自適應(yīng)第一章預(yù)備知識

第一章預(yù)備知識范數(shù)（研究算法收斂性、穩(wěn)定性的重要工具）穩(wěn)定性理論（模型參考自適應(yīng)的理論基礎(chǔ)）平穩(wěn)隨機(jī)過程（隨機(jī)自適應(yīng)控制）1.1范數(shù)一、向量的范數(shù)歐氏范數(shù)：若（n維實(shí)向量空間），則范數(shù)的基本性質(zhì)（充分必要條件）①非負(fù)性：若，則；②奇次性：對任何實(shí)數(shù)α和任意向量x，有

③三角不等式：對任意向量x和y，恒有范數(shù)的幾何意義：向量的長度（向量終點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離）（兩邊之和大于第三邊）性質(zhì)：（兩邊之差小于第三邊）向量范數(shù)收斂性：設(shè)是中的向量序列，有限向量，則稱收斂于x,記為。如果當(dāng)時，收斂的充要條件：證：要求即例：求向量序列，k=1,2,‥‥的收斂性向量解：P范數(shù)（記為）：其中p≥1三種：①，歐氏范數(shù)，簡記為②③，可證明向量范數(shù)收斂一致性：如果向量序列對某一種范數(shù)收斂，且極限為x，則對于其它范數(shù)，這個序列仍然收斂，并且有相同的極限。例：若則范數(shù)（時間函數(shù)u(t)）:三種：②p=2，若，稱L1存在，u(t)為絕對可積，記為u(t)∈L1①p=1，若，稱L2存在，u(t)為平方可積，記為u(t)∈L2③p=∞，（極值）若，稱L∞存在，u(t)為有界，記為u(t)∈L∞定理：若，，則證：截尾函數(shù)：基本性質(zhì)（充分必要條件）①非負(fù)性：若，則；②奇次性：對任何實(shí)數(shù)α，有

③三角不等式：對任意A和B，恒有二、矩陣的范數(shù)定義：其中A為m*n矩陣，x為任意n*1向量矩陣范數(shù)相容性：若某矩陣范數(shù)對任意m*n矩陣A和n*l矩陣B恒有，則稱該矩陣范數(shù)是相容的。三種矩陣范數(shù)：①列和范數(shù)：可證明列向量絕對值和的最大者②行和范數(shù)：行向量絕對值和的最大者②譜范數(shù)：表示矩陣的最大特征值例：驗(yàn)證列和范數(shù)的相容性。解：任取25回憶：特征值、特征向量：方陣A的特征值x：對應(yīng)于特征值λ的特征向量其中A為n*n方陣，x為n維非零向量求特征值的方法：代入x正交矩陣：特點(diǎn)：正半定矩陣：若，對任意向量x，有則稱A為正半定矩陣，記為正定矩陣：若，對任意不為0的向量x，有，則稱A為正定矩陣，記為特點(diǎn)：①②③④對稱矩陣A為正定的充要條件：A的各階主子式為正。…例：判斷矩陣的正定性。解：矩陣分解定理：設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，則必有正交矩陣P，使為對角矩陣其中是A的特征值1.2動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論系統(tǒng)狀態(tài)方程：其中：x(t)為n維狀態(tài)向量（即狀態(tài)方程的解）已知：為初始時間的初始值簡寫為系統(tǒng)分類：時變：時不變：與時間無關(guān)非線性：線性：線性時不變：其中A為常數(shù)矩陣系統(tǒng)的平衡點(diǎn)：對任意一般取：（原點(diǎn)）任意一個平衡狀態(tài)可以通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)。無外力作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)將永遠(yuǎn)處于這個平衡狀態(tài)，如果有外力作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)是否還能處在這個平衡狀態(tài)附近？還是偏離平衡狀態(tài)愈來愈遠(yuǎn)？這就是下面要討論的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題一、穩(wěn)定性定義李雅普諾夫意義下：的平衡點(diǎn)為，如果對于所有和，都存在一個實(shí)數(shù)使得當(dāng)時，恒有，則稱是穩(wěn)定的。所謂穩(wěn)定，即當(dāng)系統(tǒng)受到較小的初始擾動后，系統(tǒng)的運(yùn)動軌線不會偏離平衡點(diǎn)很遠(yuǎn)。李雅普諾夫穩(wěn)定性示意圖漸進(jìn)穩(wěn)定：，恒有。即全局漸進(jìn)穩(wěn)定：對所有，恒有。一致穩(wěn)定：的選擇不依賴于，穩(wěn)定性和時間初值無關(guān)。指數(shù)穩(wěn)定性：有其中：（為以原點(diǎn)為圓心，以h為半徑的球體），二、李氏穩(wěn)定性定理1、函數(shù)正定性正半定函數(shù)：某些狀態(tài)為零，其他狀態(tài)且在（為0狀態(tài)唯一）正定函數(shù)：連續(xù)函數(shù)對任意（為0狀態(tài)非唯一）局部正定：（有范圍）特點(diǎn)：①-v(x)正定v(x)負(fù)定稱②-v(x)正半定v(x)負(fù)半定稱例：分析函數(shù)正定性解：∴正定解：∴局部正定2、李氏穩(wěn)定性定理V(X,t)稱為李氏函數(shù)（選取并非唯一）試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：1、求平衡點(diǎn)。令為唯一平衡點(diǎn)2、選取李氏函數(shù)：3、求導(dǎo)：代入化簡3線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性定理線性定常系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處為全局漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實(shí)對稱矩陣P，有一個正定實(shí)證：1、選為李氏函數(shù)，其中P>0且實(shí)對稱?！鄕≠0時v(x)>0正定。2、求導(dǎo)對稱矩陣Q存在，使∴得證構(gòu)造李氏函數(shù)方法：判斷穩(wěn)定性方法：2、判斷P的正定性。3、P>0，則穩(wěn)定。例：設(shè)線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：∴∴系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。李氏函數(shù)：驗(yàn)證一下：代入化簡得：三、正實(shí)函數(shù)和有關(guān)定理（正實(shí)性概念源于電路中的無源網(wǎng)絡(luò)）定義：M(s)正實(shí)須滿足1、M(s)在開的右半平面上沒有極點(diǎn)嚴(yán)正實(shí)函數(shù)：1、M(s)在閉的右半平面上沒有極點(diǎn)例：分析函數(shù)正實(shí)性解：∴嚴(yán)正實(shí)解：∴不是正實(shí)最小實(shí)現(xiàn)：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程其中A、B完全可控，A、c完全可測，此狀態(tài)方程對應(yīng)的傳函，則稱是M(s)的最小實(shí)現(xiàn)。正實(shí)引理：若為M(s)的最小實(shí)現(xiàn)，則M(s)為嚴(yán)正實(shí)函數(shù)的充要條件是存在對稱正定矩陣P、Q，使得成立。巴巴拉定理：若f(t)一致連續(xù)，且存在且有界，則當(dāng)t→∞時，f(t)→0。1.3平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)變量：離散型：連續(xù)型：概率分布：特點(diǎn)：特點(diǎn)：分布函數(shù)：連續(xù)型：數(shù)學(xué)期望（均值）：記為E(x)離散型：連續(xù)型：性質(zhì)：1.2.3.4.已知概率分布表：例：求期望E(x)。解：例：均勻分布求期望E(x)。解：函數(shù)的期望：已知X的概率密度離散型：pi連續(xù)型：p(x)，Y是X的函數(shù)，Y=f(x)，隨機(jī)過程X(t)：隨時間而變化的隨機(jī)變量，即的集合構(gòu)成了隨機(jī)過程。某接收機(jī)的噪聲電壓X(t)不同情況下意義：1.t、i可變：一個時間函數(shù)族。2.t可變，i固定：一個時間函數(shù)。3.t固定，i可變：一個隨機(jī)變量。4.t、i固定：一個確定值。隨機(jī)過程的分布函數(shù)：一維分布函數(shù)：隨機(jī)過程在t1時刻隨機(jī)變量X(t1)的分布函數(shù)，只能描述隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性。二維分布函數(shù)：n維分布函數(shù)：t1、t2時刻隨機(jī)變量的分布函數(shù)，表示兩個時刻的統(tǒng)計關(guān)系。t1、t2、…、tn時刻隨機(jī)變量的分布函數(shù)；，全面反映統(tǒng)計特性。隨機(jī)過程的概率密度：一維概率密度：二維概率密度：n維概率密度：一、平穩(wěn)隨機(jī)過程（簡稱平穩(wěn)過程）定義：如果X(t)的n維分布函數(shù)不隨時間起點(diǎn)的選擇的不同而改變，即對于任意的n和h，有則X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。平穩(wěn)過程性質(zhì)：平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)與時間無關(guān)。證：令h=-t1二維分布函數(shù)只與有關(guān)證：n=2:隨機(jī)過程的數(shù)字特征：意義：隨機(jī)過程X(t)的所有樣本函數(shù)在時刻t的函數(shù)值均值。（均方值函數(shù)）（方差函數(shù)）意義：隨機(jī)過程X(t)的諸樣本函數(shù)對于均值的偏離程度。均值和方差是描述隨機(jī)過程在各個孤立時刻的數(shù)字特征。用來定義。3、二階原點(diǎn)混合矩（自相關(guān)函數(shù)）之間的相關(guān)程度。例：若一個隨機(jī)過程由圖所示的四條樣本函數(shù)組成，并且每條樣本函數(shù)出現(xiàn)的概率相同，求、。i

123412635421解：4、二階中心混合矩（自協(xié)方差函數(shù)）性質(zhì)：①證：②若t1=t2=t，則平穩(wěn)過程的數(shù)字特征特點(diǎn)：寬平穩(wěn)過程：嚴(yán)平穩(wěn)過程：判斷以下說法正確與否：①寬平穩(wěn)過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。②嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程。二、各態(tài)歷經(jīng)性（對平穩(wěn)過程而言）時間均值：（對一個樣本函數(shù)而言）均值各態(tài)歷經(jīng)性：統(tǒng)計均值（對隨機(jī)過程（很多樣本函數(shù)）而言）例：在穩(wěn)定狀態(tài)下工作的一個噪聲二極管，在較長時間T內(nèi)觀察它的電壓，我們將T分成k等分（這個k相當(dāng)大），測量每個時間分點(diǎn)上的電壓值，得到k個電壓值，這k個值的算術(shù)平均值近似等于電壓關(guān)于時間的平均值。又假設(shè)另有k個完全相同的二極管，工作在完全相同的條件下，我們?nèi)我膺x擇某一個固定時刻，測得這些二極管在該時刻的電壓，并求出其統(tǒng)計平均值。若T→∞，k→∞：時間均值＝統(tǒng)計均值，則為各態(tài)歷經(jīng)性。時間相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性：平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)過程：均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性。物理意義：一個樣本函數(shù)幾乎必須經(jīng)歷其它樣本函數(shù)所具有的各種狀態(tài)，一個樣本函數(shù)可以代表整個隨機(jī)過程。即趨近于代替代替趨近于三、平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)意義：平穩(wěn)過程的均方值可以由自相關(guān)函數(shù)令時得到。4、周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必是周期為T0的函數(shù)。四、譜密度函數(shù)及其性質(zhì)傅氏積分定理：若連續(xù)函數(shù)x(t)有(絕對可積)則x(t)的傅氏變換：傅氏逆變換：單位脈沖函數(shù)（δ）：性質(zhì)：1、

δ的傅氏變換：意義：δ(t)和1是一對傅氏變換對。即有：1、總能量的譜表示式（巴賽瓦等式）2、平均功率的譜表示式平均功率（有限值）：X(t)的截尾函數(shù)：（絕對可積）對隨機(jī)過程來說，x(t)無限延伸，總能量是無限的，且X(t)不是絕對可積的。取代取代巴賽瓦等式中用平均功率的譜表示式：3、平穩(wěn)過程的平均功率的譜表示式取均