數(shù)字信號處理16

FIR濾波器的最小積分平方誤差設計用表示理想的頻率響應。由于是關于的周期為的周期函數(shù)，可將其寫作傅里葉級數(shù)的形式其中FIR濾波器的最小積分平方誤差設計通常，為一個分段常量函數(shù)，在帶與帶之間存在突變。在這種情況下，是一個無限長、非因果序列。目的找到一個長度為的有限序列在某種程度上，該序列的離散傅里葉變換可近似為理想的。FIR濾波器的最小積分平方誤差設計常用的近似準則使積分平方誤差最小其中FIR濾波器的最小積分平方誤差設計利用帕塞瓦爾定理，上式寫為可以看出，當時，最小。

在均方意義下，通過截短獲得理想無限沖擊響應的最佳有限近似。FIR濾波器的最小積分平方誤差設計一個因果的FIR濾波器，沖擊響應為可以通過延遲來獲得

該因果濾波器和有相同的幅頻響應，它的相頻響應相對于有一個大小為弧度的線性相位平移。FIR濾波器的最小積分平方誤差設計理想低通濾波器理想高通濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設計理想帶通濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設計理想帶阻濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設計理想多電平濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設計理想希爾伯特變換

為偶數(shù)

為奇數(shù)FIR濾波器的最小積分平方誤差設計理想微分器吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象--對給定的理想濾波器的沖激響應系數(shù)進行截短，得到的因果FIR濾波器的在其各自的幅度響應中呈現(xiàn)振蕩現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象隨著濾波器長度的增加，通帶和阻帶的波紋數(shù)也增加，而波紋的寬度相應地減小最大波紋的高度保持不變，與濾波器的長度無關在其他類型理想濾波器的截短形式的幅值響應中也能觀察到類似的振蕩現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象將截短操作看成是加窗過程來解釋產(chǎn)生吉布斯現(xiàn)象的原因在頻域

、分別是和的離散傅里葉變換。吉布斯現(xiàn)象是將和進行周期連續(xù)卷積得到的

吉布斯現(xiàn)象如果相對于的變化是一個以為中心的窄脈沖，那么將會非常接近。窗函數(shù)的長度應該非常大。另一方面，的長度又應該盡可能的小以減小計算復雜度。

吉布斯現(xiàn)象

用矩形窗進行簡單的截短

其他中存在振蕩現(xiàn)象主要有兩個原因：1.理想濾波器是無限長的且不是絕對可和的，因此濾波器是不穩(wěn)定的。2.矩形窗有一個突然到零的過渡。吉布斯現(xiàn)象研究窗函數(shù)的傅里葉變換，很容易對振蕩行為進行解釋。

有一個以為中心的主瓣。其余波紋都稱為旁瓣。吉布斯現(xiàn)象的主瓣用其寬度描述，定義為

兩側的第一個過零點。隨著的增大，主瓣寬度將如預料一樣減小。隨著的增大，每個瓣的寬度減小，然而每個瓣下的面積都保持為常數(shù)。隨著的增大，在的不連續(xù)點之間的波紋出現(xiàn)得越來越近，但振幅沒有減小。吉布斯現(xiàn)象矩形窗在以外有一個突然到零的過渡，導致出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象。減弱吉布斯現(xiàn)象：

1）使用兩邊都是逐漸平滑減小到零的窗函數(shù)，或者2）使用在通帶到阻帶有平滑的過渡帶的窗函數(shù)固定窗函數(shù)使用漸變的窗函數(shù)可以使旁瓣的高度減小，但會使主瓣的寬度相應地增加，結果在不連續(xù)點間出現(xiàn)了更寬的過渡帶。Hann窗：漢明窗（Hamming）:布萊克曼窗（Blackman）:固定窗函數(shù)畫出當時各窗函數(shù)傅里葉變換的幅值固定窗函數(shù)每個窗的幅度譜由一個中心在處的大主瓣，和一系列幅度逐漸減小的旁瓣來描述。在濾波器設計中，一個窗函數(shù)的主要性能取決于以下參數(shù)：1）主瓣寬度2）相對旁瓣電平

固定窗函數(shù)主瓣寬度：是主瓣兩側最近的兩過零點之間的距離。相對旁瓣電平：是最大旁瓣與主瓣以dB為單位的幅度差。

固定窗函數(shù)可看到：因此：通帶和阻帶波紋是一樣的。

固定窗函數(shù)最大通帶偏移和最小阻帶值位置間的距離近似等于窗的主瓣寬度。過渡帶寬

固定窗函數(shù)為了保證從通帶快速過渡到阻帶，窗應該有一個非常小的主瓣寬度。為了減小通帶和阻帶波紋，旁瓣下的面積也應非常小。這兩個要求是相互矛盾的。固定窗函數(shù)在矩形、Hann、漢明、布萊克曼窗中，波紋值與濾波器的長度或截止頻率無關，本質上是一個常數(shù)。另外在大多數(shù)實際應用中，是一個常數(shù)。固定窗函數(shù)矩形窗

dB,dB,Hann窗dB，dB，

漢明窗

dB

，dB，布萊克曼窗

dB，dB，固定窗函數(shù)濾波器設計步驟1）令2）根據(jù)指定的來選擇窗函數(shù)3）用下式估算濾波器設計示例長度為51，的低通濾波器

濾波器設計示例窗函數(shù)的主瓣寬度的增加與過渡帶寬的增加有聯(lián)系。旁瓣振幅的減小會引起阻帶衰減的增加。可調(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫（Dolph-Chebyshev）窗其中可調(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫窗函數(shù)可以用任何指定的相對旁瓣電平來進行設計，選擇合適的窗長可以調(diào)整它的主瓣寬度。濾波器的階數(shù)用下面的式子來估計其中，是歸一化過渡帶寬。例如，對低通濾波器可調(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫窗函的增益響應，窗的長度為51，相對旁瓣電平為50dB可調(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫窗的性質：所有的旁瓣是等高的。用這種窗函數(shù)設計的濾波器的阻帶逼近誤差在本質上具有等波紋行為。對于給定窗長，相對于其他的窗函數(shù)，它具有最小的主瓣寬度，得到具有最小的過渡帶的濾波器。可調(diào)節(jié)窗函數(shù)Kaiser窗：其中，是可調(diào)參數(shù)，是修正的零階貝塞爾函數(shù)，可用冪級數(shù)的形式表示可以看出：對所有都有

實際中可調(diào)節(jié)窗函數(shù)控制加窗濾波器響應阻帶上的最小衰減。

由下式估算濾波器的階數(shù)估計其中，是歸一化過渡帶寬。可調(diào)節(jié)窗函數(shù)給定，，dB因此選，從而有。