導數(shù)的應用重修

第三章導數(shù)的應用（續(xù)）二、函數(shù)的極值一、函數(shù)的單調性四、曲線的凹凸與拐點三、函數(shù)的最值五、曲線的漸近線定理一、函數(shù)的單調性1、單調性的判別法2、單調區(qū)間的求法導數(shù)為零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點．方法:（1）

求連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域例1.

求函數(shù)的單調區(qū)間.解:令得列表討論3、利用單調性證明不等式例2證明例3分析證明證法二4、利用單調性結合零點定理可以研究方程根（函數(shù)的零點）的個數(shù)及范圍方法

(1)先求出f(x)的單調區(qū)間。(2)判別每個單調區(qū)間的端點的函數(shù)值（或極限）的符號。(3)根據(jù)零點定理：若兩端點的值一正一負，則在此區(qū)間內有唯一實根，其余則無實根。解注：零點定理的推廣二、函數(shù)的極值及其求法1

函數(shù)的極值的定義定義:在其中當(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點

.注：極值是一局部概念，而最大最小是整體概念。定理1(必要條件)定義注意:例如,2

函數(shù)的極值的必要條件但x=0處導數(shù)不存在。(2)極值點也不一定是駐點.(3)可能極值點：駐點，導數(shù)不存在點。3

函數(shù)的極值的第一充分條件定理2(第一充分條件)4求極值的步驟:例1.

求函數(shù)的極值.解:令得駐點列表討論是極大值點，其極大值為是極小值點，其極小值為定理3(第二充分條件)例2解例3解三、

函數(shù)的最大最小值1

函數(shù)的最值的求法則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內的極值可疑點(2)

最大值最小值特別:

當在內只有一個極值可疑點時,

當在上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)(小)例12應用舉例解計算比較得例3

作一個上下都有底的圓柱形鐵桶，容積為V0（常數(shù)），問底半徑r=？時表面積最小。解：V0=πr2h

，目標函數(shù)由問題的實際意義知S(r)的最小值一定存在，而在(0，+∞)內有唯一駐點，

注：利用最值可以證明不等式四、曲線的凹凸與拐點

1．

曲線凹凸的概念問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方定義

2．

判定方法定理1例1解注意到,定義：連續(xù)曲線凹凸的分界點稱為曲線拐點。3曲線的拐點凹凸性及其求法設f(x)在[a，b]內連續(xù)，(或求出連續(xù)區(qū)間）(2)求在(a,b)二階導數(shù)為0的點和二階導數(shù)不存在的點(3)在（2）中解出的每一個點x0把定義區(qū)間分成幾部分例2解凹的凸的凹的拐點拐點五、曲線的漸近線1.鉛直漸近線定義:例如有鉛直漸近線兩條:2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:3.斜漸近線斜漸近線求法:例1解總結1、求函數(shù)的單