

Mz(R)=∑M

z(F)3、空間力系簡化為力螺旋的情形主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO∥

R’OOOORRRRMOMOMOMO右螺旋左螺旋力螺旋就是由一個力和一個力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶作用面。力螺旋的力作用線稱為力螺旋的中心軸。力螺旋由兩個力學(xué)基本要素組成，不能進一步合成主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO與R’即不平行也不正交。M”O(jiān)=MOsinα；M’O=MOcosα

M’O和R’組成力螺旋，其中心軸距O點的距離為：OOOαR’MOR’R’M”O(jiān)M’OM’OdMOMOMO4、空間力系簡化為平衡的情形主矢R’=0；主矩M

O=0§4-5空間力系的平衡方程空間力系平衡的充分必要條件：所有力在三個坐標(biāo)軸中的每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每一個坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也為零。除了上述的基本方程，還有所謂的4力矩、5力矩和6力矩式。Equilibriumequationsofaforcesysteminspaceandtheirapplications幾種特殊情形平衡規(guī)律[Ⅰ] 匯交力系∵所有的力矩方程恒等于0∴匯交力系有三個平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用線平行z軸）∵∑X≡0，∑Y≡0，∑Mz≡0∴平行力系有三個平衡方程：

∑Z=0，∑M

x

=0，∑M

y

=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面為Oxy面）∵∑Z≡0，∑Mx

≡0，∑My

≡0∴平面一般力系有三個平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑M

z=0約束反力未知量約束類型AFAAFAzFAyA徑向軸承圓柱鉸鏈鐵軌蝶鉸鏈約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形鉸鏈止推軸承導(dǎo)向軸承萬向接頭約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy帶有銷子的夾板導(dǎo)軌空間的固定端支座空間力系平衡問題舉例：空間任意力系的平衡方程有六個，所以對于空間任意力系作用下平衡的物體，只能求解六個未知量。本節(jié)基本目的：①受力分析②平衡方程的建立③解題技巧圖示三輪小車，自重P=8kN，作用于點E，載荷P1=10N，作用于點C。求小車靜止時地面對車輪的反力。例P1PFBFAFD解：以小車為研究對象，受力分析如圖FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACP10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACFBFDFBFDFBFDFBFDP例4-4(續(xù)）zxyO∑M

x

(F)=0，2FD－1.2P－0.2P1=0FD=5.8kN∑My

(F)=0，1.2FB－0.8P1－0.6P+0.6FD=0FB

=7.8kN∑Z=0，F(xiàn)A+FB

+FD

－P1－P=0FA=4.4kN適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)軸對簡化計算非常重要。FAFAFAFA選取坐標(biāo)軸如圖水平均質(zhì)板重P，6根直桿用球鉸將板和地面連接，結(jié)構(gòu)如圖。求由板重引起得各桿內(nèi)力。例解：給各桿編號①②③④⑤⑥受力分析，假定各桿均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6∑MAB=0∑MAE

=0S5=0∑MAC=0S4=0∑MBF

=0S1=0∑MEG=0S3=0∑MFG=0PaBHbADCFGE本章小結(jié)（4）簡化的最終結(jié)果主矢主矩最終結(jié)果說明空間任意力系簡化的最終結(jié)果§4-8重心1.重心的概念及其坐標(biāo)公式重力是一個分布力系，可足夠精確地視為空間平行力系。一般所謂重力，就是空間平行力系的合力?？梢宰C明不變形的物體（剛體）在地表面無論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線都通過此物體上的一個確定的點，這一點稱為物體的重心Thecenterofgravityofanobject△ViMiC推導(dǎo)物體重心的坐標(biāo)公式若將物體分割為許多小體積，每個小塊體積為△Vi，所受重力為Pi，則整個物體的重量為P=∑PiPPiyizixizCxCyCxzyO根據(jù)合力矩定理，

對x軸取矩，有PyC

=-(P1y1+P2y2+…+Pnyn)=-∑Piyi對y軸取矩，有P

xC

=(P1x1+P2x2+…+Pnxn)=∑Pixi為了求坐標(biāo)zC，將物體連同直角坐標(biāo)系Oxyz一起繞x軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°對有x軸取矩，有PzC

=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=∑Pizi△ViMiCPPiyizixizCxCyCxzyOxzyO△ViMiCPiPzizC重心的坐標(biāo)公式:體積的重心若物體均質(zhì)，單位體積的重量為γ=常量，以△Vi表示微小體積，物體總體積為V=∑△Vi。將

Pi=γ△Vi代入重心公式，得上式的極限為體積重心與比重?zé)o關(guān)，只與物體的體積有關(guān)面積的重心工程中常采用薄殼結(jié)構(gòu)，其厚度與其表面積S相比是很小的，若薄殼均質(zhì)等厚的，則重心公式為PPiyizixizCxCyCxzyOCds線段的重心如果物體是均質(zhì)等截面的細長線段，其截面尺寸與其長度l相比是很小的，則重心公式為yizixizCxCyCxzyOPPiC2.確定重心的常用方法當(dāng)物體具有對稱軸、對稱面或?qū)ΨQ中心時，它的重心一定在對稱軸、對稱面或?qū)ΨQ中心上。對于幾何形狀較復(fù)雜的均質(zhì)物體，往往采用分割法和負面積法分割法負面積法例求：其重心坐標(biāo)均質(zhì)等厚Z字型薄板如圖所示。解:分為三個小矩形，例等厚均質(zhì)偏心塊的解：用負面積法，3.確定重心的常用實驗方法實驗方法多種多樣，但最常見的是懸掛法。CCCC稱重法為了確定具有對稱軸的圖示連桿的重心xC，線先稱出連桿重量P。然后將其一端支承于A點，另一端放在磅稱B上，測得兩點的水平距離l及B處的約束反力FB,假定為G,由∑MA(F)=0，PxC－FB

l=0重心公式（1）重心公式（2）重心公式（3）重心公式（4）本章小結(jié)1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影

X=FsinγcosφY=FsinβsinφZ=FcosγXiZiYiFiφxyzγxyzXiZiYiFiβαγ

X=Fcosα

Y=Fcosβ

Z=Fcosγ本章小結(jié)（2）2、力對點的矩的計算=(yZ－zY)i+(zX－xZ)j+(xY－yX)k3、力對點的矩與力對軸的矩的關(guān)系[M

O(

F)]x

=M

x

(F)[M

O(

F)]y=M

y

(F)[M

O(

F)]z

=M

z

(F)本章小結(jié)（3）4、合力矩定理Mo(R)=∑Mo(F)即：空間任意力系的合力對于任意一點的矩等于各分力對同一點的矩的矢量和。將上式向任意軸投影（如z軸）得：

Mz(R

)=∑M

z(F)5、空間任意力系向一點簡化，可得一個大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心的力和一個力偶。本章小結(jié)（5）6、空間任意力系平衡方程的基本形式幾種特殊情形平衡規(guī)律[Ⅰ] 匯交力系

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用線平行z軸）

∑Z=0，∑Mx=0，∑M

y=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面為Oxy面）

∑X=0，∑Y=0，∑Mz=0本章小結(jié)（6）[Ⅳ] 力偶系

∑M

x=0，∑M

y=0，∑M

z=07、不變形的物體（剛體）在地表面無論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線都通過此物體上的一個確定的點，這一點稱為物體的重心重心的坐標(biāo)公式在圖中，皮帶的拉力F2=2F1，曲柄上作用有鉛垂力F=2000N。已知皮帶輪的直徑

D=400mm，曲柄長R=300mm，α=30o，β=60o。求皮帶拉力和軸承反力。例200mm200mm200mmDRFF2βF1αAB例4-5(2)

(α=30o，β=60o)解:選坐標(biāo)軸如圖∑X=0，F(xiàn)1sin30o+F2sin60o+XA+XB=0∑Y=0，0=0∑Z=0，ZA+ZB-F-

F1cos30o-F2cos60o=0zyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整個軸為對象，受力分析如圖200mm200mmαβ200mmAB(α=30o，β=60o)解:選坐標(biāo)軸如圖∑M

x

(F)=0，400ZB-200F+200F1cos30o+200F2cos60o=0∑M

y

(F)=0，F(xiàn)·R-(F2-F1)·D/2=0∑M

z(F)=0，200F1sin30o+200F