電磁場(chǎng)理論第3章：恒定電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)

第三章恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)3.1恒定電流的電場(chǎng)

3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度

3.3恒定磁場(chǎng)的基本方程

3.4矢量磁位

3.5磁偶極子

3.6磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程

3.7恒定磁場(chǎng)的邊界條件

3.8標(biāo)量磁位

3.9互感和自感

3.10磁場(chǎng)能量

3.11磁場(chǎng)力3.1恒定電流的電場(chǎng)3.1.1電流密度圖3-1電流密度導(dǎo)體內(nèi)自由電子在電場(chǎng)的作用下，沿著電場(chǎng)線相反的方向運(yùn)動(dòng)，形成電流。規(guī)定正電荷運(yùn)動(dòng)方向?yàn)殡娏鞣较?，用電流?qiáng)度描述一根導(dǎo)線上電流的強(qiáng)弱電流強(qiáng)度定義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某導(dǎo)線截面的電荷量設(shè)通過(guò)ΔS的電流為ΔI，則該點(diǎn)處的電流密度

J為

電流密度的單位是安培/米2(A/m2)。導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個(gè)電流密度，因而構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)。我們稱這一矢量場(chǎng)為電流場(chǎng)。電流場(chǎng)的矢量線叫做電流線?？梢詮碾娏髅芏菾求出流過(guò)任意面積S的電流強(qiáng)度。一般情況下，電流密度J和面積元dS的方向并不相同。此時(shí)，通過(guò)面積S的電流就等于電流密度J在S上的通量，即圖3-2面電流密度有時(shí)電流僅僅分布在導(dǎo)體表面的一個(gè)薄層內(nèi)，為此引入面電流密度面電流密度：電流分類：傳導(dǎo)電流與運(yùn)流電流（見(jiàn)書P52）對(duì)于運(yùn)流電流：傳導(dǎo)電流：導(dǎo)體中自由電子或半導(dǎo)體中的自由電荷在電場(chǎng)的作用下做定向運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)呢個(gè)的電流。（金屬導(dǎo)體，電解液中的電流）運(yùn)流電流：電荷在真空中或者氣體中，由于電場(chǎng)的作用產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，形成的電流（電真空管中的電流）注：運(yùn)流電流不服從歐姆定理，運(yùn)流電流強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度不一定成正比。電場(chǎng)對(duì)運(yùn)流電流所作的功不會(huì)變成熱能，而是為電荷加速。2.電荷守恒定律任意封閉系統(tǒng)電荷總量不變：任意體積V內(nèi)的電荷增量必定等于流入這個(gè)體積的電荷量應(yīng)用散度定理得：要使這個(gè)積分對(duì)任意的體積V均成立，必須使被積函數(shù)為零，即定義的電流為恒定電流3.1.3歐姆定律的微分形式實(shí)驗(yàn)結(jié)論：（J為傳導(dǎo)電流?。ㄕf(shuō)明并推導(dǎo)與I=U/R的關(guān)系）對(duì)于現(xiàn)行各向同性導(dǎo)體，任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比歐姆定理的積分形式：

材料電導(dǎo)率σ/(S/m)鐵(99.98%)107

黃銅1.46×107

鋁3.54×107

金3.10×107

鉛4.55×107

銅5.80×107

銀6.20×107

硅1.56×10-3

表3-1常用材料的電導(dǎo)率

電動(dòng)勢(shì)的引入：非靜電力對(duì)電荷的影響等效為一個(gè)非保守場(chǎng)（非庫(kù)倫場(chǎng)），其場(chǎng)強(qiáng)E’只存在于電源內(nèi)部。在電源內(nèi)部既存在庫(kù)倫場(chǎng)，也有非保守場(chǎng)E’，二者方向相反。為了定量描述電源的特性引入電動(dòng)勢(shì)。電動(dòng)勢(shì)：在電源內(nèi)部搬運(yùn)單位正電荷從負(fù)極道正極時(shí)靜電力做的功。

恒定電流電場(chǎng)與靜電場(chǎng)性質(zhì)相同3.1.4焦耳定律

當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為U，流過(guò)的電流為I時(shí)，則在單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力對(duì)電荷所作的功，即功率是

在導(dǎo)電體中，沿電流線方向取一長(zhǎng)度為Δl、截面為ΔS的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率為(板書畫圖）

當(dāng)ΔV→0，取ΔP/ΔV的極限，就得出導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度，表示為或此式就是焦耳定律的微分形式。應(yīng)該指出，焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流。因?yàn)閷?duì)于運(yùn)流電流而言，電場(chǎng)力對(duì)電荷所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭?dòng)能，而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。3.1.5恒定電場(chǎng)的基本方程我們將電源外部導(dǎo)體中恒定電場(chǎng)的基本方程歸納如下：與其相應(yīng)的積分形式為電流密度J與電場(chǎng)強(qiáng)度E之間滿足歐姆定律J=σE。

由于恒定電場(chǎng)的旋度為零，因而可以引入電位φ,E=-▽?duì)?。在均勻?qū)w內(nèi)部(電導(dǎo)率σ為常數(shù))，有3.1.6恒定電流場(chǎng)的邊界條件圖3-4邊界條件或如前推導(dǎo)可得，恒定電流場(chǎng)的邊界條件為*3.1.7恒定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬表3-2恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比較

例3-1

設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖3-5所示，求同軸線單位長(zhǎng)度的漏電電阻。圖3-5同軸線橫截面

解：媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)流過(guò)半徑為r的任一圓柱側(cè)面的漏電電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度和電場(chǎng)為內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為電導(dǎo)

于是，電阻

Ia

解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率，可將導(dǎo)體球看作等位體。在土壤內(nèi)，半徑為r的半球面是等位面。假設(shè)從接地線流入大地的總電流為I,可以求出，在土壤內(nèi)任意點(diǎn)處的電流密度，等于電流I均勻分布在半個(gè)球面上。Ia

這樣，就得到土壤內(nèi)的電場(chǎng)

3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度圖3-8安培定律R

安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1上任一電流元dl1對(duì)另一載有電流I2的回路C2上任一電流元dl2的作用力表示為令(舉例說(shuō)明)(安培力)(畢-薩定理)

對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線3.3恒定磁場(chǎng)的基本方程

1.磁通連續(xù)性原理

磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡(jiǎn)稱為磁通量(或磁通)，單位是Wb(韋伯)，用Φ表示：如S是一個(gè)閉曲面，則

上式中故可將其改寫為由矢量恒定式

P298(A1.13)P298(A1.1)則有而梯度場(chǎng)的旋度為零，

所以積分形式P298(A1.9)使用散度定理，得到由于上式中積分區(qū)域V是任意的，所以對(duì)空間的各點(diǎn)，有

上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度B是一個(gè)無(wú)源(指散度源)場(chǎng)。

磁通連續(xù)性方程P298(A1.12.)2.安培環(huán)路定律研究任意一條閉曲線C上B的環(huán)量。C’dl’dldl’P做磁感應(yīng)強(qiáng)度B與線元dl的點(diǎn)積設(shè)立體角的增量為d,則可以證明，當(dāng)載流回路與積分線環(huán)鉸鏈時(shí)有可以證明，當(dāng)載流回路不與積分線環(huán)鉸鏈時(shí)有當(dāng)載流回路與積分線環(huán)鉸鏈時(shí)有

當(dāng)穿過(guò)積分回路C的電流是幾個(gè)電流時(shí)，可以將式(3-36)改寫為一般形式：

根據(jù)斯托克斯定理，可以導(dǎo)出安培回路定理

的微分形式：

由于P298(A1.13)因積分區(qū)域S是任意的，因而有

上式是安培環(huán)路定律的微分形式，它說(shuō)明磁場(chǎng)的渦旋源是電流。我們可用此式從磁場(chǎng)求電流分布。對(duì)于對(duì)稱分布的電流，我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場(chǎng)。安培環(huán)路定理

例:

半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有電流I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布，導(dǎo)線外電流為零，r≤ar>a

當(dāng)r>a時(shí)，積分回路包圍的電流為I；當(dāng)r≤a時(shí)，包圍電流為Ir2/a2。當(dāng)r≤a時(shí)：當(dāng)r>a時(shí)：*寫成矢量形式為r≤ar>a

3.4矢量磁位可以令

稱式中的A為矢量磁位(簡(jiǎn)稱磁矢位)，其單位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個(gè)輔助量。式僅僅規(guī)定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因?yàn)槿鬊=▽×A，另一矢量A′=A+▽?duì)罚瞑尅=0,其中Ψ是一個(gè)任意標(biāo)量函數(shù)，則令（庫(kù)侖規(guī)范）一個(gè)無(wú)散度源的場(chǎng)總能表示為另一個(gè)矢量的旋度A′與A都符合矢量磁位，但它們具有不同的散度

使用矢量恒等式上式是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對(duì)無(wú)源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即**類比靜電場(chǎng)公式，得******合并上三個(gè)分量式，將其寫成矢量形式：若磁場(chǎng)由面電流JS產(chǎn)生，容易寫出其磁矢位為同理，線電流產(chǎn)生的磁矢位為磁通的計(jì)算也可以通過(guò)磁矢位表示：（類比電位公式）*無(wú)源區(qū)的矢量磁位有源區(qū)的矢量磁位

說(shuō)明：*例求長(zhǎng)度為l電流為

I的載流直導(dǎo)線的磁矢位。圖3-11直導(dǎo)線磁矢位解:當(dāng)l>>z時(shí)，有上式中，若再取l>>r,則有

當(dāng)電流分布在無(wú)限區(qū)域時(shí)，一般指定一個(gè)磁矢位的參考點(diǎn)，就可以使磁矢位不為無(wú)窮大。當(dāng)指定r=r0處為磁矢位的零點(diǎn)時(shí)，可以得出從上式，用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出*例用磁矢位重新計(jì)算載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)。解：

r≤ar>a

從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量，而且它只是坐標(biāo)r的函數(shù)，即設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁位是A1,導(dǎo)線外磁位是A2，r<a時(shí)，r>a時(shí)，可以求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場(chǎng)分別為導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為在r=a處B1=B2，有3.5磁偶極子概念磁偶極子：通電小圓環(huán)。定義磁偶極矩：將場(chǎng)點(diǎn)P放置在xoz平面中，則該場(chǎng)點(diǎn)的矢磁位場(chǎng)點(diǎn)在xoz平面磁偶極子的磁力線分布3.6磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程電子自旋磁矩表中列舉了磁性介質(zhì)抗磁性，順磁性和鐵磁性的一些參數(shù)3.磁化強(qiáng)度M式中m是分子磁矩，求和對(duì)體積元ΔV內(nèi)的所有分子進(jìn)行。磁化強(qiáng)度用來(lái)定量的描述介質(zhì)磁化程度的強(qiáng)弱，M的單位是A/m(安培/米)。定義4.磁化電流由磁化電流產(chǎn)生附加磁場(chǎng)圖3-13磁化介質(zhì)的場(chǎng)0=r-r’dv場(chǎng)點(diǎn)Pr全部磁介質(zhì)在r處產(chǎn)生的磁矢位為***由矢量恒等式可以將上式改寫為**等效磁化體電流：等效磁化面電流：m

例半徑為a、高為L(zhǎng)的磁化介質(zhì)柱(如圖3-15所示)，磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。圖3–15例3-7用圖

解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時(shí)，M=M0ez，由式(3-52)得磁化電流為在界面z=0上，n=-ez,在界面z=L上，n=ez，在界面r=a上，n=er,3.磁場(chǎng)強(qiáng)度

在外磁場(chǎng)的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流Jm。磁化電流Jm和外加的電流J都產(chǎn)生磁場(chǎng)，這時(shí)應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式：

令其中H稱為磁場(chǎng)強(qiáng)度，單位是A/m(安培/米)。于是有與上式相應(yīng)的微分形式是4.磁導(dǎo)率實(shí)驗(yàn)得知，M與H間的關(guān)系為式中χm是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)，稱為磁化率。非線性磁介質(zhì)的磁化率與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù)，各向異性介質(zhì)的M和H的方向不在同一方向上。順磁介質(zhì)的χm為正，抗磁介質(zhì)的χm為負(fù)。這兩類介質(zhì)的χm約為10-5量級(jí)。式中，μr=1+χm，是介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率，是一個(gè)無(wú)量綱數(shù)；μ=μ0μr，是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位和真空磁導(dǎo)率相同，為H/m(亨/米)。鐵磁材料的B和H的關(guān)系是非線性的，并且B不是H的單值函數(shù)，會(huì)出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率χm的變化范圍很大，可以達(dá)到106量級(jí)。5.磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)基本方程微分積分

例同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖3-16所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過(guò)反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求各區(qū)域的H、B、M。

同軸線示意圖

解：以后如無(wú)特別聲明，對(duì)良導(dǎo)體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一般取其磁導(dǎo)率為μ0。因同軸線為無(wú)限長(zhǎng)，則其磁場(chǎng)沿軸線無(wú)變化，該磁場(chǎng)只有φ分量，且其大小只是r的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介質(zhì)中的安培環(huán)路定律∮CH·dl=∫SJ·dS，求出各區(qū)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H，然后由H求出B和M。當(dāng)r≤a時(shí)，電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得考慮這一區(qū)域的磁導(dǎo)率為μ0，可得(r≤a)(r≤a)

當(dāng)a<r≤b時(shí)，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)磁導(dǎo)率為μ，可得(a<r≤b)

當(dāng)b<r≤c時(shí)，考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布，可得出與積分回路交鏈的電流為則當(dāng)r>c時(shí)，這一區(qū)域的B、H、M為零。3.7恒定磁場(chǎng)的邊界條件

設(shè)底面和頂面的面積均等于ΔS。將積分形式的磁通連續(xù)性原理(即∮SB·dS=0)應(yīng)用到此閉合面上，假設(shè)圓柱體的高度h趨于零，得寫成矢量形式為即圖3-17Bn的邊界條件圖:Ht的邊界條件將介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律應(yīng)用在這一回路，得

若界面上的電流可以看成面電流，則

于是有

考慮到l°=b×n,得

使用矢量恒等式

如果無(wú)面電流(JS=0)，這一邊界條件變成為用下標(biāo)t表示切向分量，上式可以寫成標(biāo)量形式：上式兩式相除，并注意B2=μ2H2,B1=μ1H1,得這表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。若介質(zhì)2為鐵磁材料，介質(zhì)1為空氣，此時(shí)μ1

?μ2,因而θ2?

θ1，由式(3-66)得