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文檔簡(jiǎn)介

長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年湖南工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.已知下列命題(其中a,b為直線,α為平面):

①若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線,則這條直線與這個(gè)平面垂直;

②若一條直線平行于一個(gè)平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面;

③若a∥α,b⊥α,則a⊥b;

④若a⊥b,則過b有且只有一個(gè)平面與a垂直.

上述四個(gè)命題中,真命題是()A.①,②B.②,③C.②,④D.③,④答案:①平面內(nèi)無數(shù)條直線均為平行線時(shí),不能得出直線與這個(gè)平面垂直,將“無數(shù)條”改為“所有”才正確;故①錯(cuò)誤;②垂直于這條直線的直線與這個(gè)平面可以是任何的位置關(guān)系,有可能是平行、相交、線在面內(nèi),故②錯(cuò)誤.③若a∥α,b⊥α,則必有a⊥b,正確;④若a⊥b,則過b有且只有一個(gè)平面與a垂直,顯然正確.故選D.2.函數(shù)y=x2x4+9(x≠0)的最大值為______,此時(shí)x的值為______.答案:y=x2x4+9=1x2+9x2≤129=16,當(dāng)且僅當(dāng)x2=9x2,即x=±3時(shí)取等號(hào).故為:16,

±33.若圖中的直線l1,l2,l3的斜率為k1,k2,k3則()

A.k1<k2<k3

B.k3<k1<k2

C.k2<k1<k3

D.k3<k2<k1

答案:C4.“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P),某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M),故此奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)”,上述推理是()

A.小前提錯(cuò)

B.結(jié)論錯(cuò)

C.正確的

D.大前提錯(cuò)答案:C5.點(diǎn)(1,2)到原點(diǎn)的距離為()

A.1

B.5

C.

D.2答案:C6.如果方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0(a∈R)有實(shí)數(shù)解,求a的值.答案:設(shè)方程的實(shí)根為x0,則方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0可化為(x20-2ax0+5)+(x20-2x0-3)i=0由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得x20-2ax0+5=0①x20-2x0-3=0

②由②得x0=3或-1,代入①得a=73或-3∴a=73或-37.節(jié)假日時(shí),國(guó)人發(fā)手機(jī)短信問候親友已成為一種時(shí)尚,若小李的40名同事中,給其發(fā)短信問候的概率為1,0.8,0.5,0的人數(shù)分別是8,15,14,3(人),通常情況下,小李應(yīng)收到同事問候的信息條數(shù)為()

A.27

B.37

C.38

D.8答案:A8.命題“若A∪B=A,則A∩B=B”的否命題是()A.若A∪B≠A,則A∩B≠BB.若A∩B=B,則A∪B=AC.若A∩B≠A,則A∪B≠BD.若A∪B=B,則A∩B=A答案:“若A∪B=A,則A∩B=B”的否命題:“若A∪B≠A則A∩B≠B”故選A.9.以橢圓x23+y2=1的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為______.答案:∵橢圓x23+y2=1的右焦點(diǎn)F(2,0),∴以F(2,0)為焦點(diǎn),頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=42x.故為:y2=42x.10.若點(diǎn)(2,-2)在圓(x-a)2+(y-a)2=16的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.-2<a<2

B.0<a<2

C.a(chǎn)<-2或a>2

D.a(chǎn)=±2答案:A11.各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an},滿足a1=1,an+12-an2=2.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)證明1a1+1a2+…+1an≤2n-1對(duì)一切n∈N+恒成立.答案:(Ⅰ)∵an+12-an2=2,∴an2為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,∴an2=1+(n-1)×2=2n-1,又an>0,則an=2n-1(Ⅱ)只需證:1+13+…+12n-1≤

2n-1.1當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,所以命題成立.當(dāng)n=2時(shí),左邊<右邊,所以命題成立②假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即1+13+…+12k-1≤2k-1,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+13+…+12K-1+12K+1≤2K-1+12K+1.<2K-1+22K+1+2K-1=2K-1+2(2K+1-2K-1)

2=2(K+1)-1.命題成立由①②可知,1a1+1a2+…+1an≤2n-1對(duì)一切n∈N+恒成立.12.已知f(x)=2x2+1,則函數(shù)f(cosx)的單調(diào)減區(qū)間為______.答案:解;∵f(x)=2x2+1,∴f(cosx)=2cos2x+1=1+cos2x+1=cos2x+2,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z.解得kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z.∴函數(shù)f(cosx)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ,π2+kπ],k∈Z.故為:[kπ,π2+kπ],k∈Z.13.如圖是《集合》一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,如果要加入“交集”,則應(yīng)該放在()

A.“集合”的下位

B.“概念”的下位

C.“表示”的下位

D.“基本運(yùn)算”的下位

答案:D14.某學(xué)校準(zhǔn)備調(diào)查高三年級(jí)學(xué)生完成課后作業(yè)所需時(shí)間,采取了兩種抽樣調(diào)查的方式:第一種由學(xué)生會(huì)的同學(xué)隨機(jī)對(duì)24名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查;第二種由教務(wù)處對(duì)年級(jí)的240名學(xué)生編號(hào),由001到240,請(qǐng)學(xué)號(hào)最后一位為3的同學(xué)參加調(diào)查,則這兩種抽樣方式依次為()A.分層抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,分層抽樣C.分層抽樣,系統(tǒng)抽樣D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣答案:學(xué)生會(huì)的同學(xué)隨機(jī)對(duì)24名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,對(duì)年級(jí)的240名學(xué)生編號(hào),由001到240,請(qǐng)學(xué)號(hào)最后一位為3的同學(xué)參加調(diào)查,是系統(tǒng)抽樣,故選D15.已知向量,,若與共線,則的值為

A

B

C

D

答案:D解析:,,由,得16.過點(diǎn)P(-3,0)且傾斜角為30°的直線和曲線x=t+1ty=t-1t(t為參數(shù))相交于A,B兩點(diǎn).求線段AB的長(zhǎng).答案:直線的參數(shù)方程為

x

=

-3

+

32sy

=

12s

(s

為參數(shù)),曲線x=t+1ty=t-1t

可以化為

x2-y2=4.將直線的參數(shù)方程代入上式,得

s2-63s+

10

=

0.設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為s1,s2,∴s1+

s2=

6

3,s1?s2=10.∴AB=|s1-s2|=(s1+s2)2-4s1s2=217.17.已知平面上的向量PA、PB滿足|PA|2+|PB|2=4,|AB|=2,設(shè)向量PC=2PA+PB,則|PC|的最小值是

______.答案:|PA|2+|PB|2=4,|AB|=2∴|PA|2+|PB|2=|AB|2∴PA?PB=0∴PC2=4PA2+4PA?PB+PB2=3PA2+4≥4∴|PC|≥2故為2.18.試指出函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過怎樣的變換,可以得到函數(shù)y=(13)x+1+2的圖象.答案:把函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過3次變換,可得函數(shù)y=(13)x+1+2的圖象,步驟如下:y=3x沿y軸對(duì)稱y=(13)x左移一個(gè)單位y=(13)x+1上移2個(gè)單位y=(13)x+1+2.19.若橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是______.答案:由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a=10,|PF1|=6,故|PF2|=4.故為420.如圖,⊙O過點(diǎn)B、C,圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部,,,

.則⊙O的半徑為(

).

A.6

B.13

C.

D.答案:C解析:分析:延長(zhǎng)AO交BC于D,接OB,根據(jù)AB=AC,O是等腰Rt△ABC的內(nèi)心,推出AD⊥BC,BD=DC=3,AO平分∠BAC,求出∠BAD=∠ABD=45°,AD=BD=3,由勾股定理求出OB即可.解答:解:延長(zhǎng)AO交BC于D,連接OB,∵⊙O過B、C,∴O在BC的垂直平分線上,∵AB=AC,圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部,∴AD⊥BC,BD=DC=3,AO平分∠BAC,∵∠BAC=90°,∴∠ADB=90°,∠BAD=45°,∴∠BAD=∠ABD=45°,∴AD=BD=3,∴OD=3-1=2,由勾股定理得:OB==故選C.21.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為:“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22

(℃)”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)):

①甲地:5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22;

②乙地:5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24;

③丙地:5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8;

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)答案:①甲地:5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22,根據(jù)數(shù)據(jù)得出:甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為:22,22,24,25,26.其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22.

②乙地:5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24.根據(jù)其總體均值為24可知其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22.③丙地:5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,根據(jù)其總體均值為24可知其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22.則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有甲、乙、丙三地.故選D.22.若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值點(diǎn).答案:由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,∴4x2+9y2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=3y?1,即2x=3y時(shí)取等號(hào).由2x=3y2x+3y=1得x=14y=16∴4x2+9y2的最小值為12,最小值點(diǎn)為(14,16).23.如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,據(jù)統(tǒng)計(jì),通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響,所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表:所用時(shí)間(分鐘)10~2020~3030~4040~5050~60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站.

(Ⅰ)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑?

(Ⅱ)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù),針對(duì)(Ⅰ)的選擇方案,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.答案:(Ⅰ)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí),40分鐘內(nèi)趕到火車站”,Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí),50分鐘內(nèi)趕到火車站”,i=1,2.用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得∵P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,∵P(A1)>P(A2)∴甲應(yīng)選擇LiP(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B2)>P(B1),∴乙應(yīng)選擇L2.(Ⅱ)A,B分別表示針對(duì)(Ⅰ)的選擇方案,甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,由(Ⅰ)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由題意知,A,B獨(dú)立,P(X=0)=P(.A.B)=P(.A)P(.B)=0.4×0.1=0.04P(x=1)=P(.AB+A.B)=P(.A)P(B)+P(A)P(.B)=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42P(X=2)=P(AB)=P(A)(B)=0.6×0.9=0.54X的分布列EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.24.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1,那么|z+22+i|的最大值是______.答案:∵|z|=1,∴可設(shè)z=cosα+sinα,于是|z+22+i|=|cosα+22+(sinα+1)i|=(cosα+22)2+(sinα+1)2=10+6sin(α+θ)≤10+6=4.∴|z+22+i|的最大值是4.故為425.一段雙行道隧道的橫截面邊界由橢圓的上半部分和矩形的三邊組成,如圖所示.一輛卡車運(yùn)載一個(gè)長(zhǎng)方形的集裝箱,此箱平放在車上與車同寬,車與箱的高度共計(jì)4.2米,箱寬3米,若要求通過隧道時(shí),車體不得超過中線.試問這輛卡車是否能通過此隧道,請(qǐng)說明理由.答案:建立如圖所示的坐標(biāo)系,則此隧道橫截面的橢圓上半部分方程為:x225+y24=1,y≥0.令x=3,則代入橢圓方程,解得y=1.6,因?yàn)?.6+3=4.6>4.2,所以,卡車能夠通過此隧道.26.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)由f(m)=1.06(0.50×[m]+1)給出,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整數(shù)(例如[3]=3,[3.7]=4,[3.1]=4),則從甲地到乙地通話時(shí)間為5.5分鐘的話費(fèi)為()A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77C答案:由[m]是大于或等于m的最小整數(shù)可得[5.5]=6.所以f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×4=4.24.故選:C.27.求證:定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)減函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸至多只有一個(gè)公共點(diǎn).答案:證明:假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)…(2分)設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1<x2.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減所以f(x1)>f(x2),…(6分)這與f(x1)=f(x2)=0矛盾.所以假設(shè)不成立.

…(12分)故原命題成立.…(14分)28.將n2個(gè)正整數(shù)1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形就叫做n階幻方.記f(n)為n階幻方對(duì)角線的和,如右表就是一個(gè)3階幻方,可知f(3)=15,則f(4)=()

816357492A.32B.33C.34D.35答案:由等差數(shù)列得前n項(xiàng)和公式可得,所有數(shù)之和S=1+2+3+…+42=16?(1+16)2=136,所以,f(4)=1364=34,故選C.29.一個(gè)單位有職工800人,其中具有高級(jí)職稱的160人,具有中級(jí)職稱的320人,具有初級(jí)職稱的200人,其余人員120人,為了解職工收入情況,決定采用分層抽樣的方法從中抽取樣本.若樣本中具有初級(jí)職稱的職工為10人,則樣本容量為()

A.10

B.20

C.40

D.50答案:C30.已知點(diǎn)A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),若AB=2a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______.答案:∵向量a=(-3,4,12),AB=2a,∴AB=(-6,8,24)∵點(diǎn)A(1,-2,0)∴B(-6+1,8-2,24-0)=(-5,6,24)故為:(-5,6,24)31.教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.答案:這兩章的內(nèi)容都是通過建立直角坐標(biāo)系,用代數(shù)中的函數(shù)思想來解決圖形中的幾何性質(zhì).故為用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)解析:教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.32.每一噸鑄鐵成本y

(元)與鑄件廢品率x%建立的回歸方程y=56+8x,下列說法正確的是()A.廢品率每增加1%,成本每噸增加64元B.廢品率每增加1%,成本每噸增加8%C.廢品率每增加1%,成本每噸增加8元D.如果廢品率增加1%,則每噸成本為56元答案:∵回歸方程y=56+8x,∴當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),對(duì)應(yīng)的y要增加8個(gè)單位,這里是平均增加8個(gè)單位,故選C.33.若直線x-y-1=0與直線x-ay=0的夾角為,則實(shí)數(shù)a等于()

A.

B.0

C.

D.0或答案:D34.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),則(2a-3b)?(a+2b)=______.答案:∵2a-3b=(-10,13,-14),a+2b=(16,-4,0)∴(2a-3b)?(a+2b)=-10×16+13×(-4)=-212故為-21235.求由曲線圍成的圖形的面積.答案:面積為解析:當(dāng),時(shí),方程化成,即.上式表示圓心在,半徑為的圓.所以,當(dāng),時(shí),方程表示在第一象限的部分以及軸,軸負(fù)半軸上的點(diǎn),.同理,當(dāng),時(shí),方程表示在第四象限的部分以及軸負(fù)半軸上的點(diǎn);當(dāng),時(shí),方程表示圓在第二象限的部分以及軸負(fù)半軸上的點(diǎn);當(dāng),時(shí),方程表示圓在第三象限部分.以上合起來構(gòu)成如圖所示的圖形,面積為.36.參數(shù)方程表示什么曲線?答案:見解析解析:解:顯然,則即得,即37.已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3),B(-1,0),C(2,0),則△ABC的周長(zhǎng)是()

A.2

B.6+

C.3+2

D.6+3答案:D38.如圖所示,I為△ABC的內(nèi)心,求證:△BIC的外心O與A、B、C四點(diǎn)共圓.答案:證明:連接OB、BI、OC,由O是外心知∠IOC=2∠IBC.由I是內(nèi)心知∠ABC=2∠IBC.從而∠IOC=∠ABC.同理∠IOB=∠ACB.而∠A+∠ABC+∠ACB=180°,故∠BOC+∠A=180°,于是O、B、A、C四點(diǎn)共圓.39.閱讀下面的程序框圖,該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為______.答案:循環(huán)前,S=0,A=1,第1次判斷后循環(huán),S=1,A=2,第2次判斷并循環(huán),S=3,A=3,第3次判斷并循環(huán),S=6,A=4,第4次判斷并循環(huán),S=10,A=5,第5次判斷并循環(huán),S=15,A=6,第6次判斷并退出循環(huán),輸出S=15.故為:15.40.假設(shè)要抽查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率,抽取60粒進(jìn)行實(shí)驗(yàn).利用隨機(jī)數(shù)表抽取種子時(shí),先將850顆種子按001,002,…,850進(jìn)行編號(hào),如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第2列的數(shù)3開始向右讀,請(qǐng)你依次寫出最先檢測(cè)的4顆種子的編號(hào)______,______,______,______.

(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)

84

42

17

53

31

57

24

55

06

88

77

04

74

47

67

21

76

33

50

25

83

92

12

06

76

63

01

63

78

59

16

95

55

67

19

98

10

50

71

75

12

86

73

58

07

44

39

52

38

79

33

21

12

34

29

78

64

56

07

82

52

42

07

44

38

15

51

00

13

42

99

66

02

79

54.答案:第8行第2列的數(shù)3開始向右讀第一個(gè)小于850的數(shù)字是301,第二個(gè)數(shù)字是637,也符合題意,第三個(gè)數(shù)字是859,大于850,舍去,第四個(gè)數(shù)字是169,符合題意,第五個(gè)數(shù)字是555,符合題意,故為:301,637,169,55541.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,0.2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ≤0)等于()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84答案:∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,0.2),μ=2,∴p(ξ≤0)=p(ξ≥4)=1-p(ξ≤4)=0.16.故選A.42.若e1、e2、e3是三個(gè)不共面向量,則向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?請(qǐng)說明理由.答案:解:設(shè)c=1a+2b,則即∵a、b不共線,向量a、b、c共面.43.若a,b∈{2,3,4,5,7},則可以構(gòu)成不同的橢圓的個(gè)數(shù)為()

A.10

B.20

C.5

D.15答案:B44.直線y=3x+1的斜率是()A.1B.2C.3D.4答案:因?yàn)橹本€y=3x+1是直線的斜截式方程,所以直線的斜率是3.故選C.45.已知z是純虛數(shù),z+21-i是實(shí)數(shù),則z=______.答案:令Z=bi,則z+21-i=(2+bi)(1+i)(1-i)(1+i)=(2-b)+(2+b)i2又z+21-i是實(shí)數(shù),故b=-2則Z=-2i故為:-2i46.圖是正方體平面展開圖,在這個(gè)正方體中

①BM與ED垂直;

②DM與BN垂直.

③CN與BM成60°角;④CN與BE是異面直線.

以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是______.答案:由已知中正方體的平面展開圖,我們可以得到正方體的直觀圖如下圖所示:由正方體的幾何特征可得:①BM與ED垂直,正確;

②DM與BN垂直,正確;③CN與BM成60°角,正確;④CN與BE平行,故CN與BE是異面直線,錯(cuò)誤;故為:①②③47.某初級(jí)中學(xué)領(lǐng)導(dǎo)采用系統(tǒng)抽樣方法,從該校預(yù)備年級(jí)全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查.現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號(hào),求得間隔數(shù)k==16,即每16人抽取一個(gè)人.在1~16中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),如果抽到的是7,則從33~48這16個(gè)數(shù)中應(yīng)取的數(shù)是(

A.40

B.39

C.38

D.37答案:B48.=(2,1),=(3,4),則向量在向量方向上的投影為()

A.

B.

C.2

D.10答案:C49.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1中點(diǎn),則直線CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案:以A為原點(diǎn),AB、AD、AA1所在直線分別為x,y,z軸建空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E(12,12,1),∴CE=(-12,-12,1),AC=(1,1,0),BD=(-1,1,0),A1D=(0,1,-1),A1A=(0,0,-1),顯然CE?BD=12-12+0=0,∴CE⊥BD,即CE⊥BD.

故選B.50.若矩陣M=1111,則直線x+y+2=0在M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得到的直線方程為______.答案:設(shè)直線x+y+2=0上任意一點(diǎn)(x0,y0),(x',y')是所得的直線上一點(diǎn),[1

1][x']=[x0][1

1][y']=[y0]∴x′+y′=x0x′+y′=y0,∴代入直線x+y+2=0方程:(x'+y')+x′+y'+2=0得到I的方程x+y+1=0故為:x+y+1=0.第2卷一.綜合題(共50題)1.已知:集合A={x,y},B={2,2y},若A=B,則x+y=______.答案:∵集合A={x,y},B={2,2y},而A=B∴x=2y=0或x=2yy=2即x=4y=2∴x+y=2或6故為:2或62.已知函數(shù)f(x)對(duì)其定義域內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,當(dāng)a<b時(shí),都有f(a)<f(b).試用反證法證明:函數(shù)f(x)的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn).答案:證明:假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與x軸至少有兩個(gè)交點(diǎn),…(2分)(1)若f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1<x2,…(5分)由已知,函數(shù)f(x)對(duì)其定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),有f(x1)<f(x2).…(7分)又根據(jù)假設(shè),x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),所以,f(x1)=f(x2)=0,…(9分)這與f(x1)<f(x2)矛盾,…(10分)所以,函數(shù)f(x)的圖象不可能與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).…(11分)(2)若f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)多于兩個(gè),可同理推出矛盾,…(12分)所以,函數(shù)f(x)的圖象不可能與x軸有兩個(gè)以上交點(diǎn).綜上,函數(shù)f(x)的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)…(14分)3.某射擊運(yùn)動(dòng)員在四次射擊中分別打出了9,x,10,8環(huán)的成績(jī),已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9,則這組數(shù)據(jù)的方差是______.答案:∵四次射擊中分別打出了10,x,10,8環(huán),這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9,∴9+x+10+84,∴x=9,∴這組數(shù)據(jù)的方差是14(00+1+1)=12,故為:124.有以下命題:①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底,那么的關(guān)系是不共線;②O,A,B,C為空間四點(diǎn),且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么點(diǎn)O,A,B,C一定共面;③已知向量是空間的一個(gè)基底,則向量,也是空間的一個(gè)基底.其中正確的命題是[

]A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③答案:C5.已知A(4,1,3)、B(2,-5,1),C為線段AB上一點(diǎn),且則C的坐標(biāo)為()

A.

B.

C.

D.答案:C6.教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.答案:這兩章的內(nèi)容都是通過建立直角坐標(biāo)系,用代數(shù)中的函數(shù)思想來解決圖形中的幾何性質(zhì).故為用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)解析:教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.7.已知事件A與B互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,則P(A|.B)=______.答案:∵P(B)=0.6,∴P(.B)=0.4.又事件A與B互斥,且P(A)=0.3,∴P(A|.B)=P(A)P(.B)=0.30.4=34.故為:34.8.某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.答案:由莖葉圖可知樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè),按照從小到大的順序?yàn)椋?7,89,90,91,92,93,94,96.出現(xiàn)在中間兩位的數(shù)據(jù)是91,92.所以樣本的中位數(shù)是(91+92)÷2=91.5,故為:91.59.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定

是()

A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)

B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)

C.存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)

D.存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)答案:D10.現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查:①某校高二年級(jí)共有15個(gè)班,現(xiàn)從中選擇2個(gè)班,檢查其清潔衛(wèi)生狀況;②某市有大型、中型與小型的商店共1500家,三者數(shù)量之比為1:5:9.為了調(diào)查全市商店每日零售額情況,抽取其中15家進(jìn)行調(diào)查.完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法,分層抽樣法B.系統(tǒng)抽樣法,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C.分層抽樣法,系統(tǒng)抽樣法D.系統(tǒng)抽樣法,分層抽樣法答案:從15個(gè)班中選擇2個(gè)班,檢查其清潔衛(wèi)生狀況;總體個(gè)數(shù)不多,而且差異不大,故可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,1500家大型、中型與小型的商店的每日零售額存在較大差異,故可采用分層抽樣的方法故完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法,分層抽樣法故選A11.“a=18”是“對(duì)任意的正數(shù)x,2x+ax≥1的”()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:當(dāng)“a=18”時(shí),由基本不等式可得:“對(duì)任意的正數(shù)x,2x+ax≥1”一定成立,即“a=18”?“對(duì)任意的正數(shù)x,2x+ax≥1”為真命題;而“對(duì)任意的正數(shù)x,2x+ax≥1的”時(shí),可得“a≥18”即“對(duì)任意的正數(shù)x,2x+ax≥1”?“a=18”為假命題;故“a=18”是“對(duì)任意的正數(shù)x,2x+ax≥1的”充分不必要條件故選A12.種植兩株不同的花卉,它們的存活率分別為p和q,則恰有一株存活的概率為(

)A.p+q-2pqB.p+q-pqC.p+qD.pq答案:A解析:恰有一株存活的概率為p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq。13.某學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生3500人,其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍,高二學(xué)生數(shù)比高一學(xué)生數(shù)多300人,現(xiàn)在按的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本,則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為()

A.8

B.11

C.16

D.10答案:A14.已知一物體在共點(diǎn)力F1=(lg2,lg2),F(xiàn)2=(lg5,lg2)的作用下產(chǎn)生位移S=(2lg5,1),則這兩個(gè)共點(diǎn)力對(duì)物體做的總功W為()A.1B.2C.lg2D.lg5答案:∵F1+F2=(lg2,lg2)+(lg5,lg2)=(1,2lg2)又∵在共點(diǎn)力的作用下產(chǎn)生位移S=(2lg5,1)∴這兩個(gè)共點(diǎn)力對(duì)物體做的總功W為(1,2lg2)?(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2故選B15.若隨機(jī)變量X~B(n,0.6),且E(X)=3,則P(X=1)的值是()

A.2×0.44

B.2×0.45

C.3×0.44

D.3×0.64答案:C16.如圖所示,已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC中點(diǎn),則二面角CBFD的正切值為()

A.

B.

C.

D.

答案:D17.如圖,已知PA是圓O的切線,切點(diǎn)為A,PO交圓O于B、C兩點(diǎn),PA=3,PB=1,則∠C=______.答案:∵PA切圓O于A點(diǎn),PBC是圓O的割線∴PA2=PB?PC,可得(3)2=1×PC,得PC=3∵點(diǎn)O在BC上,即BC是圓O的直徑,∴∠ABC=90°,由弦切角定理,得∠PAB=∠C,∠PAC=90°+∠C∴△PAC中,根據(jù)正弦定理,得PAsinC=PCsin∠PAC即3sinC=3sin(90°+C),整理得tanC=33∵∠C是銳角,∴∠C=30°.故為:30°18.算法的有窮性是指()A.算法必須包含輸出B.算法中每個(gè)操作步驟都是可執(zhí)行的C.算法的步驟必須有限D(zhuǎn).以上說法均不正確答案:一個(gè)算法必須在有限步內(nèi)結(jié)束,簡(jiǎn)單的說就是沒有死循環(huán)即算法的步驟必須有限故選C.19.運(yùn)行如圖的程序,將自然數(shù)列0,1,2,…依次輸入作為a的值,則輸出結(jié)果x為______.

答案:當(dāng)n=2時(shí),x=5×6+0=30,當(dāng)n=1時(shí),x=30×6+1=181,當(dāng)n=0時(shí),x=181×6+2=1088,故為:108820.根據(jù)學(xué)過的知識(shí),試把“推理與證明”這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖畫出來.答案:根據(jù)“推理與證明”這一章的知識(shí)可得結(jié)構(gòu)圖,如圖所示.21.在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若AD=2DB,CD=λCA+μCB,則λμ的值為______.答案:∵AD=2DB,∴CD=CA+23

AB∵AB=CB-CA∴CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB∵CD=λCA+μCB∴λ=13,μ=23∴λμ=12故為1222.已知向量,,,則(

)A.B.C.5D.25答案:C解析:將平方即可求得C.23.如圖,四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形,OD=3,點(diǎn)P為△BCD內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn),設(shè)(α,β∈R),則α+β的最大值等于

()

A.

B.

C.

D.1

答案:B24.等腰梯形ABCD,上底邊CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,按平行于上、下底邊取x軸,則直觀圖A′B′C′D′的面積為

______.答案:等腰梯形ABCD,上底邊CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,所以梯形的高為:1,按平行于上、下底邊取x軸,則直觀圖A′B′C′D′的高為:12sin45°=24所以直觀圖的面積為:12×(1+3)×24=22故為:2225.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n>1124

(n∈N,n≥1)答案:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12>1124,∴n=1時(shí)成立(2分)(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立,即1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k>1124那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1k+2+1k+3+…+1k+k

+1K+1+k+1k+1+k+1=1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k+1k+k+1

+1k+1+k+1-1k+1>1124+12k+1-12k+2>1124.∴n=k+1時(shí)也成立(7分)根據(jù)(1)(2)可得不等式對(duì)所有的n≥1都成立(8分)26.若集合S={a,b,c}(a、b、c∈R)中三個(gè)元素為邊可構(gòu)成一個(gè)三角形,那么該三角形一定不可能是()

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.等腰三角形答案:D27.在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=ax,y=sinax的部分圖象,其中a>0且a≠1,則下列所給圖象中可能正確的是()

A.

B.

C.

D.

答案:D28.已知直線過點(diǎn)A(2,0),且平行于y軸,方程:|x|=2,則(

A.l是方程|x|=2的曲線

B.|x|=2是l的方程

C.l上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|=2的解

D.以方程|x|=2的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在l上答案:C29.若點(diǎn)A分有向線段所成的比是2,則點(diǎn)C分有向線段所成的比是()

A.

B.3

C.-2

D.-3答案:D30.編號(hào)為A、B、C、D、E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球,且A不能放1,2號(hào),B必需放在與A相鄰的盒子中,則不同的放法有()種.A.42B.36C.30D.28答案:根據(jù)題意,A不能放1,2號(hào),則A可以放在3、4、5號(hào)盒子,分2種情況討論:①當(dāng)A在4、5號(hào)盒子時(shí),B有1種放法,剩下3個(gè)有A33=6種不同放法,此時(shí),共有2×1×6=12種情況;②當(dāng)A在3號(hào)盒子時(shí),B有3種放法,剩下3個(gè)有A33=6種不同放法,此時(shí),共有1×3×6=18種情況;由加法原理,計(jì)算可得共有12+18=30種不同情況;故選C.31.某品牌平板電腦的采購商指導(dǎo)價(jià)為每臺(tái)2000元,若一次采購數(shù)量達(dá)到一定量,還可享受折扣.如圖為某位采購商根據(jù)折扣情況設(shè)計(jì)的算法程序框圖,若一次采購85臺(tái)該平板電腦,則S=______元.答案:分析程序中各變量、各語句,其作用是:表示一次采購共需花費(fèi)的金額,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)S=200×0.8?x,x>100200×0.9?x,50<x≤100200?x,0<x≤50的值,∵x=85,∴S=200×0.9×85=15300(元),故為:15300.32.△ABC中,若有一個(gè)內(nèi)角不小于120°,求證:最長(zhǎng)邊與最短邊之比不小于3.答案:設(shè)最大角為∠A,最小角為∠C,則最大邊為a,最小邊為c因?yàn)锳≥120°,所以B+C≤60°,且C≤B,所以2C≤B+C≤60°,C≤30°.所以ac=sinAsinC=sin(B+C)sinC≥sin2CsinC=2cosC≥3.33.同時(shí)擲兩顆骰子,得到的點(diǎn)數(shù)和為4的概率是______.答案:同時(shí)擲兩顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)共有36種情況,即(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6),(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6),(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6),(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6),(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6),(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6),而和為4的情況數(shù)有3種,即(1,3)(2,2)(3,1)所以所求概率為336=112,故為:11234.在下列條件中,使M與不共線三點(diǎn)A、B、C,一定共面的是

[

]答案:C35.對(duì)于數(shù)25,規(guī)定第1次操作為23+53=133,第2次操作為13+33+33=55,如此反復(fù)操作,則第2012次操作后得到的數(shù)是

()A.25B.250C.55D.133答案:第1次操作為23+53=133,第2次操作為13+33+33=55,第3次操作為53+53=250,第4次操作為23+53+03=133∴操作結(jié)果,以3為周期,循環(huán)出現(xiàn)∵2012=3×670+2∴第2012次操作后得到的數(shù)與第2次操作后得到的數(shù)相同∴第2012次操作后得到的數(shù)是55故選C.36.直線ax+by=1與圓x2+y2=1有兩不同交點(diǎn),則點(diǎn)P(a,b)與圓的位置關(guān)系為______.答案:圓心到直線ax+by=1的距離,1a2+b2,∵直線ax+by=1與圓x2+y2=1有兩不同交點(diǎn),∴1a2+b2<1即a2+b2>1.故為:點(diǎn)在圓外.37.對(duì)于回歸方程y=4.75x+2.57,當(dāng)x=28時(shí),y

的估計(jì)值是______.答案:∵回歸方程y=4.75x+2.57,∴當(dāng)x=28時(shí),y的估計(jì)值是4.75×28+2.57=135.57.故為:135.57.38.如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F(xiàn),G,H,則=()

A.

B.

C.

D.

答案:C39.已知雙曲線的兩條準(zhǔn)線將兩焦點(diǎn)間的線段三等分,則雙曲線的離心率是______.答案:由題意可得2c×13=2a2c,∴3a2=c2,∴e=ca=3,故為:3.40.若k∈R,則“k>3”是“方程表示雙曲線”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案:A41.大熊貓活到十歲的概率是0.8,活到十五歲的概率是0.6,若現(xiàn)有一只大熊貓已經(jīng)十歲了,則他活到十五歲的概率是()

A.0.8

B.0.75

C.0.6

D.0.48答案:B42.若直線l:ax+by=1與圓C:x2+y2=1有兩個(gè)不同交點(diǎn),則點(diǎn)P(a,b)與圓C的位置關(guān)系是(

A.點(diǎn)在圓上

B.點(diǎn)在圓內(nèi)

C.點(diǎn)在圓外

D.不能確定答案:C43.①點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi),且②點(diǎn)P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且使得取得最小值;③點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,上述三個(gè)點(diǎn)P中,是△ABC的重心的有()

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)答案:D44.如圖,AC是⊙O的直徑,∠ACB=60°,連接AB,過A、B兩點(diǎn)分別作⊙O的切線,兩切線交于點(diǎn)P.若已知⊙O的半徑為1,則△PAB的周長(zhǎng)為______.答案:∵AC是⊙O的直徑,∴∠ABC=90°,∠BAC=30°,CB=1,AB=3,∵AP為切線,∴∠CAP=90°,∠PAB=60°,又∵AP=BP,∴△PAB為正三角形,∴周長(zhǎng)=33.故填:33.45.已知函數(shù)f(x)=ax,(a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(12,12),則常數(shù)a的值為()A.2B.4C.12D.14答案:∵函數(shù)f(x)=ax,(a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(12,12),∴a12=12,?a=14.故選D.46.設(shè)a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),求證:a3+b3≥ab(a2+b2).答案:證明:由a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),作差得a3+b3-ab(a2+b2)=a2a(a-b)+b2b(b-a)=(a-b)[(a)5-(b)5].當(dāng)a≥b時(shí),a≥b,從而(a)5≥(b)5,得(a-b)[(a)5-(b)5]≥0;當(dāng)a<b時(shí),a<b,從而(a)5<(b)5,得(a-b)[(a)5-(b)5]>0.所以a3+b3≥ab(a2+b2).47.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,=,=,=,則|++|等于(

A.0

B.2

C.

D.3答案:B48.等邊三角形ABC中,P在線段AB上,且AP=λAB,若CP?AB=PA?PB,則實(shí)數(shù)λ的值是______.答案:設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1.則|AP|=λ|AB|=λ,|PB|=1-λ.(0<λ<1)CP?AB=(CA+AP)?AB=CA?AB+

AP?AB=PA?PB,所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×(1-λ)cos180°.化簡(jiǎn)-12+λ=-λ(1-λ),整理λ2-2λ+12=0,解得λ=2-22(λ=2+22>1舍去)故為:2-2249.設(shè)集合A={1,2,4},B={2,6},則A∪B等于()A.{2}B.{1,2,4,6}C.{1,2,4}D.{2,6}答案:∵集合A={1,2,4},B={2,6},∴A∪B={1,2,4}∪{2,6}={1,2,4,6},故選B.50.從1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.432

B.288

C.216

D.108答案:C第3卷一.綜合題(共50題)1.|a|=4,|b|=5,|a+b|=8,則a與b的夾角為______.答案:設(shè)a與b的夾角為θ因?yàn)閨a|=4,|b|=5,|a+b|=8,所以a2+2a?b+b2=64即16+2×4×5cosθ+25=64解得cosθ=2340所以θ=arccos2340故為arccos23402.有(1)、(2)、(3)三個(gè)選考題,每題7分,請(qǐng)考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.

(1)選修4-2:矩陣與變換

已知點(diǎn)A(1,0),B(2,2),C(3,0),矩陣M表示變換”順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°”.

(Ⅰ)寫出矩陣M及其逆矩陣M-1;

(Ⅱ)請(qǐng)寫出△ABC在矩陣M-1對(duì)應(yīng)的變換作用下所得△A1B1C1的面積.

(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

過P(2,0)作傾斜角為α的直線l與曲線E:x=cosθy=22sinθ(θ為參數(shù))交于A,B兩點(diǎn).

(Ⅰ)求曲線E的普通方程及l(fā)的參數(shù)方程;

(Ⅱ)求sinα的取值范圍.

(3)(選修4-5

不等式證明選講)

已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3,

(Ⅰ)求證:a+b+c≤3;

(Ⅱ)若c=ab,求c的最大值.答案:(1)(Ⅰ)M=cos(-45°)-sin(-45°)sin(-45°)

cos(-45°)=2222-2222∵矩陣M表示變換“順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°”∴矩陣M-1表示變換“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°”∴M-1=cos45°-sin45°sin45°

cos45°=22-2222

22(Ⅱ)三角形ABC的面積S△ABC=12×(3-1)×2=2,由于△ABC在旋轉(zhuǎn)變換下所得△A1B1C1與△ABC全等,故三角形的面積不變,即S△A1B1C1=2.(2)(Ⅰ)曲線E的普通方程為x2+2y2=1L的參數(shù)方程為x=2+tcosαy=tsinα(t為參數(shù))

(Ⅱ)將L的參數(shù)方程代入由線E的方程得(1+sin2α)t2+(4cosα)t+3=0由△=(4cosα)2-4(1+sin2α)×3≥0得sin2α≤17∴0≤sinα≤77(3)(Ⅰ)證明:由柯西不等式得(a+b+c)2≤(a+b+c)(1+1+1)代入已知a+b+c=3,∴(a+b+c)2≤9a+b+c≤3當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1,取等號(hào).(Ⅱ)由a+b≥2ab得2ab+c≤3,若c=ab,則2c+c≤3,(c+3)(c-1)≤0,所以c≤1,c≤1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),c有最大值1.3.兩弦相交,一弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,求另一弦長(zhǎng)______.答案:設(shè)另一弦長(zhǎng)xcm;由于另一弦被分為3:8的兩段,故兩段的長(zhǎng)分別為311xcm,811xcm,有相交弦定理可得:311x?811x=12?18解得x=33故為:33cm4.已知集合A={x|log2x<1},B={x|0<x<c,其中c>0},若A=B,則c=______.答案:集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2},B={x|0<x<c,其中c>0},若A=B,則c=2,故為2.5.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講

如圖,的角平分線的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn).

(Ⅰ)證明:;

(Ⅱ)若的面積,求的大小.答案:(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)90°解析:本題主要考查平面幾何中與圓有關(guān)的定理及性質(zhì)的應(yīng)用、三角形相似及性質(zhì)的應(yīng)用.證明:(Ⅰ)由已知條件,可得∠BAE=∠CAD.因?yàn)椤螦EB與∠ACB是同弧上的圓周角,所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.(Ⅱ)因?yàn)椤鰽BE∽△ADC,所以,即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.則sin∠BAC=1,又∠BAC為三角形內(nèi)角,所以∠BAC=90°.【點(diǎn)評(píng)】在圓的有關(guān)問題中經(jīng)常要用到弦切角定理、圓周角定理、相交弦定理等結(jié)論,解題時(shí)要注意根據(jù)已知條件進(jìn)行靈活的選擇,同時(shí)三角形相似是證明一些與比例有關(guān)問題的的最好的方法.6.

在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,且BC=3CD,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,則x的取值范圍是()

A.

B.

C.

D.答案:D7.兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱,則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=______;答案:由題意知ξ的取值有0,1,2,當(dāng)ξ=0時(shí),即A郵箱的信件數(shù)為0,由分步計(jì)數(shù)原理知兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱,共有3×3種結(jié)果,而滿足條件的A郵箱的信件數(shù)為0的結(jié)果數(shù)是2×2,由古典概型公式得到ξ=0時(shí)的概率,同理可得ξ=1時(shí),ξ=2時(shí),ξ=3時(shí)的概率p(ξ=0)=2×29=49,p(ξ=1)=C12C129=49,p(ξ=2)=19,∴Eξ=0×49+1×49+2×19=23故為:23.8.已知a為常數(shù),a>0且a≠1,指數(shù)函數(shù)f(x)=ax和對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)=logax的圖象分別為C1與C2,點(diǎn)M在曲線C1上,線段OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與曲線C1的另一個(gè)交點(diǎn)為N,若曲線C2上存在一點(diǎn)P,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是點(diǎn)N的橫坐標(biāo)2倍,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.答案:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,am),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,an)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(am,m)∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是點(diǎn)N的橫坐標(biāo)2倍,∴m=2n而O、M、N三點(diǎn)共線則amm=ann=

am2m2解得:am=4即m=loga4∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,loga4)故為:(4,loga4)9.(幾何證明選講選做題)如圖4,A,B是圓O上的兩點(diǎn),且OA⊥OB,OA=2,C為OA的中點(diǎn),連接BC并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D,則CD=______.答案:如圖所示:作出直徑AE,∵OA=2,C為OA的中點(diǎn),∴OC=CA=1,CE=3.∵OB⊥OA,∴BC=22+12=5.由相交弦定理得BC?CD=EC?CA,∴CD=EC?CABC=3×15=355.故為355.10.如圖,在四邊形ABCD中,++=4,==0,+=4,則(+)的值為()

A.2

B.

C.4

D.

答案:C11.已知隨機(jī)變量X的分布列為:P(X=k)=,k=1,2,…,則P(2<X≤4)等于()

A.

B.

C.

D.答案:A12.先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b.

(1)求直線ax+by+5=0與圓x2+y2=1相切的概率;

(2)將a,b,5的值分別作為三條線段的長(zhǎng),求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.答案:(1)先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,事件總數(shù)為6×6=36.∵直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相切的充要條件是5a2+b2=1即:a2+b2=25,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}∴滿足條件的情況只有a=3,b=4,c=5;或a=4,b=3,c=5兩種情況.∴直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相切的概率是236=118(2)先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,事件總數(shù)為6×6=36.∵三角形的一邊長(zhǎng)為5∴當(dāng)a=1時(shí),b=5,(1,5,5)1種當(dāng)a=2時(shí),b=5,(2,5,5)1種當(dāng)a=3時(shí),b=3,5,(3,3,5),(3,5,5)2種當(dāng)a=4時(shí),b=4,5,(4,4,5),(4,5,5)2種當(dāng)a=5時(shí),b=1,2,3,4,5,6,(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5)6種當(dāng)a=6時(shí),b=5,6,(6,5,5),(6,6,5)2種故滿足條件的不同情況共有14種故三條線段能圍成不同的等腰三角形的概率為1436=718.13.設(shè)集合A={x|x<1,x∈R},B={x|1x>1,x∈R},則下列圖形能表示A與B關(guān)系的是()A.

B.

C.

D.

答案:B={x|1x>1}={x|0<x<1},所以B?A.所以對(duì)應(yīng)的關(guān)系選A.故選A.14.若圓臺(tái)的上下底面半徑分別是1和3,它的側(cè)面積是兩底面面積和的2倍,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是()A.2B.2.5C.5D.10答案:設(shè)母線長(zhǎng)為l,則S側(cè)=π(1+3)l=4πl(wèi).S上底+S下底=π?12+π?32=10π.據(jù)題意4πl(wèi)=20π即l=5,故選C.15.在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10),B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直兩底,求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).答案:設(shè)D(x,y),則∵DC∥AB,∴y-10x-5=0+1015+5,又∵DA⊥AB,∴y+10x+5?0+1015+5=-1.由以上方程組解得:x=-11,y=2.∴D(-11,2).16.Direchlet函數(shù)定義為:D(t)=1,t∈Q0,t∈CRQ,關(guān)于函數(shù)D(t)的性質(zhì)敘述不正確的是()A.D(t)的值域?yàn)閧0,1}B.D(t)為偶函數(shù)C.D(t)不是周期函數(shù)D.D(t)不是單調(diào)函數(shù)答案:函數(shù)D(t)是分段函數(shù),值域是兩段的并集,所以值域?yàn)閧0,1};有理數(shù)和無理數(shù)正負(fù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)D(t)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以函數(shù)是偶函數(shù);對(duì)于不同的有理數(shù)x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,所以函數(shù)不是單調(diào)函數(shù);因?yàn)槿稳∫粋€(gè)非0有理數(shù),都有有理數(shù)加有理數(shù)為有理數(shù),有理數(shù)加無理數(shù)為無理數(shù),所以函數(shù)D(t)的圖象周期出現(xiàn),所以函數(shù)是周期函數(shù),所以選項(xiàng)C不正確.故選C.17.已知曲線C的方程是x2+y2+6ax-8ay=0,那么下列各點(diǎn)中不在曲線C上的是()

A.(0,0)

B.(2a,4a)

C.(3a,3a)

D.(-3a,-a)答案:B18.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+2y+3z=1,則x2+y2+z2的最小值為______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2+)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,當(dāng)且僅當(dāng)x1=y2=z3,即:x2+y2+z2的最小值為114.故為:11419.已知適合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3,求p的值.答案:因?yàn)閤的最大值為3,故x-3<0,原不等式等價(jià)于|x2-4x+p|-x+3≤5,(3分)即-x-2≤x2-4x+p≤x+2,則x2-5x+p-2≤0x2-3x+p+2≥0

解的最大值為3,(6分)設(shè)x2-5x+p-2=0

的根分別為x1和x2,x1<x2,x2-3x+p+2=0的根分別為x3和

x4,x3<x4.則x2=3,或x4=3.若x2=3,則9-15+p-2=0,p=8,若x4=3,則9-9+p+2=0,p=-2.當(dāng)p=-2時(shí),原不等式無解,檢驗(yàn)得:p=8

符合題意,故p=8.(12分)20.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,圓心為C,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,π3),則|CP|=______.答案:圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,圓的方程為:x2+y2=4x,圓心為C(2,0),點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,π3),所以P的直角坐標(biāo)(2,23),所以|CP|=(2-2)2+(23-0)2=23.故為:23.21.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0.x2+y2-10x-12y+m=0.

(1)m取何值時(shí)兩圓外切?

(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?

(3)當(dāng)m=45時(shí),求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).答案:(1)由已知可得兩個(gè)圓的方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=61-m,兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5,兩圓的半徑之和為11+61-m,由兩圓的半徑之和為11+61-m=5,可得m=25+1011.(2)由兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5等于兩圓的半徑之差為|11-61-m|,即|11-61-m|=5,可得

11-61-m=5(舍去),或

11-61-m=-5,解得m=25-1011.(3)當(dāng)m=45時(shí),兩圓的方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=16,把兩個(gè)圓的方程相減,可得公共弦所在的直線方程為4x+3y-23=0.第一個(gè)圓的圓心(1,3)到公共弦所在的直線的距離為d=|4+9-23|5=2,可得弦長(zhǎng)為211-4=27.22.若一元二次方程ax2+2x+1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,則有

A.a(chǎn)<0

B.a(chǎn)>0

C.a(chǎn)<-1

D.a(chǎn)>1答案:A23.如圖表示空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中,正確的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)答案:C24.已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c,f(0)<0,則該函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.1

B.2

C.3

D.0答案:B25.若關(guān)于x,y的二元一次方程組m11mxy=m+12m至多有一組解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.答案:關(guān)于x,y的二元一次方程組m11mxy=m+12m即二元一次方程組mx+y=m+1①x+my=2m②①×m-②得(m2-1)x=m(m-1)當(dāng)m-1≠0時(shí)(m2-1)x=m(m-1)至多有一組解∴m≠1故為:(-∞,1)∪(1,+∞)26.已知平面向量=(3,1),=(x,3),且⊥,則實(shí)數(shù)x的值為()

A.9

B.1

C.-1

D.-9答案:C27.如圖所示,圓的內(nèi)接△ABC的∠C的平分線CD延長(zhǎng)后交圓于點(diǎn)E,連接BE,已知BD=3,CE=7,BC=5,則線段BE=()

A.

B.

C.

D.4

答案:B28.在△ABC中,=,=,且=2,則等于()

A.+

B.+

C.+

D.+答案:A29.2010年廣州亞運(yùn)會(huì)乒乓球男單決賽中,馬龍與王皓在前三局的比分分別是9:11、11:8、11:7,已知馬琳與王皓的水平相當(dāng),比賽實(shí)行“七局四勝”制,即先贏四局者勝,求(1)王皓獲勝的概率;

(2)比賽打滿七局的概率.(3)記比賽結(jié)束時(shí)的比賽局?jǐn)?shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.答案:(1)在馬龍先前三局贏兩局的情況下,王皓取勝有兩種情況.第一種是王皓連勝三局;第二種是在第四到第六局,王皓贏了兩局,第七局王皓贏.在第一種情況下王皓取勝的概率為(12)3=18;在第二種情況下王皓取勝的概率為為C23(12)3×12=316,王皓獲勝的概率18+316=516;(3分)(2)比賽打滿七局有兩種結(jié)果:馬龍勝或王皓勝.記“比賽打滿七局,馬龍勝”為事件A,則P(A)=C13(12)3×12=316;記“比賽打滿七局,王皓勝”為事件B,則P(B)=C23(12)3×12=316;因?yàn)槭录嗀、B互斥,所以比賽打滿七局的概率為P(A)+P(B)=38.(7分)(3)比賽結(jié)束時(shí),比賽的局?jǐn)?shù)為5,6,7,則打完五局馬龍獲勝的概率為12×12=14;打完六局馬琳獲勝的概率為C12(12)2×12=14,王皓取勝的概率為(12)3=18;比賽打滿七局,馬龍獲勝的概率為C13(12)3×12=316,王皓取勝的概率為為C23(12)3×12=316;所以ξ的分布列為ξ567P(ξ)143838Eξ=5×14+6×38+7×38=498.(12分)30.將某班的60名學(xué)生編號(hào)為:01,02,…,60,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為5的樣本,且隨機(jī)抽得的一個(gè)號(hào)碼為04,則剩下的四個(gè)號(hào)碼依次是______.答案:用系統(tǒng)抽樣抽出的5個(gè)學(xué)生的號(hào)碼從小到大成等差數(shù)列,隨機(jī)抽得的一個(gè)號(hào)碼為04則剩下的四個(gè)號(hào)碼依次是16、28、40、52.故為:16、28、40、5231.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有()

A.10種

B.20種

C.25種

D.32種答案:D32.已知定點(diǎn)A(2,0),圓O的方程為x2+y2=8,動(dòng)點(diǎn)M在圓O上,那么∠OMA的最大值是()

A.

B.

C.a(chǎn)rccos

D.a(chǎn)rccos答案:B33.知x、y、z均為實(shí)數(shù),

(1)若x+y+z=1,求證:++≤3;

(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.答案:(1)證明略(2)x2+y2+z2的最小值為解析:(1)證明

因?yàn)椋?+)2≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.所以++≤3.

7分(2)解

因?yàn)?12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=36,即14(x2+y2+z2)≥36,所以x2+y2+z2的最小值為.

14分34.已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25.

(1)圓C的圓心到直線l的距離為______;

(2)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為______.答案:(1)由題意知圓x2+y2=12的圓心是(0,0),圓心到直線的距離是d=2532+42=5,(2)由題意知本題是一個(gè)幾何概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從這個(gè)圓上隨機(jī)的取一個(gè)點(diǎn),對(duì)應(yīng)的圓上整個(gè)圓周的弧長(zhǎng),滿

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