數(shù)字信號(hào)處理16

FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)用表示理想的頻率響應(yīng)。由于是關(guān)于的周期為的周期函數(shù)，可將其寫(xiě)作傅里葉級(jí)數(shù)的形式其中FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)通常，為一個(gè)分段常量函數(shù)，在帶與帶之間存在突變。在這種情況下，是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)、非因果序列。目的找到一個(gè)長(zhǎng)度為的有限序列在某種程度上，該序列的離散傅里葉變換可近似為理想的。FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)常用的近似準(zhǔn)則使積分平方誤差最小其中FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)利用帕塞瓦爾定理，上式寫(xiě)為可以看出，當(dāng)時(shí)，最小。

在均方意義下，通過(guò)截短獲得理想無(wú)限沖擊響應(yīng)的最佳有限近似。FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)一個(gè)因果的FIR濾波器，沖擊響應(yīng)為可以通過(guò)延遲來(lái)獲得

該因果濾波器和有相同的幅頻響應(yīng)，它的相頻響應(yīng)相對(duì)于有一個(gè)大小為弧度的線性相位平移。FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)理想低通濾波器理想高通濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)理想帶通濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)理想帶阻濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)理想多電平濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)理想希爾伯特變換

為偶數(shù)

為奇數(shù)FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)理想微分器吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象--對(duì)給定的理想濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)進(jìn)行截短，得到的因果FIR濾波器的在其各自的幅度響應(yīng)中呈現(xiàn)振蕩現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象隨著濾波器長(zhǎng)度的增加，通帶和阻帶的波紋數(shù)也增加，而波紋的寬度相應(yīng)地減小最大波紋的高度保持不變，與濾波器的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)在其他類型理想濾波器的截短形式的幅值響應(yīng)中也能觀察到類似的振蕩現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象將截短操作看成是加窗過(guò)程來(lái)解釋產(chǎn)生吉布斯現(xiàn)象的原因在頻域

、分別是和的離散傅里葉變換。吉布斯現(xiàn)象是將和進(jìn)行周期連續(xù)卷積得到的

吉布斯現(xiàn)象如果相對(duì)于的變化是一個(gè)以為中心的窄脈沖，那么將會(huì)非常接近。窗函數(shù)的長(zhǎng)度應(yīng)該非常大。另一方面，的長(zhǎng)度又應(yīng)該盡可能的小以減小計(jì)算復(fù)雜度。

吉布斯現(xiàn)象

用矩形窗進(jìn)行簡(jiǎn)單的截短

其他中存在振蕩現(xiàn)象主要有兩個(gè)原因：1.理想濾波器是無(wú)限長(zhǎng)的且不是絕對(duì)可和的，因此濾波器是不穩(wěn)定的。2.矩形窗有一個(gè)突然到零的過(guò)渡。吉布斯現(xiàn)象研究窗函數(shù)的傅里葉變換，很容易對(duì)振蕩行為進(jìn)行解釋。

有一個(gè)以為中心的主瓣。其余波紋都稱為旁瓣。吉布斯現(xiàn)象的主瓣用其寬度描述，定義為

兩側(cè)的第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)。隨著的增大，主瓣寬度將如預(yù)料一樣減小。隨著的增大，每個(gè)瓣的寬度減小，然而每個(gè)瓣下的面積都保持為常數(shù)。隨著的增大，在的不連續(xù)點(diǎn)之間的波紋出現(xiàn)得越來(lái)越近，但振幅沒(méi)有減小。吉布斯現(xiàn)象矩形窗在以外有一個(gè)突然到零的過(guò)渡，導(dǎo)致出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象。減弱吉布斯現(xiàn)象：

1）使用兩邊都是逐漸平滑減小到零的窗函數(shù)，或者2）使用在通帶到阻帶有平滑的過(guò)渡帶的窗函數(shù)固定窗函數(shù)使用漸變的窗函數(shù)可以使旁瓣的高度減小，但會(huì)使主瓣的寬度相應(yīng)地增加，結(jié)果在不連續(xù)點(diǎn)間出現(xiàn)了更寬的過(guò)渡帶。Hann窗：漢明窗（Hamming）:布萊克曼窗（Blackman）:固定窗函數(shù)畫(huà)出當(dāng)時(shí)各窗函數(shù)傅里葉變換的幅值固定窗函數(shù)每個(gè)窗的幅度譜由一個(gè)中心在處的大主瓣，和一系列幅度逐漸減小的旁瓣來(lái)描述。在濾波器設(shè)計(jì)中，一個(gè)窗函數(shù)的主要性能取決于以下參數(shù)：1）主瓣寬度2）相對(duì)旁瓣電平

固定窗函數(shù)主瓣寬度：是主瓣兩側(cè)最近的兩過(guò)零點(diǎn)之間的距離。相對(duì)旁瓣電平：是最大旁瓣與主瓣以dB為單位的幅度差。

固定窗函數(shù)可看到：因此：通帶和阻帶波紋是一樣的。

固定窗函數(shù)最大通帶偏移和最小阻帶值位置間的距離近似等于窗的主瓣寬度。過(guò)渡帶寬

固定窗函數(shù)為了保證從通帶快速過(guò)渡到阻帶，窗應(yīng)該有一個(gè)非常小的主瓣寬度。為了減小通帶和阻帶波紋，旁瓣下的面積也應(yīng)非常小。這兩個(gè)要求是相互矛盾的。固定窗函數(shù)在矩形、Hann、漢明、布萊克曼窗中，波紋值與濾波器的長(zhǎng)度或截止頻率無(wú)關(guān)，本質(zhì)上是一個(gè)常數(shù)。另外在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，是一個(gè)常數(shù)。固定窗函數(shù)矩形窗

dB,dB,Hann窗dB，dB，

漢明窗

dB

，dB，布萊克曼窗

dB，dB，固定窗函數(shù)濾波器設(shè)計(jì)步驟1）令2）根據(jù)指定的來(lái)選擇窗函數(shù)3）用下式估算濾波器設(shè)計(jì)示例長(zhǎng)度為51，的低通濾波器

濾波器設(shè)計(jì)示例窗函數(shù)的主瓣寬度的增加與過(guò)渡帶寬的增加有聯(lián)系。旁瓣振幅的減小會(huì)引起阻帶衰減的增加?？烧{(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫（Dolph-Chebyshev）窗其中可調(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫窗函數(shù)可以用任何指定的相對(duì)旁瓣電平來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇合適的窗長(zhǎng)可以調(diào)整它的主瓣寬度。濾波器的階數(shù)用下面的式子來(lái)估計(jì)其中，是歸一化過(guò)渡帶寬。例如，對(duì)低通濾波器可調(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫窗函的增益響應(yīng)，窗的長(zhǎng)度為51，相對(duì)旁瓣電平為50dB可調(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫窗的性質(zhì)：所有的旁瓣是等高的。用這種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶逼近誤差在本質(zhì)上具有等波紋行為。對(duì)于給定窗長(zhǎng)，相對(duì)于其他的窗函數(shù)，它具有最小的主瓣寬度，得到具有最小的過(guò)渡帶的濾波器。可調(diào)節(jié)窗函數(shù)Kaiser窗：其中，是可調(diào)參數(shù)，是修正的零階貝塞爾函數(shù)，可用冪級(jí)數(shù)的形式表示可以看出：對(duì)所有都有

實(shí)際中可調(diào)節(jié)窗函數(shù)控制加窗濾波器響應(yīng)阻帶上的最小衰減。

由下式估算濾波器的階數(shù)估計(jì)其中，是歸一化過(guò)渡帶寬?？烧{(diào)節(jié)窗函數(shù)給定，，dB因此選，從而有。