單因子方差分析

第八章

方差分析與回歸分析

§8.1

方差分析§8.2

多重比較§8.3

方差齊性分析§8.4

一元線性回歸§8.5

一元非線性回歸

§8.1

單因子方差分析8.1.1

問題的提出

實(shí)際工作中我們經(jīng)常碰到多個(gè)正態(tài)總體均值的比較問題，處理這類問題通常采用所謂的方差分析方法。

例8.1.1

在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出三種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以槐樹粉為主的飼料，A3是以苜蓿粉為主的飼料。為比較三種飼料的效果，特選24只相似的雛雞隨機(jī)均分為三組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量。試驗(yàn)結(jié)果如下表所示：

表8.1.1

雞飼料試驗(yàn)數(shù)據(jù)

飼料A雞重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048本例中，我們要比較的是三種飼料對(duì)雞的增肥作用是否相同。為此，把飼料稱為因子，記為A，三種不同的配方稱為因子A的三個(gè)水平，記為A1,A2,A3，使用配方Ai下第j只雞60天后的重量用yij表示，i=1,2,3,

j=1,2,,8。我們的目的是比較三種飼料配方下雞的平均重量是否相等，為此，需要做一些基本假定，把所研究的問題歸結(jié)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題，然后用方差分析的方法進(jìn)行解決。

8.1.2

單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型

在例8.1.1中我們只考察了一個(gè)因子，稱其為單因子試驗(yàn)。

通常，在單因子試驗(yàn)中，記因子為A,設(shè)其有r個(gè)水平，記為A1,A2,…,Ar，在每一水平下考察的指標(biāo)可以看成一個(gè)總體，現(xiàn)有r個(gè)水平，故有r個(gè)總體，

假定：每一總體均為正態(tài)總體，記為N(i

,

i2)，

i＝1,2,…,r；各總體的方差相同:1

2=22=…=

r2=

2

；從每一總體中抽取的樣本是相互獨(dú)立的，即所有的試驗(yàn)結(jié)果yij

都相互獨(dú)立。

我們要比較各水平下的均值是否相同,

即要對(duì)如下的一個(gè)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn):H0

：1

=2=…=r

（8.1.1）

備擇假設(shè)為H1

：1,2,…,r

不全相等在不會(huì)引起誤解的情況下，H1通常可省略不寫。如果H0成立，因子A的r個(gè)水平均值相同，稱因子A的r個(gè)水平間沒有顯著差異，簡稱因子A不顯著；反之，當(dāng)H0不成立時(shí)，因子A的r個(gè)水平均值不全相同，這時(shí)稱因子A的不同水平間有顯著差異，簡稱因子A顯著。

為對(duì)假設(shè)（8.1.1）進(jìn)行檢驗(yàn)，需要從每一水平下的總體抽取樣本，設(shè)從第i個(gè)水平下的總體獲得m個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，記yij

表示第i個(gè)總體的第j次重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果。共得如下n=rm個(gè)試驗(yàn)結(jié)果：yij，

i＝1,2,…,r，j＝1,2,…,m,

其中r為水平數(shù)，m為重復(fù)數(shù)，i為水平編號(hào)，

j為重復(fù)編號(hào)。

在水平Ai下的試驗(yàn)結(jié)果yij與該水平下的指標(biāo)均值i一般總是有差距的，記ij

=yiji，

ij

稱為隨機(jī)誤差。于是有

yij

=

i+ij

（8.1.2）（8.1.2）式稱為試驗(yàn)結(jié)果yij

的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式。

單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型：（8.1.3）

總均值與效應(yīng):

稱諸i的平均為總均值.

稱第i水平下的均值i與總均值

的差:

ai=i-為Ai的效應(yīng)。

模型（8.1.3）可以改寫為

(8.1.8)

假設(shè)（8.1.1）可改寫為

H0

：a1

=a2=…=ar=0（8.1.9）

8.1.3

平方和分解

一、試驗(yàn)數(shù)據(jù)通常在單因子方差分析中可將試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成如下頁表格形式。表8.1.2中的最后二列的和與平均的含義如下：表8.1.2

單因子方差分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)

因子水平

試驗(yàn)數(shù)據(jù)

和

平均

A1y11

y12

…y1mT1A2y21

y22

…y2mT2┆┆┆┆Aryr1

yr2

…yrmTrT數(shù)據(jù)間是有差異的。數(shù)據(jù)yij與總平均間的偏差可用yij

表示，它可分解為二個(gè)偏差之和（8.1.10）記二、組內(nèi)偏差與組間偏差由于（8.1.11）所以yij-僅反映組內(nèi)數(shù)據(jù)與組內(nèi)平均的隨機(jī)誤差，稱為組內(nèi)偏差；而（8.1.12）除了反映隨機(jī)誤差外，還反映了第i個(gè)水平的效應(yīng)，稱為組間偏差。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把k個(gè)數(shù)據(jù)y1,y2,…,yk分別對(duì)其均值=(y1+…+yk

)/k的偏差平方和稱為k個(gè)數(shù)據(jù)的偏差平方和，它常用來度量若干個(gè)數(shù)據(jù)分散的程度。三、偏差平方和及其自由度在構(gòu)成偏差平方和Q的k個(gè)偏差y1

,…,yk

間有一個(gè)恒等式，這說明在Q中獨(dú)立的偏差只有k1個(gè)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中把平方和中獨(dú)立偏差個(gè)數(shù)稱為該平方和的自由度，常記為f，如Q的自由度為fQ=k1。自由度是偏差平方和的一個(gè)重要參數(shù)。

各yij間總的差異大小可用總偏差平方和

表示，其自由度為fT=n1；

四、總平方和分解公式僅由隨機(jī)誤差引起的數(shù)據(jù)間的差異可以用組內(nèi)偏差平方和表示，也稱為誤差偏差平方和，其自由度為fe=nr；由于組間差異除了隨機(jī)誤差外，還反映了效應(yīng)間的差異，故由效應(yīng)不同引起的數(shù)據(jù)差異可用組間偏差平方和表示，也稱為因子A的偏差平方和，其自由度為fA=r1；

定理8.1.1

在上述符號(hào)下，總平方和ST可以分解為因子平方和SA與誤差平方和Se之和，其自由度也有相應(yīng)分解公式，具體為：

ST=SA+Se,fT=fA+fe

（8.1.16）（8.1.16）式通常稱為總平方和分解式。

分析其中偏差平方和Q的大小與自由度有關(guān)，為了便于在偏差平方和間進(jìn)行比較，統(tǒng)計(jì)上引入了均方和的概念，它定義為MS=Q/fQ

，其意為平均每個(gè)自由度上有多少平方和，它比較好地度量了一組數(shù)據(jù)的離散程度。如今要對(duì)因子平方和SA與誤差平方和Se之間進(jìn)行比較，用其均方和MSA=SA

/fA

，MSe=Se

/fe

進(jìn)行比較更為合理，故可用作為檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量。8.1.4檢驗(yàn)方法(2)，進(jìn)一步，若H0成立，則有SA/

2~

2(r1)定理8.1.2

在單因子方差分析模型(8.1.8)及前述符號(hào)下，有(1)

Se/

2~

2(nr)，從而E(Se)

＝(nr)

2(3)SA與Se獨(dú)立。分析(1)自由度(2)當(dāng)成立時(shí)，顯然(3)注意到與諸獨(dú)立為諸的函數(shù)故SA與Se獨(dú)立。由定理8.1.2，若H0成立，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F服從自由度為fA和fe的F分布，因此拒絕域?yàn)閃={FF1(fA

,fe)}，通常將上述計(jì)算過程列成一張表格，稱為方差分析表。表8.1.3

單因子方差分析表來源平方和自由度均方和F比因子SAfA=r1MSA=SA/fAF＝MSA/MSe誤差Sefe=nrMSe=Se/fe總和STfT=n1對(duì)給定的，可作如下判斷：若F

F1(fA

,fe)

，則說明因子A不顯著。該檢驗(yàn)的p值也可利用統(tǒng)計(jì)軟件求出，若以Y記服從F(fA

,fe)的隨機(jī)變量，則檢驗(yàn)的

p值為p=P(YF)。如果F>F1(fA

,fe)，則認(rèn)為因子A顯著；常用的各偏差平方和的計(jì)算公式如下：

（8.1.19）

一般可將計(jì)算過程列表進(jìn)行。

例8.1.2

采用例8.1.1的數(shù)據(jù)，將原始數(shù)據(jù)減去1000，列表給出計(jì)算過程：表8.1.4例8.1.2的計(jì)算表水平數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)-1000）TiTi2A17396012129281943763610024A210792-101099074122158534222560355A3932980212232294835412531620984113350517791363利用(8.1.19)，可算得各偏差平方和為：把上述諸平方和及其自由度填入方差分析表表8.1.5例8.1.2的方差分析表

來源平方和自由度均方和F比因子9660.083324830.04173.5948

誤差28215.9584211343.6171總和37876.041723若取=0.05，則F0.95

(2

,21)=3.47

，由于F=3.5948>3.47，故認(rèn)為因子A（飼料）是顯著的，即三種飼料對(duì)雞的增肥作用有明顯的差別。

8.1.5參數(shù)估計(jì)

在檢驗(yàn)結(jié)果為顯著時(shí)，我們可進(jìn)一步求出總均值

、各主效應(yīng)ai和誤差方差2的估計(jì)。

一、點(diǎn)估計(jì)由模型(8.1.8)知諸yij相互獨(dú)立，且yij~N(+ai

,2)

，因此，可使用極大似然方法求出一般平均

、各主效應(yīng)ai和誤差方差2的估計(jì):由極大似然估計(jì)的不變性，各水平均值i的極大似然估計(jì)為，由于不是2的無偏估計(jì)，可修偏：

由于，可給出Ai的水平均值i的1-的置信區(qū)間為

其中。

二、置信區(qū)間例8.1.3

繼續(xù)例8.1.2，此處我們給出諸水平均值的估計(jì)。因子A的三個(gè)水平均值的估計(jì)分別為從點(diǎn)估計(jì)來看，水平2（以槐樹粉為主的飼料）是最優(yōu)的。

誤差方差的無偏估計(jì)為利用(8.1.23)可以給出諸水平均值的置信區(qū)間。此處，，若?。?.05

，則t1-

/2(fe

)=t0.95(21

)=2.0796，，于是三個(gè)水平均值的0.95置信區(qū)間分別為在單因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析中可得到如下三個(gè)結(jié)果：

因子是否顯著；

試驗(yàn)的誤差方差2的估計(jì)；

諸水平均值i的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。

在因子A顯著時(shí)，通常只需對(duì)較優(yōu)的水平均值作參數(shù)估計(jì)，在因子A不顯著場合，參數(shù)估計(jì)無需進(jìn)行。8.1.6重復(fù)數(shù)不等情形單因子方差分析并不要求每個(gè)水平下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)全相等，在重復(fù)數(shù)不等場合的方差分析與重復(fù)數(shù)相等情況下的方差分析極為相似，只在幾處略有差別。

數(shù)據(jù)：設(shè)從第i個(gè)水平下的總體獲得mi個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，記為yi1

,yi2…,yim

，i=1,2,…r，統(tǒng)計(jì)模型為：

（8.1.24）

總均值：諸i的加權(quán)平均（所有試驗(yàn)結(jié)果的均值的平均）（8.1.25）稱為總均值或一般平均。

效應(yīng)約束條件：

各平方和的計(jì)算：SA的計(jì)算公式略有不同

例8.1.4

某食品公司對(duì)一種食品設(shè)計(jì)了四種新包裝。為考察哪種包裝最受顧客歡迎，選了10個(gè)地段繁華程度相似、規(guī)模相近的商店做試驗(yàn)，其中二種包裝各指