平穩(wěn)時(shí)序模型性質(zhì)

平穩(wěn)時(shí)序模型性質(zhì)第一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日自回歸過程的性質(zhì)第二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR模型平穩(wěn)性判別

判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的

第三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.1:考察如下四個(gè)模型的平穩(wěn)性第四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.1平穩(wěn)序列時(shí)序圖第五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.1非平穩(wěn)序列時(shí)序圖第六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或第七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：一個(gè)有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，AR(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外，于是有：第八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個(gè)特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價(jià)判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別

平穩(wěn)域第九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域第十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或第十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。第十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日注：我們下面對(duì)AR(2)性質(zhì)的討論中都假定平穩(wěn)性條件滿足第十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-202-101實(shí)根復(fù)根AR(2)過程的平穩(wěn)性區(qū)域如下圖三角域所示第十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域第十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)第十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日p階自回歸過程AR(p)p階自回歸模型的形式為：或第十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型總是可逆的。即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它們的絕對(duì)值|βi|>1第十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日其實(shí)也就是要求特征方程的特征根都在單位圓內(nèi)。即如果λ1，λ2…λp是上述特征方程的p個(gè)特征根，那么為滿足平穩(wěn)性條件，必須有|λi|<1注：下面對(duì)AR(p)性質(zhì)的討論，都假定平穩(wěn)性條件滿足。第二十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日對(duì)于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條件之一。第二十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)第二十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出第二十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日Green函數(shù)定義AR模型的傳遞形式其中系數(shù)稱為Green函數(shù)第二十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日Green函數(shù)遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式第二十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得第二十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差第二十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式第二十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(1)過程第二十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為第三十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為第三十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式第三十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型第三十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復(fù)指數(shù)衰減第三十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)第三十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第三十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第三十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第三十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過程平穩(wěn)即時(shí)，AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。如果，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果，自相關(guān)系數(shù)的符號(hào)以負(fù)號(hào)開始，并呈正、負(fù)交替逐漸衰減。第三十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5—自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零第四十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-6-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(1)過程趨勢(shì)圖第四十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—第四十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-6-4-2024682848688909294969800Y模擬生成的AR(1)過程趨勢(shì)圖第四十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)第四十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第四十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第四十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第四十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，在AR(2)過程的平穩(wěn)性條件滿足時(shí)，如果特征方程的根為實(shí)根，即時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復(fù)根，即時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減。第四十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性第四十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減第五十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF第五十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第五十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上述推導(dǎo)有如下結(jié)論：對(duì)于平穩(wěn)過程，有|λi|<1，AR(p)過程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或出現(xiàn)復(fù)根時(shí)的阻尼正弦波衰減。第五十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日偏自相關(guān)系數(shù)定義對(duì)于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后，對(duì)影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語言描述就是第五十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式第五十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實(shí)際上就等于k階自回歸模型第個(gè)k回歸系數(shù)的值。第五十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第五十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第五十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第五十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第六十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)第六十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日上述結(jié)論說明：AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號(hào)取決于。滯后一階以后PACF截尾。第六十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾第六十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)第六十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第六十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上述證明可以得出如下結(jié)論：第六十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖第六十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第六十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第六十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第七十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢(shì)圖第七十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖第七十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-6-4-2024682848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢(shì)圖第七十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF第七十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日可以很容易地看出，當(dāng)k>p時(shí)，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當(dāng)k>p時(shí),有φkk=0。所以，AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)滯后p階截尾。第七十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日移動(dòng)平均過程的性質(zhì)第七十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型第七十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式第七十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)第七十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日可逆的定義可逆MA模型定義若一個(gè)MA模型能夠表示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型可逆概念的重要性一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA模型。第八十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日可逆MA(1)模型

第八十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的可逆條件MA(q)模型的可逆條件是：MA(q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)等價(jià)條件是移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外第八十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0

的根必須在單位圓外。第八十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日注：以后對(duì)MA(1)過程性質(zhì)的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|θ1|<1。第八十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(2)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(2)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性,的根必須在單位圓外。第八十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第八十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動(dòng)平均過程MA(q)總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，的根必須在單位圓外。第八十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日對(duì)于高階的移動(dòng)平均過程，其可逆性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是移動(dòng)平均過程可逆的必要條件之一。第八十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日逆函數(shù)的遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式第八十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.6續(xù):考察如下MA模型的可逆性第九十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日(1)—(2)

逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式第九十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日(3)—(4)

逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式第九十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)方差第九十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)自協(xié)方差函數(shù)P階截尾自相關(guān)系數(shù)P階截尾第九十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日常用MA模型的自相關(guān)系數(shù)MA(1)模型MA(2)模型第九十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF第九十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第九十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第九十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖：第九十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖：第一百零一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百零二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(2)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF第一百零三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百零四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百零五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)(ACF)第一百零六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日因而：MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是滯后q階截尾的。第一百零七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.6:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)第一百零八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

第一百零九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

第一百一十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)拖尾第一百一十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日樣本偏自相關(guān)函數(shù)（SPACF）樣本偏自相關(guān)函數(shù)有如下遞推公式：第一百一十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF我們介紹了求偏自相關(guān)的遞推公式如下：第一百一十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百一十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日由上推導(dǎo)可得出如下結(jié)論：在可逆性條件滿足情況下,MA(1)過程的PACF呈指數(shù)拖尾。如果θ1>0,那么PACF都為負(fù)，且呈指數(shù)衰減；如果θ1<0,那么PACF正負(fù)交替呈指數(shù)衰減。第一百一十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)第一百一十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日對(duì)于MA(2)過程，我們有如下結(jié)論：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是實(shí)數(shù)，則φkk是兩個(gè)衰減指數(shù)的和；如果其根是復(fù)數(shù)，則φkk

是一衰減的正弦波。第一百一十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是很困難的，但是從前面我們對(duì)MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是由的根確定的，呈混合指數(shù)衰或阻尼正弦波衰減。第一百一十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第一百一十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第一百二十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日自回歸移動(dòng)平均過程的性質(zhì)第一百二十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型第一百二十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式第一百二十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA(1,1)的性質(zhì)第一百二十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性第一百二十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日2.ARMA(1,1)過程的ACF第一百二十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百二十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百二十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有AR(1)過程和MA(1)過程的組合特性。當(dāng)k=1時(shí)，自相關(guān)系數(shù)由φ1和θ1共同決定。當(dāng)k≥2時(shí)，自相關(guān)系數(shù)僅取決于φ1即差分方程φ(B)=0的根，呈指數(shù)衰減。第一百二十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是呈指數(shù)衰減，不過指數(shù)衰減的形態(tài)由φ1和θ1共同決定，因此指數(shù)衰減的形態(tài)比MA(1)過程PACF指數(shù)衰減形式更多。第一百三十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日平穩(wěn)條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件P階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定ARMA(p,q)模型的可逆條件q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動(dòng)平滑部分的可逆性決定第一百三十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日傳遞形式與逆轉(zhuǎn)形式傳遞形式逆轉(zhuǎn)形式第一百三十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA(p,q)