大學物理 126 一維勢場中的粒子

12.6一維勢場中的粒子

12.6.1無限深方勢阱中的粒子

12.6.2簡諧振子

12.6.3隧道效應設一個質量為m的粒子在一維勢場U(x)中運動，能量本征方程1給定勢能函數(shù)U(x)，求粒子的能量E和相應的本征波函數(shù)Φ

(x)；求解兩類問題：設粒子以能量E射向勢壘U(x)，計算粒子穿透勢壘的概率。本征值問題：散射問題：2

一維無限深方勢阱U=0EU→∞U→∞U(x)x0，為什么？a金屬U(x)U=U0U=U0EU=0x0a12.6.1無限深方勢阱中的粒子粒子不可能靜止31.分區(qū)求通解（1）阱外（x≤0或x≥a）通解：波函數(shù)有限要求以為例阱外波函數(shù)為零，粒子只能在阱內運動。4（2）阱內（0＜x＜a）設通解：已滿足單值、有限條件。2.用波函數(shù)的連續(xù)條件確定特解D=05粒子的能量本征值，或能級：無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的能量本征波函數(shù)：6712.6.2簡諧振子一維簡諧振子的勢能函數(shù)：能量本征方程：變系數(shù)二階常微分方程，采用級數(shù)解法。能量本征值：零點能：h/2;能量子：h8可以證明，在光照下帶電簡諧振子的躍遷只能發(fā)生在相鄰能級之間，即一次躍遷只能發(fā)射或吸收一個能量子。簡諧振子是一個十分有用的振動模型，可用于原子核中質子和中子的振動、分子中原子的振動、固體晶格點陣上原子的振動。固體晶格點陣上原子振動的能量就可以用能量子來描述，這時的能量子稱為聲子?？涨粌缺诘姆肿涌梢钥闯蓭щ姾喼C振子，在一定溫度下這些簡諧振子所發(fā)射的各種頻率的能量子，在空腔內就形成了輻射場。9能量最低的三個本征波函數(shù)：1011【例】設系統(tǒng)的初始狀態(tài)為其中0和2分別是頻率為

的n=1和2的簡諧振子能量本征態(tài)。（2）求t

時刻系統(tǒng)的狀態(tài)(x,t)。（1）(x,0)是定態(tài)嗎？在(x,0)上測量系統(tǒng)的能量，能測到哪些值？測到這些值的概率是多大？測量值的平均值是多少？（只要求了解）12在狀態(tài)(x,0)上測量能量，能測到的值為測到E0的概率：1/3；測到E2的概率：2/3；它們分別等于展開式中相應展開系數(shù)的模方。測量值的平均值：（1）不是定態(tài)。解13（2）求（正交歸一化）1412.6.3隧道效應一維方勢壘的勢能函數(shù)質量為m的粒子以能量E沿x軸射向勢壘。只討論E＜U0情況，設勢壘無吸收，E

不變。波動性粒子有一定概率穿透勢壘：隧道效應

15定理：對于勢場連續(xù)點，或勢場不是無限大的間斷點，波函數(shù)的一階導數(shù)連續(xù)。xx0U(x)波函數(shù)連續(xù)（概率連續(xù)）：波函數(shù)一階導數(shù)連續(xù)：16xx0U(x)證明：有限17給定E和U(x)，求解薛定諤方程得到波函數(shù)3，由3計算粒子出現(xiàn)在3區(qū)的概率。設特解：18

穿透系數(shù)：粒子穿透勢壘的概率，等于透射波的概率密度除以入射波的概率密度波函數(shù)和波函數(shù)一階導數(shù)的連續(xù)條件：把特解代入，得關于R、A、B、S的四個代數(shù)方程。解出S，可近似地求出穿透系數(shù)：19量子隧道效應的應用：隧道二極管，金屬場致發(fā)射，核的衰變，…（1）原子核的衰變UTh+He2382344通過隧道效應射出對不同的核，算出的衰變概率和實驗一致。rRU35MeV4.25MeV0核力勢能庫侖勢能20（2）掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一項技術上的重大發(fā)明，原理：利用量子隧道效應1986年諾貝爾物理學獎：魯斯卡（E.Ruska）1932年發(fā)明電子顯微鏡畢寧（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STM表面的微觀結構（不接觸、不破壞樣品）。用于觀察21U0U0U0A

—常量

—樣品表面平均勢壘高度（~eV）

d~1nm（10A）。d變

i變，反映表面情況。ABdE隧道電流iABUd探針樣品電子云重疊22隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓

掃描隧道顯微鏡示意圖23用STM得到的神經細胞像硅表面STM掃描圖像24

1991年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個移動氙原子，拼成了字母IBM，每個字母長5nm。移動分子實驗的成功，表明人們朝著用單一原子和小分子構成新分子的目