D3-4單調(diào)性極值與最值

第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的單調(diào)性與極值

第三章三、最大值與最小值問題觀察機動目錄上頁下頁返回結(jié)束能否用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性?問一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理證例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束討論函數(shù)單調(diào)性的步驟:P131例2.

證明時,成立不等式證:

令從而因此且證證明目錄上頁下頁返回結(jié)束例3：證明令則從而即證明思考與練習上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)的極值定義:在其中當時,(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點

.注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為

0

或

不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點,是極大值是極小值為極小點,定理2

(第一充分條件)且在空心鄰域內(nèi)有導數(shù),(1)(2)(3)自證例4.

求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求極值可疑點令得令得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為定理3(第二充分條件)二階導數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一充分條件知(2)類似可證.例5.

求函數(shù)的極值.解:

1)求導數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.定理4

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當為偶數(shù)時,是極小點;是極大點.2)當為奇數(shù)時,為極值點,且不是極值點.當充分接近時,上式左端正負號由右端第一項確定,故結(jié)論正確.證:利用在點的泰勒公式,可得例如

,

例2中所以不是極值點.極值的判別法(定理2~

定理4)都是充分的.說明:當這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理2~定理4的條件.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:所以是原方程所確定函數(shù)的極小值點三、函數(shù)的最值則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(2)

最大值最小值例7.

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此也可通過例7.

求函數(shù)說明:求最值點.與最值點相同,由于令(自己練習)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束情形1:

當在上單調(diào)時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)(小)

當在一個區(qū)間(有限或無窮,開或閉)內(nèi)可導且只有一個駐點且是的極值點,情形2:

對應用問題,有時可根據(jù)實際意義判別可導函數(shù)確有最大(小)值,且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得.這時如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點可斷定是最大值或最小值.例8.

做半徑為R的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時其體積最小，最小值是多少？解:

球的外切正圓錐如圖，設圓錐底半徑為r，高為h,其體積為Rrh例11.一頂角為解:

設t時刻水深為h(t),(如圖）水面上升得最快，的正圓錐形容器，頂在下，底面處在水平位置，里面有b升水，從某一時刻開始往容器中注水，從開始經(jīng)過t秒，注入的水量為升，（a,b為正常數(shù)），問何時水面上升的速度最快？h(t)t時刻容器內(nèi)水的體積內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣(Th.4)定理3目錄上頁下頁返回結(jié)束最值點應在極值點和邊界點上找;應用題可根據(jù)問題的實際意義判別.思考與練習2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設則在點a

處().的導數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

設在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導;(B)可導,且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

設是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A機動目錄上頁下頁返