數(shù)字信號(hào)處理之FIR設(shè)計(jì)

——數(shù)字信號(hào)處理——李永杰Liyj@電子科技大學(xué)生命科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第10章FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)DesignofFIRDigitalFilter2/5/2023FIR的系統(tǒng)函數(shù)：或FIR濾波器總是穩(wěn)定的！IIR：2/5/2023IIR數(shù)字濾波器： 可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì) 但相位非線(xiàn)性FIR數(shù)字濾波器： 可以嚴(yán)格線(xiàn)性相位，又可任意幅度特性 因果穩(wěn)定系統(tǒng) 但階次比IIR濾波器要高得多2/5/2023設(shè)FIR濾波器單位沖激響應(yīng)

h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：按照一定的逼近準(zhǔn)則選取

N

和系數(shù)

h(n).FIR濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)2/5/202310.1預(yù)備知識(shí)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本方法FIR數(shù)字濾波器階數(shù)的估計(jì)10.2基于加窗傅立葉級(jí)數(shù)的FIR濾波器設(shè)計(jì)10.5用Matlab設(shè)計(jì)FIR濾波器主要內(nèi)容2/5/202310.1預(yù)備知識(shí)FIR濾波器的設(shè)計(jì)是基于對(duì)指定幅度響應(yīng)的直接逼近，通常還加上線(xiàn)性相位的條件限制；一些研究者提出了一些先進(jìn)的方法對(duì)給定性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器進(jìn)行階數(shù)估計(jì)。兩種直接的FIR濾波器設(shè)計(jì)方法是加窗傅立葉級(jí)數(shù)法（時(shí)域）和頻率采樣法（頻域）；2/5/2023基于加窗傅立葉級(jí)數(shù)的FIR濾波器設(shè)計(jì)——基于對(duì)指定頻率響應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)進(jìn)行截短來(lái)設(shè)計(jì)。為了使濾波器具有線(xiàn)性相位特性，h[n]需滿(mǎn)足：2/5/2023FIR濾波器階數(shù)的估計(jì)低通濾波器：歸一化通帶截止頻率ωp，歸一化阻帶截止頻率ωs，最大通帶波紋δp，最大阻帶波紋δsKaiser方程：Bellanger方程：Hermann方程：(略)（P425~426）2/5/2023對(duì)通帶寬度適中的FIR濾波器：對(duì)通帶寬度較窄的FIR濾波器：對(duì)通帶寬度較寬的FIR濾波器：這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的FIR濾波器的頻率響應(yīng)特性可能滿(mǎn)足也可能不滿(mǎn)足給定的指標(biāo)。如果不滿(mǎn)足指標(biāo)，建議逐漸增加濾波器階數(shù)直到滿(mǎn)足指標(biāo)為止。FIR濾波器階數(shù)的估計(jì)2/5/202310.2基于加窗傅立葉級(jí)數(shù)的FIR濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)思路：1)先給定所要求設(shè)計(jì)的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejw).（周期連續(xù)）2)求出理想單位取樣響應(yīng)hd(n).（無(wú)限長(zhǎng)且非因果）3)用有限長(zhǎng)因果的h(n)去逼近

hd(n).h(n)與hd(n)的關(guān)系？？2/5/2023給定一個(gè)頻率響應(yīng)指標(biāo)Hd(ej),可以利用上式計(jì)算hd(n),從而確定傳輸函數(shù)Hd(z)。10.2.1FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計(jì)表示要求(desired)的頻率響應(yīng)函數(shù)：是相應(yīng)的沖激響應(yīng)序列：2/5/2023理想情況下，要求的頻率響應(yīng)是分段的常數(shù)，并且各個(gè)頻帶之間有陡峭的過(guò)渡帶，在這種情況下，相應(yīng)的沖激響應(yīng)序列是無(wú)限長(zhǎng)并且非因果的。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)……對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)序列2/5/2023目標(biāo)是找一個(gè)長(zhǎng)度為2N+1的有限沖激響應(yīng)序列

{ht[n]}，其離散時(shí)間傅立葉變換Ht(ej)

在某種程度上逼近所要求的離散時(shí)間傅立葉變換Hd(ej)。ht[n]Ht(ej)

……2/5/2023窗函數(shù)設(shè)計(jì)法采用的是頻域特性均方誤差最小的原則：2/5/20232/5/2023利用帕斯瓦爾公式（P76,(3.51)式）:可得：2/5/2023當(dāng)-NnN時(shí)，ht[n]=hd[n]，則頻譜均方誤差Φ最??；或者說(shuō)，在均方誤差準(zhǔn)則下，理想無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)的最佳和最簡(jiǎn)單的有限長(zhǎng)逼近是通過(guò)截短來(lái)得到的。2/5/2023向右平移N個(gè)樣本……2/5/2023矩形窗可以推廣用其它窗函數(shù)來(lái)截?。阂部梢韵扔乙?，后截?cái)啵?/5/202310.2.2理想低通濾波器的沖激響應(yīng)2/5/20232/5/20232/5/202310.2.3Gibbs現(xiàn)象……n=-10~10n=-30~30Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/對(duì)于給定的理想濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單截短，得到的因果FIR濾波器的幅度響應(yīng)呈現(xiàn)振動(dòng)的現(xiàn)象，通常稱(chēng)為Gibbs現(xiàn)象。2/5/2023隨著濾波器長(zhǎng)度的增加，通帶和阻帶的波紋數(shù)增加，而波紋寬度減小，但是在截止頻率兩邊出現(xiàn)的最大波紋的高度保持不變，它與濾波器的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，并且近似等于理想濾波器通帶和阻帶幅度差的11%。2/5/2023在其他類(lèi)型的理想濾波器沖激響應(yīng)的截短頻率響應(yīng)中，同樣可以觀(guān)察到類(lèi)似的現(xiàn)象。產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象的原因可以解釋為：截短運(yùn)算可以認(rèn)為是將無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)系數(shù)與一個(gè)有限長(zhǎng)的窗序列w[n]相乘。時(shí)間域相乘對(duì)應(yīng)于頻率域卷積。2/5/2023……2/5/20232/5/20232/5/20232/5/20232/5/2023Np2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW矩形窗的幅度譜……2/5/2023隨著M增大，主瓣和旁瓣的寬度均減小，但主瓣和旁瓣下的面積保持不變。隨著M增大，波紋變密，但波紋幅度不變。2/5/20232/5/2023采用矩形窗函數(shù)，其第一旁瓣肩峰可達(dá)8.95%2/5/2023用矩形窗設(shè)計(jì)的Wc=p/2FIR濾波器的幅度響應(yīng)051-40-30-21-100M=14M=30Gaindb2/5/2023矩形窗在-NnN以外的范圍有陡峭的下降沿，它是加窗理想濾波器沖激響應(yīng)序列出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象的原因;Gibbs現(xiàn)象可以通過(guò)采用兩邊都逐漸平滑減少到零的窗函數(shù)，或從通帶到阻帶有平滑的過(guò)渡帶的方法來(lái)減少。使用漸變的窗函數(shù)可以使旁瓣的高度減小，但使主瓣的寬度相應(yīng)地增加，結(jié)果在不連續(xù)點(diǎn)間出現(xiàn)了更寬的過(guò)渡帶。2/5/20232/5/2023Rectangular(矩形)窗Bartlett(巴特利特)窗(三角形窗)Hanning(漢寧)窗Hamming(海明)窗Blackman(布萊克曼)窗10.2.4常用的固定窗函數(shù)w(n)(P432)2/5/2023(P432)以上窗函數(shù)以0為中心。需要對(duì)其進(jìn)行右移。得到形式略為不同的函數(shù)形式。2/5/20232/5/2023M=252/5/2023矩形窗的幅度譜WNp2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW主瓣寬度一個(gè)窗函數(shù)的性能主要取決于它的兩個(gè)參數(shù)，即主瓣寬度和相對(duì)旁瓣級(jí)（最大旁瓣與主瓣以dB為單位的幅度差值）;2/5/2023Rectangular(矩形)窗:2/5/20232/5/2023051-40-30-21-100M=14M=30Gaindb用矩形窗設(shè)計(jì)的Wc=p/2FIR濾波器的幅度響應(yīng)2/5/2023Bartlett(巴特利特)窗(三角形窗):2/5/20232/5/2023Hanning（漢寧）窗（升余弦窗）：倒余弦2/5/20232/5/2023(M=38)051-80-60-44-200Square

HanningGaindB用Hanning窗設(shè)計(jì)的Wc=p/2FIR濾波器的幅度響應(yīng)2/5/2023Hamming（海明）窗（改進(jìn)的升余弦窗）:2/5/20232/5/2023051-80-60-52-200Square

HammingGaindb(M=38)用Hamming窗設(shè)計(jì)的Wc=p/2FIR濾波器的幅度響應(yīng)2/5/2023Blackman（布萊克曼）窗:2/5/20232/5/2023051-100-75-60-40-200Square

BlackmanGaindb(M=38)用Blackman窗設(shè)計(jì)的Wc=p/2FIR濾波器的幅度響應(yīng)2/5/2023HanningHammingBlackman2/5/20232/5/2023一個(gè)窗函數(shù)的性能主要取決于它的兩個(gè)參數(shù)，即主瓣寬度和相對(duì)旁瓣級(jí)（最大旁瓣與主瓣以dB為單位的幅度差值）;

最大通帶偏移和最小阻帶值之間的距離近似等于窗的主瓣寬度（見(jiàn)下頁(yè)圖）;

為了保證從通帶快速過(guò)渡到阻帶，窗函數(shù)應(yīng)該有一個(gè)非常小的主瓣，另一方面，為了減小通帶和阻帶波紋，旁瓣下的面積也要求非常小。遺憾的是，這兩個(gè)要求是相互矛盾的。2/5/20232/5/2023矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布萊克曼窗凱澤窗2/5/2023幾種窗函數(shù)是各以一定主瓣加寬為代價(jià)，來(lái)?yè)Q取某種程度的旁