數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出

第7章數(shù)學(xué)物理定解問題1、數(shù)學(xué)物理方程簡介：數(shù)學(xué)物理方程是物理問題中的物理量滿足的偏微分方程或積分方程，是物理學(xué)的一個分支。偏微分方程分為線性的和非線性的三類偏微分方程：波動方程

擴(kuò)散方程

泊松方程2、數(shù)學(xué)物理方法研究問題的步驟寫出定解問題

定解問題把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言(建模)求解

分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法以及變分法、差分方法、保角變換法和復(fù)變函數(shù)方法等分析解答解出答案，需分析其意義及其適定性。適定性：解是存在的，唯一的而且是穩(wěn)定的。3、數(shù)理方程的特點

數(shù)理方程一般連系著物理學(xué)中的許多問題，另一方面又要運用數(shù)學(xué)中的許多研究成果（方法），所以，他是數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的橋梁§7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出一、弦振動方程物理模型：均勻柔軟細(xì)弦，受弦中張力和重力影響。分析：研究微小橫向振動規(guī)律

x,t,u=u(x,t)為弦位移取一小段弧MM’建立方程：受力情況：沿x方向oxuMM’dsxX+dxN’NT’TY方向受力情況

即在y方向：因為當(dāng)時小弧段的加速度由牛頓第二定律得

OrWherethen此式稱為弦的自由振動方程或一維波動方程。T=T’細(xì)繩非奇次的弦振動方程

如果弦在振動過程中，還受到一個與振動方向平行的外力，且假定在時刻t，x點處的單位長度受力為F(x,t),那么略去弦本身的重量，我們導(dǎo)出此式稱為非齊次波動方程。類似的還有理想傳輸線的電報方程。二、均勻細(xì)桿的縱振動方程解決的問題：桿上各點沿桿長方向的縱向位移滿足的方程AB兩端位移：，，AB段伸長：相對伸長：/=相對伸長隨點而變化，xB段兩端的張應(yīng)力分別是B段的運動方程Then為桿的縱振動方程。對于均勻桿，是常數(shù),同理我們可得到桿的受迫縱振動方程

三、熱傳導(dǎo)方程1、物理模型：截面積為A的均勻細(xì)桿，側(cè)面絕熱，沿桿長方向有溫差，求熱量的流動。首先，我們復(fù)習(xí)一下有關(guān)熱量的幾個概念：設(shè)：Q——熱量，S——面積，V——體積，t——時間，ρ——密度，T——溫度（u）則：（1）比熱：單位質(zhì)量物質(zhì)溫度升高一度所需的熱量（2）熱流密度：單位時間流過單位面積的熱量

k——導(dǎo)熱率（3）熱源強度：單位時間、單位體積放出的熱量2、分析：

(1)研究的問題：熱量流動是由溫差造成的。設(shè)u(x,t)表示溫度；

(2)已知：C,ρ,k是常數(shù)，u(x,t)是一維熱傳導(dǎo)問題；

(3)方法：推導(dǎo)方法與弦振動方程相似3、建立方程(1)考慮任一在時間熱量情況流入x面：流出面：熱源產(chǎn)生熱量：設(shè)有熱源的密度F(x,t),

升溫所需的熱量：設(shè)桿比熱為C,體密度為ρ，(2)

根據(jù)熱量守恒定律

即：

(3)化簡：上式兩邊乘以得令即其中此式即為一維熱傳導(dǎo)方程，中子擴(kuò)散，高頻電流分布均屬于此類方程。當(dāng)無熱源時方程為

三、三維熱傳導(dǎo)方程

傳熱問題→求物體內(nèi)溫度的分布。取一個閉曲面St時刻M點的溫度為

由Fourier實驗定律式中的負(fù)號表示熱量的流向與溫度梯度的正向相反。熱場sVMnΔs從時刻t1到t2通過曲面s流入?yún)^(qū)域v的熱量為從時刻t1到t2區(qū)域V內(nèi)溫度從到需要的熱量是

利用熱量守恒定律，得到

利用奧——高公式將左面的曲面積分化成體積分同時，右邊的體積分寫成tnen,onehasandYields

若物體內(nèi)有源，強度為F（x,y,z,t）,則Where一維熱傳導(dǎo)方程二維熱傳導(dǎo)方程對于恒定溫度場（物體的溫度處于平衡狀態(tài)，)此時場內(nèi)溫度滿足

四、擴(kuò)散方程擴(kuò)散現(xiàn)象：解決的問題是濃度u隨空間、時間的變化濃度梯度：濃度不均勻的程度擴(kuò)散流強度q：單位時間內(nèi)通過單位橫截面積的原子或分子數(shù)或質(zhì)量擴(kuò)散定律or負(fù)號表示擴(kuò)散的方向，濃度減小的方向。D為擴(kuò)散系數(shù)，與物質(zhì)和溫度的高低有關(guān)。利用擴(kuò)散定律和粒子數(shù)守恒定律導(dǎo)出擴(kuò)散方程取一小六面體如圖

單位時間內(nèi)x方向凈流入流量同理xzy根據(jù)粒子數(shù)守恒定律，六面體內(nèi)單位時間內(nèi)增加的粒子數(shù)=單位時間內(nèi)凈流入的粒子數(shù)三維擴(kuò)散方程若擴(kuò)散均勻，D為常數(shù)，則當(dāng)存在源或匯時，源若經(jīng)過一段時間，擴(kuò)散達(dá)到平衡狀態(tài)，則得到五、泊松方程1、物理模型：介電常數(shù)為ε，體電荷密度為ρ(x,y,z)的區(qū)域中的靜電場2、分析：靜電場是一種有勢場，即而是一標(biāo)量場（1）研究的問題：

勢函數(shù)V(x,y,z)滿足的方程（2）已知：ε=1，穩(wěn)恒場這里強調(diào)ε=1是因為由電動力學(xué)可知，當(dāng)時，應(yīng)考慮點位移矢量的情況；（3）方法：同上面3、建立方程（1）做一個封閉曲面S,

考慮曲面S內(nèi)的情況(2)由電學(xué)中的高斯定理通過曲面S的電通量等于曲面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和（3）化簡：由奧-高定理得

即

——〉泊松方程在泊松方程中若即為拉普拉斯方程故有源靜電場滿足無源靜電場滿足也可用靜電場的微分形式來推證：高斯定理的微分形式靜電場是無旋場