高等量子力學(xué)-chapter6

第六章二次量子化理論研究由全同粒子構(gòu)成的相互作用多粒子體系,二次量子化方法是一種有效的方法1.波函數(shù)的二次量子化表象考慮系統(tǒng)由N個(gè)相互作用的全同粒子組成相互作用能動(dòng)能含時(shí)Schrodinger方程引入單粒子力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)滿足正交歸一化和完備性條件各種不同單粒子函數(shù)的乘積構(gòu)成粒子態(tài)的完全集,任意一個(gè)粒子態(tài)可以展開(kāi)成全同粒子波函數(shù)具有對(duì)稱性對(duì)稱波函數(shù)(玻色子體系)反對(duì)稱波函數(shù)(費(fèi)米子體系)表示任意交換二個(gè)粒子坐標(biāo)時(shí),波函數(shù)必須是對(duì)稱的,或是反對(duì)稱的.由波函數(shù)的對(duì)稱性要求給出:展開(kāi)系數(shù)自身在交換相應(yīng)量子數(shù)時(shí),也必須是對(duì)稱或反對(duì)稱的(一)玻色子波函數(shù)是對(duì)稱的,引入對(duì)稱化函數(shù)乘積

為對(duì)處于不同量子態(tài)的粒子置換可以證明任意的對(duì)稱波函數(shù)可寫(xiě)成的線性組合函數(shù)的性質(zhì):它對(duì)下標(biāo)的任意一個(gè)置換是對(duì)稱的;可以用一組整數(shù)來(lái)標(biāo)記它,

其中表示在中遇到量子態(tài)1的次數(shù);

表示…

量子態(tài)2的次數(shù);

表示…量子態(tài)f的次數(shù);這組數(shù)稱為狀態(tài)占據(jù)數(shù)，函數(shù)完全被這組占據(jù)數(shù)確定

記函數(shù)為：占據(jù)數(shù)可取任意正整數(shù)但應(yīng)滿足一個(gè)條件:

(為總粒子數(shù))函數(shù)組對(duì)不同的占據(jù)數(shù)組是彼此正交的.歸一化后,得到一組正交歸一化對(duì)稱函數(shù)系對(duì)稱波函數(shù)可以按它們展開(kāi)這就是二次量子化表象,以占據(jù)數(shù)為自變量的函數(shù)是二次量子化表象中的波函數(shù).存在關(guān)系式:波函數(shù)的歸一化:可以把看作是系統(tǒng)處于某一特定單粒子態(tài)占據(jù)數(shù)分布狀態(tài)的幾率(二)費(fèi)米子波函數(shù)是反對(duì)稱的,引入反對(duì)稱化的函數(shù)乘積其中

為偶置換為奇置換這個(gè)函數(shù)可以表示成大家熟悉的行列式形式函數(shù)中有任意兩個(gè)函數(shù)相同,

則反對(duì)稱函數(shù)乘積恒等于0,因此下標(biāo)中沒(méi)有二個(gè)是相同的.

通過(guò)置換可使下標(biāo)按從小到大排列

任意一個(gè)反對(duì)稱波函數(shù)可以表示為用占據(jù)數(shù)組來(lái)表示

表示量子態(tài)在

中出現(xiàn)的次數(shù)由于各不相同,所以即在費(fèi)米統(tǒng)計(jì)情況下:并且每一個(gè)可能的占據(jù)數(shù)分布與函數(shù)一一對(duì)應(yīng)記對(duì)于不同的占據(jù)數(shù)組函數(shù)是正交的歸一化后,得到一組正交歸一化函數(shù)基:它們構(gòu)成反對(duì)稱波函數(shù)空間的完備基任意反對(duì)稱波函數(shù)可展開(kāi)為這是費(fèi)米子系統(tǒng)的二次量子化表象,展開(kāi)系數(shù)就是二次量子化表象中的波函數(shù)同樣有:

表示某一單粒子態(tài)分布出現(xiàn)的幾率既然,則,所以有與玻色統(tǒng)計(jì)中的關(guān)系式完全相似2.二次量子化表象中的Schrodinger方程（一）玻色子系統(tǒng)的二次量子化引入與時(shí)間無(wú)關(guān)的態(tài)矢量表示在量子態(tài)上有個(gè)粒子，在有個(gè)粒子，等等要求這組基矢是完備的和正交歸一化的，即引入與時(shí)間無(wú)關(guān)的產(chǎn)生算符和消滅算符（玻色子對(duì)易關(guān)系）這正是諧振子的產(chǎn)生和消滅算符的對(duì)易規(guī)則，它具有性質(zhì)：

是粒子數(shù)算符的本征態(tài)，本征值為（為真空態(tài)）推廣到無(wú)窮多個(gè)所有量子態(tài)的情況既占據(jù)數(shù)表象中基矢是某個(gè)量子態(tài)粒子數(shù)本征態(tài)的直接乘積下面考慮態(tài)矢量的滿足的Schrodinger方程，令寫(xiě)在x表象中即其中即為前面討論過(guò)的對(duì)稱歸一化基矢

滿足的方程方程對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系都包含在系數(shù)中通過(guò)求出所滿足的方程，最終可以得到Schrodinger方程的二次量子化形式

是占據(jù)數(shù)表象中的算符，它與產(chǎn)生算符和消滅算符有關(guān)，即是哈密頓量的二次量子化形式其中矩陣元是普通的c數(shù)其它任意力學(xué)量都可以在占據(jù)數(shù)表象中表示成算符形式例如，坐標(biāo)表象中，單體算符二體算符表示為二次量子化形式：引入所謂“量子化的波函數(shù)”

其實(shí)是Schrodinger場(chǎng)算符，則有用來(lái)表示力學(xué)量哈密頓算符哈氏量的上述形式指出了二次量子化這個(gè)名稱的來(lái)由．用幾率波描述粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們考慮了粒子的波粒二象性，進(jìn)行過(guò)一次量子化，現(xiàn)在將當(dāng)作場(chǎng)，又把它看成算符，相當(dāng)于又進(jìn)行了一次量子化．所以稱為二次量子化．（二）費(fèi)米子系統(tǒng)的二次量子化波函數(shù)反對(duì)稱類似于玻色子，引入抽象的占據(jù)數(shù)空間則這里，反映費(fèi)米子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

采用Jordan和Wigner方法，引入滿足反對(duì)易規(guī)則的產(chǎn)生和消滅算符（費(fèi)米子對(duì)易關(guān)系）這里性質(zhì)：，因此，制止兩個(gè)粒子占據(jù)同一狀態(tài)，因此粒子數(shù)算符具有本征值０或１直接可證使得集合可以同時(shí)對(duì)角化，使占據(jù)數(shù)態(tài)矢量的定義成為可能反對(duì)易規(guī)則給出升降算符的性質(zhì)定義消滅算符作用于這個(gè)態(tài)的效果其中而與玻色子系統(tǒng)類似,可以將Schrodinger方程用二次量子化表示為：＊注意哈密頓函數(shù)的最后兩個(gè)消滅算符的次序同樣可以引入費(fèi)米子系統(tǒng)的場(chǎng)算符則哈氏量可表示為注意勢(shì)能中最后二個(gè)場(chǎng)算符的次序，它保證了是厄密的．３．二次量子化應(yīng)用舉例（一）簡(jiǎn)并電子氣體將討論一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，它提供金屬或等離子體的一個(gè)粗略近似．考慮的系統(tǒng)是處于均勻正電背景中的相互作用電子氣體．正電背景保證整個(gè)系統(tǒng)是電中性的．系統(tǒng)總的哈密頓量其中是正電背景的粒子密度，為收斂因子最終?。畬?duì)于均勻正電背景，容易求出

由于庫(kù)侖長(zhǎng)程相互作用，在時(shí)發(fā)散利用平移不變性,也可以計(jì)算出因此，總哈密頓量為下面討論如何按二次量子化改寫(xiě)哈氏量選單粒子波函數(shù)為平面波自旋波函數(shù)箱歸一化，周期性邊界條件動(dòng)能項(xiàng)矩陣元?jiǎng)幽芩惴山忉尀槊總€(gè)量子態(tài)的動(dòng)能乘以相應(yīng)的粒子數(shù)算符對(duì)于勢(shì)能項(xiàng)，需要計(jì)算矩陣元最后一個(gè)Kronecker

表示均勻系統(tǒng)中的動(dòng)量守恒

可改寫(xiě)為動(dòng)量求和限制了對(duì)的求和，只有三個(gè)獨(dú)立變量而不是四個(gè)．作變量代換保證

且是兩粒子相互作用中的動(dòng)量轉(zhuǎn)移方程最后一項(xiàng)為將它分成和的兩項(xiàng)式中第一個(gè)求和號(hào)旁的一撇代表除去的項(xiàng)，第二個(gè)求和項(xiàng)等于處理粒子數(shù)固定的系統(tǒng)，算符可以用它的本征值代替．該項(xiàng)貢獻(xiàn)為第一項(xiàng)與中第一項(xiàng)抵消，而第二項(xiàng)在熱力學(xué)極限下可以忽略．最終得到二次量子化哈密頓量這里已取極限，且假設(shè)

引入無(wú)量綱變量先用每個(gè)粒子的體積來(lái)定義一個(gè)長(zhǎng)度

實(shí)質(zhì)是粒子間距．另有Bohr半徑這兩個(gè)量之比是無(wú)量綱的表征系統(tǒng)密度可以證明在高密度極限下（），勢(shì)能成為一個(gè)微擾，因此相互作用能可以用微擾論來(lái)計(jì)算將哈密頓量分成兩部分：

是無(wú)微擾哈密頓量，表示沒(méi)有相互作用的費(fèi)米系統(tǒng)，是微擾項(xiàng)．相應(yīng)基態(tài)能量

是自由Fermi氣體的基態(tài)能量是一級(jí)微擾能量由Pauli不相容原理，在每個(gè)動(dòng)量本征態(tài)上只容許占據(jù)一個(gè)自旋向上，一個(gè)自旋向下電子

的基態(tài)是一個(gè)動(dòng)量空間的一個(gè)Fermi球Fermi動(dòng)量

,

由系統(tǒng)總粒子數(shù)確定

的期待值在自由Fermi氣體中，每個(gè)粒子的平均基態(tài)能量是Fermi能的倍計(jì)算能量一級(jí)修正矩陣元不為0,要求消滅算符與產(chǎn)生算符配成對(duì),這只有二種可能性:or第一種配對(duì)是不允許的，因?yàn)樵谇蠛椭信懦?/p>

項(xiàng)，于是矩陣元為給出作變量代換化為對(duì)稱形式對(duì)積分有貢獻(xiàn)，要求和都小于，即和都在Fermi球內(nèi)．積分區(qū)域如圖所示陰影部分體積在高密度極限下，每個(gè)粒子基態(tài)能量近似為方程中第一項(xiàng)是Fermi電子氣體的動(dòng)能,在高密度極限下()成為主要項(xiàng).第二項(xiàng)通常稱為交換能,并且是負(fù)的,它來(lái)源于波函數(shù)的反對(duì)稱性.微擾展開(kāi)可以計(jì)算到更高級(jí)的項(xiàng)其中,及更高級(jí)系數(shù)的計(jì)算相當(dāng)困難,需用Green函數(shù)和費(fèi)曼圖方法現(xiàn)在僅考慮前兩項(xiàng),作為的函數(shù)

能量曲線有負(fù)的極小值,因此系統(tǒng)處于束縛態(tài)實(shí)驗(yàn)室條件下,金屬Na:當(dāng)考慮低密度極限()時(shí),Wigner證明:電子將構(gòu)成點(diǎn)陣結(jié)構(gòu),稱為”Wigner晶體”.這是由于與電子定域化相聯(lián)系的零點(diǎn)動(dòng)能遠(yuǎn)小于構(gòu)成點(diǎn)陣的電子靜電能.Wigner證明這種固體中每個(gè)粒子的能量為(Wigner晶體)(二)超導(dǎo)BCS理論超導(dǎo)現(xiàn)象是Kamerlingh

Onnes

在1911年發(fā)現(xiàn)的(1)超導(dǎo)現(xiàn)象Lead(Pb)

Lanthanum(La)

Tantalum(Ta)

Mercury(Hg)

Tin(Sn)

Indium(In)

7.196K

4.88K

4.47K

4.15K

3.72K

3.41K

3.3K

TcMeissnereffect（２）模型哈密頓量Bardeen-Cooper-Schrieff

提出超導(dǎo)體中電子系統(tǒng)哈密頓量為其中矩陣元若其它情況即假設(shè)動(dòng)能在費(fèi)米面兩側(cè)范圍內(nèi),并且具有相反動(dòng)量和自旋的一隊(duì)電子之間存在弱吸引力把矩陣元記為,則上式稱為BCS約化哈密頓量（３）BCS基態(tài)及變分法由于吸引相互作用，費(fèi)米海是不穩(wěn)定的，形成Cooper束縛對(duì)，基態(tài)由動(dòng)量和自旋相反的電子構(gòu)成對(duì)式中表示一對(duì)狀態(tài)被占據(jù)的幾率為,沒(méi)有占據(jù)的幾率為系數(shù)和可用變分法確定考慮巨正則系綜,基態(tài)自由能自由能極小記,即取動(dòng)能的零點(diǎn)為類似,相互作用項(xiàng)可直接計(jì)算證明此式.注意到相互作用項(xiàng)是從的狀態(tài)散射到的狀態(tài)過(guò)程,這就要求初態(tài)狀態(tài)被占據(jù),態(tài)空缺,末態(tài)恰好相反.這樣的初態(tài)的幾率振幅為

,末態(tài)則為,相乘得到上面的結(jié)果.因此取和為實(shí)數(shù),滿足約束條件