2023年隨機(jī)事件及其概率知識點(diǎn)總結(jié)

隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件１、必然事件在一定條件下,必然會發(fā)生的事件叫作必然事件.2、不也許事件在一定條件下,一定不會發(fā)生的事件叫作不也許事件.３、隨機(jī)事件在一定條件下,也許發(fā)生，也也許不發(fā)生的事件叫作隨機(jī)事件，一般用大寫字母，，來表達(dá)隨機(jī)事件.４、擬定事件必然事件和不也許事件統(tǒng)稱為相對于隨機(jī)事件的擬定事件.5、實(shí)驗(yàn)為了探索隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律,就要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測或模擬，這種觀測或模擬的過程就叫作實(shí)驗(yàn).【注】(1)在一定條件下，某種現(xiàn)象也許發(fā)生,也也許不發(fā)生，事先并不能判斷將出現(xiàn)哪種結(jié)果,這種現(xiàn)象就叫作隨機(jī)現(xiàn)象.應(yīng)當(dāng)注意的是,隨機(jī)現(xiàn)象絕不是雜亂無章的現(xiàn)象，這里的“隨機(jī)”有兩方面意思:①這種現(xiàn)象的結(jié)果不擬定，發(fā)生之前不能預(yù)言;②這種現(xiàn)象的結(jié)果帶有偶爾性.雖然隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果不擬定，帶有某種偶爾性，但是這種現(xiàn)象的各種也許結(jié)果在數(shù)量上具有一定的穩(wěn)定性和規(guī)律性，我們稱這種規(guī)律性為記錄規(guī)律性.記錄和概率就是從量的側(cè)面去研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律性,從而實(shí)現(xiàn)隨機(jī)性和擬定性之間矛盾的統(tǒng)一.(2）必然事件與不也許事件反映的是在一定條件下的擬定性現(xiàn)象，而隨機(jī)事件反映的則是在一定條件下的隨機(jī)現(xiàn)象.（3)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)滿足的條件:可以在相同條件下反復(fù)進(jìn)行；所有結(jié)果都是明確可知的，但不止一個；每一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是也許結(jié)果中的一個,但不擬定是哪一個.隨機(jī)事件也可以簡稱為事件，但有時為了敘述的簡潔性，也也許包含不也許事件和必然事件.二、基本領(lǐng)件空間1、基本領(lǐng)件在實(shí)驗(yàn)中不能再分的最簡樸的隨機(jī)事件，而其他事件都可以用它們進(jìn)行描述,這樣的事件稱為基本領(lǐng)件．2、基本領(lǐng)件空間所有基本領(lǐng)件構(gòu)成的集合稱為基本領(lǐng)件空間,常用大寫字母來表達(dá)，中的每一個元素都是一個基本領(lǐng)件,并且中包含了所有的基本領(lǐng)件．【注】基本領(lǐng)件是實(shí)驗(yàn)中所有也許發(fā)生的結(jié)果的最小單位，它不能再分，其他的事件都可以用這些基本領(lǐng)件來表達(dá);在寫一個實(shí)驗(yàn)的基本領(lǐng)件空間時,應(yīng)注意每個基本領(lǐng)件是否與順序有關(guān)系；基本領(lǐng)件空間包含了所有的基本領(lǐng)件，在寫時應(yīng)注意不反復(fù)、不漏掉.三、頻率與概率1、頻數(shù)與頻率在相同條件下進(jìn)行了次實(shí)驗(yàn),觀測某一事件是否出現(xiàn),則稱在次實(shí)驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)；事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率.２、概率對于給定的隨機(jī)事件，假如隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增長，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，則把這個常數(shù)稱為事件的概率,簡稱為的概率,記作.３、頻率與概率的關(guān)系(1)頻率雖然在一定限度上可以反映事件發(fā)生的也許性的大小,但頻率并不是一個完全擬定的數(shù).隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的不同,產(chǎn)生的頻率也也許不同，所以頻率無法從主線上刻畫事件發(fā)生的也許性的大小,但人們從大量的反復(fù)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn):隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的無限增長,事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某一固定的值上，即在無限次反復(fù)實(shí)驗(yàn)下，頻率具有某種穩(wěn)定性.(2)概率是一個常數(shù),它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無限多時，所得到的頻率就會近似地等于概率．此外，概率大,并不表達(dá)事件一定會發(fā)生,只能說明事件發(fā)生的也許性大,但在一次實(shí)驗(yàn)中卻不一定會發(fā)生.四、事件的關(guān)系與運(yùn)算1、包含關(guān)系一般地，對于事件與事件，假如事件發(fā)生時，事件一定發(fā)生，則我們稱事件包含事件(或稱事件包含于事件），記作(或）.2、相等關(guān)系一般地,對于事件與事件，假如事件發(fā)生時，事件一定發(fā)生,并且假如事件發(fā)生時，事件一定發(fā)生,即若且，則我們稱事件與事件相等,記作.３、并事件假如某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件或事件發(fā)生，則我們稱該事件為事件與事件的并事件（或和事件)，記作（或）.4、交事件假如某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件也發(fā)生,則我們稱該事件為事件與事件的交事件(或積事件），記作（或）.5、互斥事件假如事件與事件的交事件為不也許事件（即），則我們稱事件與事件互斥,其含義是:事件與事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中都不會同時發(fā)生．６、對立事件假如事件與事件的交事件為不也許事件（即），而事件與事件的并事件為必然事件（即），則我們稱事件與事件互為對立事件，其含義是:事件與事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生.【注】事件的關(guān)系與運(yùn)算可以類比集合的關(guān)系與運(yùn)算.例如，事件包含事件類比集合包含集合;事件與事件相等類比集合與集合相等;事件與事件的并事件類比集合與集合的并集;事件與事件的交事件類比集合與集合的交集……五、互斥事件與對立事件互斥事件與對立事件是此后考察的重點(diǎn)，因此關(guān)于互斥事件與對立事件，我們很有必要再作進(jìn)一步的說明.１、互斥事件與對立事件的關(guān)系互斥事件與對立事件都反映的是兩個事件之間的關(guān)系.互斥事件是不也許同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除了規(guī)定這兩個事件不同時發(fā)生以外，還規(guī)定這兩個事件必須有一個發(fā)生．因此，對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件.例如，擲一枚骰子,事件：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1”與事件：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”是互斥事件，但不是對立事件；而事件：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”與事件：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”既是互斥事件,也是對立事件.２、互斥事件的概率加法公式(1）兩個互斥事件的概率之和假如事件與事件互斥，那么;（２）有限多個互斥事件的概率之和一般地，假如事件,，…,兩兩互斥,那么事件“發(fā)生”（指事件,，…，中至少有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和,即.【注】上述這兩個公式叫作互斥事件的概率加法公式.在運(yùn)用互斥事件的概率加法公式時,一定要一方面擬定各事件是否彼此互斥(假如這個條件不滿足,則公式不合用），然后求出各事件分別發(fā)生的概率,再求和．3、對立事件的概率加法公式對于對立的兩個事件與而言,由于在一次實(shí)驗(yàn)中,事件與事件不會同時發(fā)生，因此事件與事件互斥,并且，即事件或事件必有一個發(fā)生,所以對立事件與的并事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率之和,且和為，即,或.【注】上述這個公式為我們求事件的概率提供了一種方法,當(dāng)我們直接求有困難時,可以轉(zhuǎn)化為先求其對立事件的概率,再運(yùn)用公式即可求出所規(guī)定的事件的概率.4、求復(fù)雜事件的概率的方法求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法:一種是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，然后再運(yùn)用互斥事件的概率加法公式進(jìn)行求解；另一種是先求其對立事件的概率，然后再運(yùn)用對立事件的概率加法公式進(jìn)行求解.假如采用方法一，一定要準(zhǔn)確地將所求事件拆提成若干個兩兩互斥的事件,不能有反