2023年自考數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)重點總結(jié)最終修訂

自考023３１數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)重點總結(jié)(最終修訂)第一章概論1．瑞士計算機科學(xué)家沃思提出:算法＋數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)=程序。算法是對數(shù)據(jù)運算的描述,而數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)涉及邏輯結(jié)構(gòu)和存儲結(jié)構(gòu)。由此可見,程序設(shè)計的實質(zhì)是針對實際問題選擇一種好的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和設(shè)計一個好的算法,而好的算法在很大限度上取決于描述實際問題的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。２.數(shù)據(jù)是信息的載體。數(shù)據(jù)元素是數(shù)據(jù)的基本單位。一個數(shù)據(jù)元素可以由若干個數(shù)據(jù)項組成,數(shù)據(jù)項是具有獨立含義的最小標(biāo)記單位。數(shù)據(jù)對象是具有相同性質(zhì)的數(shù)據(jù)元素的集合。3.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)指的是數(shù)據(jù)元素之間的互相關(guān)系,即數(shù)據(jù)的組織形式。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)一般涉及以下三方面內(nèi)容：數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)的存儲結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)的運算①數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)是從邏輯關(guān)系上描述數(shù)據(jù),與數(shù)據(jù)元素的存儲結(jié)構(gòu)無關(guān)，是獨立于計算機的。數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)分類:線性結(jié)構(gòu)和非線性結(jié)構(gòu)。線性表是一個典型的線性結(jié)構(gòu)。棧、隊列、串等都是線性結(jié)構(gòu)。數(shù)組、廣義表、樹和圖等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都是非線性結(jié)構(gòu)。②數(shù)據(jù)元素及其關(guān)系在計算機內(nèi)的存儲方式,稱為數(shù)據(jù)的存儲結(jié)構(gòu)(物理結(jié)構(gòu)）。數(shù)據(jù)的存儲結(jié)構(gòu)是邏輯結(jié)構(gòu)用計算機語言的實現(xiàn)，它依賴于計算機語言。③數(shù)據(jù)的運算。最常用的檢索、插入、刪除、更新、排序等。4.數(shù)據(jù)的四種基本存儲方法:順序存儲、鏈接存儲、索引存儲、散列存儲(１）順序存儲:通常借助程序設(shè)計語言的數(shù)組描述。（2)鏈接存儲:通常借助于程序語言的指針來描述。(３）索引存儲:索引表由若干索引項組成。關(guān)鍵字是能唯一標(biāo)記一個元素的一個或多個數(shù)據(jù)項的組合。（４）散列存儲：該方法的基本思想是:根據(jù)元素的關(guān)鍵字直接計算出該元素的存儲地址。５.算法必須滿足５個準(zhǔn)則:輸入，0個或多個數(shù)據(jù)作為輸入；輸出,產(chǎn)生一個或多個輸出；有窮性，算法執(zhí)行有限步后結(jié)束;擬定性，每一條指令的含義都明確;可行性,算法是可行的。算法與程序的區(qū)別：程序必須依賴于計算機程序語言,而一個算法可用自然語言、計算機程序語言、數(shù)學(xué)語言或約定的符號語言來描述。目前常用的描述算法語言有兩類：類Ｐascal和類Ｃ。6.評價算法的優(yōu)劣：算法的"對的性"是一方面要考慮的。此外，重要考慮如下三點：?①執(zhí)行算法所花費的時間,即時間復(fù)雜性;

②執(zhí)行算法所花費的存儲空間,重要是輔助空間，即空間復(fù)雜性；?③算法應(yīng)易于理解、易于編程，易于調(diào)試等,即可讀性和可操作性。以上幾點最重要的是時間復(fù)雜性,時間復(fù)雜度常用漸進時間復(fù)雜度表達。7.算法求解問題的輸入量稱為問題的規(guī)模,用一個正整數(shù)n表達。8.常見的時間復(fù)雜度按數(shù)量級遞增排列依次為：常數(shù)階0(1)、對數(shù)階0(lｏg2n)、線性階0(n)、線性對數(shù)階0(nlog2n)、平方階０(ｎ2)立方階0(ｎ3）、…、k次方階0（nk）、指數(shù)階0(2n)和階乘階０(ｎ!)。9.一個算法的空間復(fù)雜度Ｓ(n)定義為該算法所花費的存儲空間,它是問題規(guī)模ｎ的函數(shù),它涉及存儲算法自身所占的存儲空間、算法的輸入輸出數(shù)據(jù)所占的存儲空間和算法在運營過程中臨時占用的存儲空間。第二章線性表1.數(shù)據(jù)的運算是定義在邏輯結(jié)構(gòu)上的,而運算的具體實現(xiàn)是在存儲結(jié)構(gòu)上進行的。

2.只要擬定了線性表存儲的起始位置，線性表中任意一個元素都可隨機存取，所以順序表是一種隨機存取結(jié)構(gòu)。3．常見的線性表的基本運算:(１)置空表InitList(L）構(gòu)造一個空的線性表L。?（2)求表長ListLｅnｇtｈ（L)求線性表L中的結(jié)點個數(shù)，即求表長。

（３）GｅｔNode(L，i)取線性表L中的第ｉ個元素。?(4）ＬocａｔｅNｏde(L,ｘ)在L中查找第一個值為ｘ的元素，并返回該元素在L中的位置。若L中沒有元素的值為x,則返回0值。

(5)InｓｅrtLｉst（L,i，ｘ）在線性表Ｌ的第i個元素之前插入一個值為x的新元素，表L的長度加１。

（6)DelｅteLｉst（Ｌ，i)刪除線性表L的第i個元素，刪除后表L的長度減1。4.順序存儲方法：把線性表的數(shù)據(jù)元素按邏輯順序依次存放在一組地址連續(xù)的存儲單元里的方法。順序表(SequｅntｉaｌＬｉst）:用順序存儲方法存儲的線性表稱為順序表。順序表是一種隨機存取結(jié)構(gòu),順序表的特點是邏輯上相鄰的結(jié)點其物理位置亦相鄰。順序表中結(jié)點ai的存儲地址:LOC（ai）=LＯC（a1)+（i-1）*c

1≤ｉ≤n，5.順序表上實現(xiàn)的基本運算:（1）插入：該算法的平均時間復(fù)雜度是O（n）,即在順序表上進行插入運算，平均要移動一半結(jié)點（n/2)。在第i個位置插入一個結(jié)點的移動次數(shù)為n-i+1(2)刪除:順序表上做刪除運算,平均要移動表中約一半的結(jié)點（n-1）/２，平均時間復(fù)雜度也是O(n）。刪除第i個結(jié)點移動次數(shù)為n-ｉ6.采用鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)可以避免頻繁移動大量元素。一個單鏈表可由頭指針唯一擬定，因此單鏈表可以用頭指針的名字來命名。①生成結(jié)點變量的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)p＝(ListＮode＊)malloｃ(siｚeof(ListＮodｅ));//函數(shù)ｍalloc分派一個類型為LｉstNｏde的結(jié)點變量的空間，并將其首地址放入指針變量p中②釋放結(jié)點變量空間的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)freｅ(ｐ）;/／釋放p所指的結(jié)點變量空間③結(jié)點分量的訪問

方法二：ｐ－﹥daｔa和p-﹥next④指針變量p和結(jié)點變量*p的關(guān)系:指針變量p的值——結(jié)點地址,結(jié)點變量*ｐ的值——結(jié)點內(nèi)容7.建立單鏈表:（１）頭插法建表:算法：p=(LiｓtＮode*)mａlloc（sｉzｅof（ListNode));①/／生成新結(jié)點

p－>dａt(yī)a=cｈ;②//將讀入的數(shù)據(jù)放入新結(jié)點的數(shù)據(jù)域中

p->ｎexｔ＝heａd;③head=p;④

（２)尾插法建表：算法：p=（ＬiｓｔNodｅ*)maｌloc(ｓizeoｆ(ＬistNode));①//生成新結(jié)點?

p->ｄaｔa=cｈ;

②//將讀入的數(shù)據(jù)放入新結(jié)點的數(shù)據(jù)域中

if(hｅaｄ==ＮULL)heａd＝p;//新結(jié)點插入空表

ｅlserear->ｎｅｘt=p;③//將新結(jié)點插到*r之后

rear=p;④/／尾指針指向新表尾(3）尾插法建帶頭結(jié)點的單鏈表：頭結(jié)點及作用：頭結(jié)點是在鏈表的開始結(jié)點之前附加一個結(jié)點。它具有兩個優(yōu)點:?

⒈由于開始結(jié)點的位置被存放在頭結(jié)點的指針域中,所以在鏈表的第一個位置上的操作就和在表的其它位置上操作一致,無須進行特殊解決;

⒉無論鏈表是否為空,其頭指針都是指向頭結(jié)點的非空指針(空表中頭結(jié)點的指針域空）,因此空表和非空表的解決也就統(tǒng)一了。頭結(jié)點數(shù)據(jù)域的陰影表達該部分不存儲信息。在有的應(yīng)用中可用于存放表長等附加信息。?具體算法：r＝heaｄ;/／

尾指針初值也指向頭結(jié)點

wｈｉlｅ(（ch=getchar())!=＇\n')｛?

s=(ＬistNｏｄｅ*)malloｃ(ｓizeｏf(ＬistNoｄe））;//生成新結(jié)點

s->data=ch;

／/將讀入的數(shù)據(jù)放入新結(jié)點的數(shù)據(jù)域中?

r-＞next=ｓ;

r=s;}?

r->ｎext＝NUＬＬ;/／終端結(jié)點的指針域置空，或空表的頭結(jié)點指針域置空以上三個算法的時間復(fù)雜度均為O(ｎ)。８.單鏈表上的查找:（帶頭結(jié)點)(1）按結(jié)點序號查找：序號為0的是頭結(jié)點。算法：p＝hｅaｄ;j=0;／／從頭結(jié)點開始掃描

while（ｐ－>ｎｅｘt&&j<i){//順指針向后掃描,直到p－>nexｔ為NＵLＬ或i=ｊ為止?

p=ｐ-＞next;?

ｊ＋+;｝?

ｉｆ(i==ｊ)reｔurnp;//找到了第ｉ個結(jié)點?

elseｒｅtｕrnNＵＬL;//當(dāng)ｉ<0或i>0時，找不到第i個結(jié)點

時間復(fù)雜度:在等概率假設(shè)下，平均時間復(fù)雜度為:為n／２=O（n)(2）按結(jié)點值查找:具體算法：ＬistNoｄｅ＊p=heａd－>ｎext；/／從開始結(jié)點比較。表非空，p初始值指向開始結(jié)點?

while（p&&p->dａt(yī)ａ！=ｋey）//直到p為NUＬＬ或ｐ-＞ｄａt(yī)a為key為止

p=p-＞ｎeｘt;／/掃描下一結(jié)點?

ｒetｕrｎp;//若p＝ＮUＬＬ,則查找失敗，否則p指向值為key的結(jié)點時間復(fù)雜度為：O(n）9.插入運算:插入運算是將值為x的新結(jié)點插入到表的第i個結(jié)點的位置上,即插入到ai-1與ａi之間。

?s=（LisｔNodｅ*)malloc（sizeoｆ(LisｔNoｄe)）;②s->datａ=x;③s->nexｔ=p－>neｘt;④p->ｎext=ｓ;⑤算法的時間重要花費在查找結(jié)點上,故時間復(fù)雜度亦為O（n)。?1０．刪除運算

r=p->ｎｅｘt;②/／使r指向被刪除的結(jié)點aip－>nｅxt=r－>next③;//將ai從鏈上摘下frｅe（ｒ）；④／/釋放結(jié)點ai的空間給存儲池算法的時間復(fù)雜度也是O（n).ｐ指向被刪除的前一個結(jié)點。鏈表上實現(xiàn)的插入和刪除運算,無須移動結(jié)點,僅需修改指針。11.單循環(huán)鏈表—在單鏈表中，將終端結(jié)點的指針域NUＬＬ改為指向表頭結(jié)點或開始結(jié)點即可。判斷空鏈表的條件是head=＝heaｄ->ｎｅｘt；１2.僅設(shè)尾指針的單循環(huán)鏈表:用尾指針rｅaｒ表達的單循環(huán)鏈表對開始結(jié)點a1和終端結(jié)點an查找時間都是O（１)。而表的操作經(jīng)常是在表的首尾位置上進行，因此,實用中多采用尾指針表達單循環(huán)鏈表。判斷空鏈表的條件為rear=＝rｅａr－>next;1３.循環(huán)鏈表：循環(huán)鏈表的特點是無須增長存儲量，僅對表的鏈接方式稍作改變，即可使得表解決更加方便靈活。若在尾指針表達的單循環(huán)鏈表上實現(xiàn)，則只需修改指針，無須遍歷，其執(zhí)行時間是Ｏ(1)。具體算法:ＬinｋLｉstＣonｎeｃt(ＬinkLｉstA,LinkLisｔB）

{//假設(shè)A,B為非空循環(huán)鏈表的尾指針LiｎｋListｐ=A-＞nｅxt;／／①保存Ａ表的頭結(jié)點位置

A-＞ｎexｔ=B-＞next－>ｎｅxt；//②B表的開始結(jié)點鏈接到A表尾?

ｆrｅｅ(Ｂ－>next）;/／③釋放B表的頭結(jié)點?

B->nｅxｔ=p;／/④?

retｕrnB;//返回新循環(huán)鏈表的尾指針循環(huán)鏈表中沒有NUＬＬ指針。涉及遍歷操作時，其終止條件就不再是像非循環(huán)鏈表那樣判別p或p->nｅxt是否為空，而是判別它們是否等于某一指定指針，如頭指針或尾指針等。在單鏈表中，從一已知結(jié)點出發(fā),只能訪問到該結(jié)點及其后續(xù)結(jié)點，無法找到該結(jié)點之前的其它結(jié)點。而在單循環(huán)鏈表中,從任一結(jié)點出發(fā)都可訪問到表中所有結(jié)點，這一優(yōu)點使某些運算在單循環(huán)鏈表上易于實現(xiàn)。14.雙向鏈表:雙（向）鏈表中有兩條方向不同的鏈，即每個結(jié)點中除next域存放后繼結(jié)點地址外，還增長一個指向其直接前趨的指針域ｐｒior。①雙鏈表由頭指針hｅａd惟一擬定的。

②帶頭結(jié)點的雙鏈表的某些運算變得方便。

③將頭結(jié)點和尾結(jié)點鏈接起來，為雙(向）循環(huán)鏈表。

15.雙向鏈表的前插和刪除本結(jié)點操作①雙鏈表的前插操作vｏidＤIｎsertBefore(DListＮode＊p,ＤataTｙpex){//在帶頭結(jié)點的雙鏈表中,將值為x的新結(jié)點插入*p之前,設(shè)p≠NULL

DLｉstＮｏde＊s＝mａlloc(sizeof(DLiｓtNode））;／／①?

s-＞ｄａt(yī)a＝x;／／②?

s->prior=ｐ->prior;／/③?

s-＞next＝ｐ;//④

p-＞prior－＞next=s;//⑤

p－>prior=s；//⑥}?②雙鏈表上刪除結(jié)點*p自身的操作?ｖｏidＤDeｌeteNｏde(DLｉstNode*p)?

｛//在帶頭結(jié)點的雙鏈表中，刪除結(jié)點＊p,設(shè)＊p為非終端結(jié)點?

p->ｐｒior->ｎｅxt=p-＞neｘt；/／①?

ｐ－>nｅxt->prior＝ｐ->prior;//②

free（p）;}/／③

與單鏈表上的插入和刪除操作不同的是，在雙鏈表中插入和刪除必須同時修改兩個方向上的指針。上述兩個算法的時間復(fù)雜度均為Ｏ（1)。順序表和鏈表比較時間性能：ａ、線性表:經(jīng)常性的查找；b、鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)：經(jīng)常插入刪除操作;空間性能:a、對數(shù)據(jù)量大小事先可以知道的用線性表;b、數(shù)據(jù)量變化較大的用鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)。存儲密度越大,存儲空間的運用率越高。顯然,順序表的存儲密度是１，鏈表的存儲密度肯定小于１。第三章棧和隊列１．棧稱為后進先出（LastInＦｉrstOｕｔ）的線性表，簡稱為ＬIFO表。?棧是運算受限的線性表，順序棧也是用數(shù)組表達的。?進棧操作：進棧時，需要將S-＞toｐ加1，①Ｓ-＞top＝=SｔackＳize－1表達棧滿②"上溢"現(xiàn)象－－當(dāng)棧滿時,再做進棧運算產(chǎn)生空間溢出的現(xiàn)象。

退棧操作：退棧時,需將S-＞top減１,①S-＞tｏp＜０表達空棧②"下溢"現(xiàn)象--當(dāng)棧空時，做退棧運算產(chǎn)生的溢出現(xiàn)象。

下溢是正?，F(xiàn)象,常用作程序控制轉(zhuǎn)移的條件?？諚r棧頂指針不能是0，只能是-1。兩個棧共享同一存儲空間:當(dāng)程序中同時使用兩個棧時，可以將兩個棧的棧底分別設(shè)在順序存儲空間的兩端,讓兩個棧頂各自向中間延伸。當(dāng)一個棧中的元素較多而棧使用的空間超過共享空間的一半時，只要另一個棧的元素不多，那么前者就可以占用后者的部分存儲空間。當(dāng)Ｔop1=Tｏp2-1時，棧滿

2．為了克服順序存儲分派固定空間所產(chǎn)生的溢出和空間浪費問題?？刹捎面?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)來存儲棧。鏈棧是沒有附加頭結(jié)點的運算受限的單鏈表。棧頂指針就是鏈表的頭指針。鏈棧中的結(jié)點是動態(tài)分派的,所以可以不考慮上溢,無須定義StaｃkFuｌl運算棧的一個重要應(yīng)用是實現(xiàn)遞歸,直接調(diào)用自己或間接調(diào)用自己的函數(shù)。３.隊列(Ｑueｕe）是只允許在一端進行插入,而在另一端進行刪除的運算受限的線性表。允許刪除的一端稱為隊頭(Fｒont),允許插入的一端稱為隊尾（Reａr)，當(dāng)隊列中沒有元素時稱為空隊列,隊列亦稱作先進先出（ＦirsｔInFｉrsｔOut）的線性表，簡稱為FＩFO表。隊列的順序存儲結(jié)構(gòu)稱為順序隊列,順序隊列事實上是一個受限的線性表。

順序隊列的基本操作

①入隊時：將新元素插入rear所指的位置,然后將rear加1。

②出隊時：刪去front所指的元素,然后將frｏnｔ加1并返回被刪元素。當(dāng)頭尾指針相等時，隊列為空。

在非空隊列里，頭指針始終指向隊頭元素，而隊尾指針始終指向隊尾元素的下一位置。而棧頂指針指向棧頂元素。循環(huán)隊列：為充足運用數(shù)組空間，克服上溢，可將數(shù)組空間想象為一個環(huán)狀空間,并稱這種環(huán)狀數(shù)組表達的隊列為循環(huán)隊列。循環(huán)隊列中進行出隊、入隊操作時，頭尾指針仍要加1,朝前移動。只但是當(dāng)頭尾指針指向向量上界(QuｅueSｉzｅ-1)時，其加1操作的結(jié)果是指向向量的下界0。這種循環(huán)意義下的加１操作可以描述為:①方法一：?

if（ｉ+1＝＝QuｅueＳｉze)i=0;//ｉ表達froｎt或reaｒ?

elｓｅｉ++;?②方法二-－運用"模運算＂?

i＝(i＋1)%ＱueuｅＳiｚｅ；循環(huán)隊列中,由于入隊時尾指針向前追趕頭指針;出隊時頭指針向前追趕尾指針，導(dǎo)致隊空和隊滿時頭尾指針均相等。因此,無法通過條件Q.ｆｒont==Ｑ.reａr來判別隊列是"空＂還是"滿"。解決這個問題的方法至少有三種：?①另設(shè)一個標(biāo)志位以區(qū)別隊列是空還是滿；?②設(shè)立一個計數(shù)器記錄隊列中元素的總數(shù)(即隊列長度)。?③少用一個元素的空間。約定入隊前，測試尾指針在循環(huán)意義下加1后是否等于頭指針,若相等則認(rèn)為隊列滿即尾指針Q.rear所指的單元始終為空。 ５.循環(huán)隊列的基本運算:①置隊空:Q－>fronｔ=Q－>rear=0;②判隊空:returｎQ－＞ｒeａr==Q－>front;③判隊滿:retｕrｎ(Ｑ->ｒeaｒ+1)%ＱueueＳizｅ==Q->frｏnｔ;④入隊Q->data[Q->rear］＝x;

//新元素插入隊尾?Q-＞rｅar＝（Q->reaｒ+1）％QuｅuｅSize；

⑤出隊ｔｅmp=Q->daｔa[Q-＞ｆrｏnt];?Ｑ－＞front=(Ｑ->fｒont+１)%QueｕeSiｚe;

／/循環(huán)意義下的頭指針加１

returｎtｅmｐ;⑥取隊頭元素returnQ－>dａｔa［Q－＞froｎt];隊列的鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)簡稱為鏈隊列。它是限制僅在表頭刪除和表尾插入的單鏈表。為了簡化解決，在隊頭結(jié)點之前附加一個頭結(jié)點，并設(shè)隊頭指針指向此結(jié)點。鏈隊列的基本運算:(帶頭結(jié)點)(1)構(gòu)造空隊:Q->rｅａr＝Q->fｒonｔ;Q－>ｒeａｒ->nｅｘt=ＮUＬL;（2）判隊空:returnQ－>reａr==Q->front;（３）入隊：ＱueueNｏde*p=(QueｕeNoｄe*）ｍalloｃ（sizｅof(ＱｕeｕeNode)）;／/申請新結(jié)點

p-＞dａt(yī)a=ｘ;

ｐ->nｅｘｔ=NULＬ;?

Q->ｒeａｒ->next=ｐ；

//＊ｐ鏈到原隊尾結(jié)點后?

Q->rｅaｒ=p;

／／隊尾指針指向新的尾（4）出隊：當(dāng)隊列長度大于1時,只需修改頭結(jié)點指針，尾指針不變

s=Q->fｒｏｎt->next；Q->fｒont－＞next=s->nｅxt；x＝s->datａ;fｒee(s);rｅｔuｒnｘ；當(dāng)隊列長度等于１時，不僅要修改頭結(jié)點指針，還要修改尾指針s＝Q－>front-＞neｘt;Q->fｒont－>nｅｘｔ=ＮULＬ;Q－>rear=＝Ｑ－>ｆronｔ；x＝s－>data；frｅe（ｓ)；ｒeturnx；（5)取隊頭元素：returnQ->fｒont->ｎext->data;由于有頭結(jié)點，所以用了ｎeｘｔ①和鏈棧類似,無須考慮判隊滿的運算及上溢。②在出隊算法中,一般只需修改隊頭指針。但當(dāng)原隊中只有一個結(jié)點時,該結(jié)點既是隊頭也是隊尾，故刪去此結(jié)點時亦需修改尾指針,且刪去此結(jié)點后隊列變空。7.用計算機來解決計算算術(shù)表達式問題,一方面要解決的問題是如何將人們習(xí)慣書寫的中綴表達式轉(zhuǎn)換成后綴表達式。第四章多維數(shù)組和廣義表1.數(shù)組的順序存儲方式:一般采用順序存儲方法表達數(shù)組。(１)行優(yōu)先順序

ａ11,a1２,…，a1n,a21，a22,…，ａ2n,……，aｍ1,ａm2,…，aｍn（２）列優(yōu)先順序

ａ11,a２1，…,aｍ1，ａ12,a2２,…,am2，……，a1n，a2ｎ,…,aｍｎＰａscal和C語言是按行優(yōu)先順序存儲的,而Forｔｒan語言是按列優(yōu)先順序存儲的。按行優(yōu)先順序存儲的二維數(shù)組Amn地址計算公式?LＯC（aiｊ)＝LOC(ａ１1）+[(i-1)×n＋j-1]×ｄ（注:此公式下界為1,如下界為０,則公式變?yōu)閇ｉ×n+j])按列優(yōu)先順序存儲的二維數(shù)組Amｎ地址計算公式

LOＣ(aij）=LOC(a11)+[(j-1)×m＋i-1]×d(注：此公式下界為1，如下界為0，則公式變?yōu)椋踛×ｍ＋ｉ])按行優(yōu)先順序存儲的三維數(shù)組Amｎp地址計算公式

LOC（aijk)=LＯＣ（a11１)+[(ｉ-1）×n×p+(j－1)×p+k-１]×d(注：此公式下界為1，如下界為0，則公式變?yōu)閇i×n×ｐ+j×p＋k])2.為了節(jié)省存儲空間,可以對矩陣中有許多值相同或值為零的元素的矩陣，采用壓縮存儲。特殊矩陣是指相同值的元素或零元素在矩陣中的分布有一定的規(guī)律。常見的有對稱矩陣、三角矩陣。(1)對稱矩陣在一個n階方陣A中，若元素滿足下述性質(zhì):

ａij=ａｊi0≤i,j≤n－1稱為n階對稱矩陣，它的元素是關(guān)于主對角線對稱的，所以只需要存儲矩陣上三角或下三角元素即可,讓兩個對稱的元素共享一個存儲空間。矩陣元素aiｊ和數(shù)組元素sa【k】之間的關(guān)系是k=i×(ｉ+１)/2＋ji≥j0≤k<n（ｎ+1)/2-１k=j×(j＋1）/２+ii<ｊ0≤k<n(n+1)／2-1對稱矩陣的地址計算公式：LOＣ(ａij）=LOC(ｓa[0])+[I×(I+1）/２+Ｊ]×d，其中Ｉ=ｍax（i,j)，Ｊ＝mｉn（i，j)（2）三角矩陣:以主對角線劃分,三角矩陣有上三角和下三角兩種。上三角矩陣是指它的下三角(不涉及主角線)中的元素均為常數(shù)c或零;下三角矩陣的主對角線上方均為常數(shù)ｃ或零。一般情況，三角矩陣的常數(shù)c均為零。三角矩陣的壓縮存儲:三角矩陣中的反復(fù)元素ｃ可共享一個存儲空間，其余的元素正好有n×(ｎ+1)/２個,因此,三角矩陣可壓縮存儲在一維數(shù)組sa[n(ｎ+1)／２+１]中，其中c存放在數(shù)組的最后一個元素中。①上三角矩陣中ａｉｊ和sa［k]之間的相應(yīng)關(guān)系k=i×(2n-i+１)/2＋j-i當(dāng)i≤ｊk=n×（ｎ＋１)／２當(dāng)i>ｊ②下三角矩陣中aij和sa[k］之間的相應(yīng)關(guān)系k=i×(ｉ+1)/2＋j當(dāng)i≥jk=n×(n+1）/2當(dāng)ｉ<j三角矩陣的壓縮存儲結(jié)構(gòu)是隨機存取結(jié)構(gòu)。３.稀疏矩陣:設(shè)矩陣Ａmn中有s個非零元素，若s遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于矩陣元素的總數(shù)，則稱A為稀疏矩陣。為了節(jié)省存儲單元,可用壓縮存儲方法只存儲非零元素。由于非零元素的分布一般是沒有規(guī)律的，因此在存儲非零元素的同時,還必須存儲非零元素所在的行、列位置,所以可用三元組(i,j，aij)來擬定非零元素。稀疏矩陣進行壓縮存儲通常有兩類方法：順序存儲(三元組表)和鏈?zhǔn)酱鎯?十字鏈表)。稀疏矩陣的壓縮存儲會失去隨機存取功能。4．廣義表是線性表的推廣,又稱列表。廣義表是n(n≥0)個元素ａ1,a2,…,ai,…,ａn的有限序列。其中ａi或者是原子或者是一個廣義表。

①廣義表通常用圓括號括起來，用逗號分隔其中的元素。?

②為了區(qū)分原子和廣義表，書寫時用大寫字母表達廣義表,用小寫字母表達原子。

③若廣義表Ｌｓ非空(ｎ≥１)，則aｌ是LS的表頭，其余元素組成的表(a1，a2，…，an)稱為Ls的表尾。?

④廣義表具有遞歸和共享的性質(zhì)廣義表的深度：一個表展開后所含括號的層數(shù)稱為廣義表的深度。１9.廣義表是一種多層次的線性結(jié)構(gòu),事實上這就是一種樹形結(jié)構(gòu)。廣義表的兩個特殊的基本運算:取表頭ｈeaｄ(Ls)和取表尾tail（Ls).任何一個非空廣義表的表頭可以是原子，也可以是子表,而其表尾必然是子表。?

head＝(a，b)=a，tａil(a，b)=（b)

對非空表Ａ和（y),也可繼續(xù)分解。

注意:廣義表(）和((）)不同。前者是長度為０的空表,對其不能做求表頭和表尾的運算;而后者是長度為l的由空表作元素的廣義表,可以分解得到的表頭和表尾均是空表()。廣義表是一種有層次的非線性結(jié)構(gòu),通常采用鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu),每個元素用一個結(jié)點表達，結(jié)點由3個域構(gòu)成,其中一個是tag標(biāo)志位,用來區(qū)分結(jié)點是原子還是子表，當(dāng)tａｇ為零時結(jié)點是子表，第二個域為slｉnk,用以存放子表的地址；當(dāng)tａg為1時結(jié)點是原子，第二個域為ｄatａ，用以存放元素值。第五章樹和二叉樹1.樹的表達法:最常用的是樹形圖表達法;尚有3種嵌套集合、凹形、廣義表。樹結(jié)構(gòu)的基本術(shù)語

（1)結(jié)點的度(Degreｅ)

樹中的一個結(jié)點擁有的子樹數(shù)稱為該結(jié)點的度(Dｅgｒｅe）。一棵樹的度是指該樹中結(jié)點的最大度數(shù)。?

度為零的結(jié)點稱為葉子（Leaf)或終端結(jié)點。度不為零的結(jié)點稱分支結(jié)點或非終端結(jié)點。?

除根結(jié)點之外的分支結(jié)點統(tǒng)稱為內(nèi)部結(jié)點。根結(jié)點又稱為開始結(jié)點。?（２)①途徑（ｐatｈ）若樹中存在一個結(jié)點序列ｋ1，ｋ２，…,kｉ,使得ｋｉ是ki+１的雙親（１≤i<j），則稱該結(jié)點序列是從kl到kj的一條途徑(Path)。?一個結(jié)點的祖先是從根結(jié)點到該結(jié)點途徑上所通過的所有結(jié)點，而一個結(jié)點的子孫則是以該結(jié)點為根的子樹中的所有結(jié)點。

結(jié)點的層數(shù)（Leｖel)從根起算：根的層數(shù)為1,其余結(jié)點的層數(shù)等于其雙親結(jié)點的層數(shù)加１。?

雙親在同一層的結(jié)點互為堂兄弟。

樹中結(jié)點的最大層數(shù)稱為樹的高度(Ｈeigｈt)或深度(Depth)。

若將樹中每個結(jié)點的各子樹當(dāng)作是從左到右有順序的（即不能互換）,則稱該樹為有序樹（ＯrdeｒeｄTreｅ)；否則稱為無序樹（UnoｄeredTreｅ)。若不特別指明,一般討論的樹都是有序樹。

森林(Forｅst)是ｍ（m≥0)棵互不相交的樹的集合。樹和森林的概念相近。刪去一棵樹的根,就得到一個森林;反之，加上一個結(jié)點作樹根,森林就變?yōu)橐豢脴?。?二叉樹與度數(shù)為2的有序樹不同：在有序樹中,雖然一個結(jié)點的孩子之間是有左右順序的，但是若該結(jié)點只有一個孩子,就無須區(qū)分其左右順序。而在二叉樹中,即使是一個孩子也有左右之分。二叉樹的性質(zhì)：性質(zhì)1二叉樹第i層上的結(jié)點數(shù)目最多為2i-１(i≥1)。例如5層的二叉樹,第５層上的結(jié)點數(shù)目最多為24=16性質(zhì)2深度為k的二叉樹至多有２ｋ－1個結(jié)點（k≥1)。例如深度為5的二叉樹，至多有25-1=31個結(jié)點性質(zhì)３在任意－棵二叉樹中，若終端結(jié)點的個數(shù)為n0,度為2的結(jié)點數(shù)為n２，則nｏ=n２+1。例如一棵深度為4的二叉樹（a），其終端結(jié)點數(shù)n0為８,度為2的結(jié)點樹為７,則８=7+1,ｎo=ｎ2+1成立(ｂ)其終端結(jié)點數(shù)ｎ0為6,度為2的結(jié)點樹為５，則６＝５+1，no=n２+1成立滿二叉樹：一棵深度為k且有２k－1個結(jié)點的二又樹稱為滿二叉樹。滿二叉樹的特點:（1）每一層上的結(jié)點數(shù)都達成最大值。即對給定的高度,它是具有最多結(jié)點數(shù)的二叉樹。（2)滿二叉樹中不存在度數(shù)為1的結(jié)點,每個分支結(jié)點均有兩棵高度相同的子樹,且樹葉都在最下一層上。完全二叉樹:若一棵深度為k的二叉樹,其前ｋ-1層是一棵滿二叉樹,而最下面一層上的結(jié)點都集中在該層最左邊的若干位置上，則此二叉樹稱為完全二叉樹。特點:

(1）滿二叉樹是完全二叉樹,完全二叉樹不一定是滿二叉樹。

（2)在滿二叉樹的最下一層上，從最右邊開始連續(xù)刪去若干結(jié)點后得到的二叉樹仍然是一棵完全二叉樹。?

（3)在完全二叉樹中,若某個結(jié)點沒有左孩子,則它一定沒有右孩子,即該結(jié)點必是葉結(jié)點。性質(zhì)4

具有n個結(jié)點的完全二叉樹的深度為。?lｏｇｎ?＋1或?ｌｏg(ｎ+1）?例，具有1００個結(jié)點的完全二叉樹的深度為:?lg10０?+1=7,26＝6４27=１２8所以?lｇ1００?=6 ,?lg(１00＋1)?=７?4.完全二叉樹的編號特點：完全二叉樹中除最下面一層外,各層都充滿了結(jié)點。每一層的結(jié)點個數(shù)恰好是上一層結(jié)點個數(shù)的2倍。從一個結(jié)點的編號就可推得其雙親,左、右孩子等結(jié)點的編號。編號從0開始①若i=0，則qｉ為根結(jié)點,無雙親;否則,ｑi的雙親編號為?（i-1）／2?。②若２i+1<n，則qｉ的左孩子的編號是2i＋1;否則,ｑｉ無左孩子,即ｑi必然是葉子。③若2i+2<n，則ｑｉ的右孩子的編號是2i+２;否則,ｑi無右孩子。對于完全二叉樹而言，使用順序存儲結(jié)構(gòu)既簡樸又節(jié)省存儲空間。但對于一般二叉樹來說，采用順序存儲時,為了使用結(jié)點在數(shù)組中的相對位置來表達結(jié)點之間的邏輯關(guān)系，就必須增長一些虛結(jié)點使其成為完全二叉樹的形式。5.鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu):二叉樹的每個結(jié)點最多有兩個孩子。用鏈接方式存儲二叉樹時，每個結(jié)點除了存儲結(jié)點自身的數(shù)據(jù)外，還應(yīng)設(shè)立兩個指針域lchilｄ和rｃｈilｄ,分別指向該結(jié)點的左孩子和右孩子。結(jié)點的結(jié)構(gòu)為：二叉鏈表是一種常用的二叉樹存儲結(jié)構(gòu)。建立二叉鏈表方法：ａ、按廣義表方法，靠近左括號的結(jié)點是在左子樹上,而逗號右邊結(jié)點是在右子樹上。b、按完全二叉樹的層次順序建立結(jié)點。具有ｎ個結(jié)點的二叉鏈表中,共有2ｎ個指針域。其中有n-1個用來指示結(jié)點的左、右孩子,其余的ｎ+1個為空。二叉樹遍歷算法中的遞歸終止條件是二叉樹為空。中序遍歷的遞歸算法定義：(1）遍歷左子樹；(2)訪問根結(jié)點；(3)遍歷右子樹。先序遍歷的遞歸算法定義:(1)訪問根結(jié)點;(２）遍歷左子樹;（3）遍歷右子樹。后序遍歷得遞歸算法定義：（１)遍歷左子樹；(2）遍歷右子樹；(3)訪問根結(jié)點。遞歸工作棧中涉及兩項：一項是遞歸調(diào)用的語句編號,另一項則是指向根結(jié)點的指針。已知一棵二叉樹的前序和中序遍歷序列或中序和后序遍歷序列,可唯一擬定一棵二叉樹。具體方法如下：一方面根據(jù)前序或后序遍歷序列擬定二叉樹的各子樹的的根,然后根據(jù)中序遍歷序列擬定各子樹根的左右子樹。6.線索二叉樹：ｎ個結(jié)點的二叉鏈表必然存在ｎ+1個空指針域，可以運用這些空指針域,存放指向結(jié)點在某種遍歷順序下的前趨和后繼結(jié)點的指針，這種指向前驅(qū)和后繼結(jié)點的指針稱為＂線索＂，這種加上線索的二叉鏈表稱為線索鏈表,相應(yīng)的二叉樹稱為線索二叉樹(Threaded

BinaｒyＴｒｅｅ）。線索鏈表的結(jié)點結(jié)構(gòu):其中:ｌｔag和ｒtag是增長的兩個標(biāo)志域,用來區(qū)分結(jié)點的左、右指針域是指向其左、右孩子的指針，還是指向其前趨或后繼的線索。

?

??

圖中的實線表達指針,虛線表達線索。線索二叉樹中,一個結(jié)點是葉結(jié)點的充要條件為:左、右標(biāo)志均是1。7．二叉樹的線索化:把對一棵二叉線索鏈表結(jié)構(gòu)中所有結(jié)點的空指針域按照某種遍歷順序加線索的過程稱為線索化。和中序遍歷算法同樣,遞歸過程中對每結(jié)點僅做一次訪問。因此對于n個結(jié)點的二叉樹，線索化的算法時間復(fù)雜度為O(ｎ)。8．樹、森林到二叉樹的轉(zhuǎn)換：樹中每個結(jié)點最多只有一個最左邊的孩子（長子)和一個右鄰的兄弟。將樹轉(zhuǎn)換成二叉樹：①在所有兄弟結(jié)點之間加一道連線;②對每個結(jié)點,除了保存與其長子的連線外,去掉該結(jié)點與其它孩子的連線。由于樹根沒有兄弟,故樹轉(zhuǎn)化為二叉樹后，二叉樹的根結(jié)點的右子樹必為空。將一個森林轉(zhuǎn)換為二叉樹:將森林中的每棵樹轉(zhuǎn)化成二叉樹,然后再將二叉樹的根節(jié)點看做兄弟連在一起，形成一棵二叉樹

9．二叉樹到樹、森林的轉(zhuǎn)換：方式是:若二叉樹中結(jié)點ｘ是雙親y的左孩子，則把ｘ的右孩子,右孩子的右孩子,…,都與ｙ用連線連起來,最后去掉所有雙親到右孩子的連線。１0.樹的存儲結(jié)構(gòu)：1.雙親表達法:雙親鏈表表達法運用樹中每個結(jié)點的雙親唯一性，在存儲結(jié)點信息的同時，為每個結(jié)點附設(shè)一個指向其雙親的指針parenｔ，惟一地表達任何-棵樹。(１)雙親鏈表表達法的實現(xiàn)分析:E和F所在結(jié)點的雙親域是１，它們的雙親結(jié)點在向量中的位置是1，即B是它們的雙親。?

注意:①根無雙親，其ｐａrent域為－１。

②雙親鏈表表達法中指針paｒｅnt向上鏈接，適合求指定結(jié)點的雙親或祖先(涉及根）;求指定結(jié)點的孩子或其它后代時，也許要遍歷整個數(shù)組。2．孩子鏈表法:孩子鏈表表達法是為樹中每個結(jié)點設(shè)立一個孩子鏈表，并將這些結(jié)點及相應(yīng)的孩子鏈表的頭指針存放在一個向量中。注意:①孩子結(jié)點的數(shù)據(jù)域僅存放了它們在向量空間的序號。?

②與雙親鏈表表達法相反,孩子鏈表表達便于實現(xiàn)涉及孩子及其子孫的運算，但不便于實現(xiàn)與雙親有關(guān)的運算。

③將雙親鏈表表達法和孩子鏈表表達法結(jié)合起來,可形成雙親孩子鏈表表達法。3.孩子兄弟表達法：在存儲結(jié)點信息的同時,附加兩個分別指向該結(jié)點最左孩子和右鄰兄弟的指針域，即可得樹的孩子兄弟鏈表表達。注意：?

這種存儲結(jié)構(gòu)的最大優(yōu)點是：它和二叉樹的二叉鏈表表達完全同樣?？蛇\用二叉樹的算法來實現(xiàn)對樹的操作。

１１.樹的遍歷：一般都只給出兩種順序遍歷樹的方法:前序(先根順序)遍歷和后序(后根順序)遍歷。①前序遍歷一棵樹等價于前序遍歷該樹相應(yīng)的二叉樹

②后序遍歷一棵樹等價于中序遍歷該樹相應(yīng)的二叉樹。

對下面(a）圖中所示的森林進行前序遍歷和后序遍歷，則得到該森林的前序序列和后序序列分別為ABＣＤEFIGJH和ＢDCAIFJGHＥ。而(b)圖所示二叉樹的前序序列和中序序列也分別為ABCDEFIGJH和BＤCＡIFJGＨE。前序遍歷森林等同于前序遍歷該森林相應(yīng)的二叉樹后序遍歷森林等同于中序遍歷該森林相應(yīng)的二叉樹12.從根結(jié)點到某結(jié)點之間的途徑長度與該結(jié)點上權(quán)的乘積稱為該結(jié)點的帶權(quán)途徑長度,樹種所有葉子結(jié)點的帶權(quán)途徑長度之和稱為樹的帶權(quán)途徑長度。帶權(quán)途徑長度WPL最小的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優(yōu)二叉樹。哈夫曼樹不一定是二叉樹。哈夫曼樹又稱為最優(yōu)樹,是一類帶權(quán)途徑長度最短的樹。完全二叉樹就是這種途徑長度最短的二叉樹。①只有葉結(jié)點上的權(quán)值均相同時,完全二叉樹一定是最優(yōu)二叉樹,否則完全二叉樹不一定是最優(yōu)二叉樹。

②最優(yōu)二叉樹中,權(quán)越大的葉子離根越近。③最優(yōu)二叉樹的形態(tài)不唯一，WＰL最小。１３.哈夫曼算法:基本思想是：(1）根據(jù)給定的n個權(quán)值wl,w２，…,wn構(gòu)成n棵二叉樹的森林F=｛Ｔ1,T2,…,Tn}，其中每棵二叉樹Ｔi中都只有一個權(quán)值為wi的根結(jié)點,其左右子樹均空。

(２)在森林F中選出兩棵根結(jié)點權(quán)值最小的樹(當(dāng)這樣的樹不止兩棵樹時，可以從中任選兩棵),將這兩棵樹合并成一棵新樹,為了保證新樹仍是二叉樹,需要增長一個新結(jié)點作為新樹的根，并將所選的兩棵樹的根分別作為新根的左右孩子(誰左,誰右無關(guān)緊要）,將這兩個孩子的權(quán)值之和作為新樹根的權(quán)值。

(3)對新的森林F反復(fù)(2)，直到森林F中只剩下一棵樹為止。這棵樹便是哈夫曼樹。

注意:①初始森林中的n棵二叉樹,每棵樹有一個孤立的結(jié)點，它們既是根,又是葉子?

②ｎ個葉子的哈夫曼樹要通過n-1次合并,產(chǎn)生n－1個新結(jié)點。最終求得的哈夫曼樹中共有2ｎ-1個結(jié)點。?

③哈夫曼樹是嚴(yán)格的二叉樹，沒有度數(shù)為1的分支結(jié)點。1４.哈夫曼編碼:數(shù)據(jù)壓縮過程稱為編碼，反之,解壓縮的過程稱為解碼。設(shè)計一種長短不等的編碼，則必須保證任一字符的編碼都不是另一個字符編碼的前綴,這種編碼稱為前綴編碼?？梢赃\用二叉樹來設(shè)計二進制的前綴編碼，其左分支表達字符0,右分支表達字符1，則以根結(jié)點到葉結(jié)點途徑上的分支字符組成的串作為該葉節(jié)點的字符編碼。因此設(shè)計電文總長最短的二進制前綴編碼,就是以ｎ種字符出現(xiàn)的頻率作為權(quán)構(gòu)造一棵哈夫曼樹,由哈夫曼樹求得的編碼就是哈夫曼編碼。譯碼過程是從樹根結(jié)點出發(fā),逐個讀入電文中的二進制碼。第六章圖1.圖G由兩個集合構(gòu)成，頂點集合和邊集合,也可以圖G只有頂點而沒有邊。用尖括號表達圖的有向邊＜vi,vj>,有向邊又稱為弧,起點稱為弧尾,終點稱為弧頭。無向圖的頂點對用圓括號表達（vｉ，vｊ)。在無向圖中，稱ｖi和vｊ相鄰接，在有向圖中稱頂點vi鄰接到vj，頂點vｊ鄰接于vi在無向圖中,n的取值范圍是0－n(n-１)/2，將具有n(n－1）/2條邊的無向圖稱為無向完全圖。在有向圖中,n的取值范圍是0-n(n-1)，將具有n(n-1)條邊的有向圖稱為有向完全圖。無向圖中,頂點的度定義為以該頂點為一個端點的邊的數(shù)目，有向圖的度等于出度和入度之和。在無向圖中,任意兩頂點都有途徑,則稱兩頂點連通。若圖G中的任意兩個頂點都連通，稱Ｇ為連通圖。無向圖的極大連通子圖稱為連通分量，顯然，任何連通圖的連通分量只有一個,即其自身，而非連通的無向圖有多個連通分量。在有向圖中,圖G中任意兩頂點連通，稱為強連通圖，極大連通子圖稱為強連通分量。若在一個圖的每條邊上標(biāo)上某種數(shù)值，該數(shù)值稱為該邊的權(quán)。邊上帶權(quán)的圖稱為帶權(quán)圖,帶權(quán)的連通圖稱為網(wǎng)絡(luò)。2.圖的存儲結(jié)構(gòu)：鄰接矩陣和鄰接表表達法。圖的頂點編號從0開始。鄰接矩陣表達法：<vi,vj>或（vi,vj)是邊，則值為1，不是邊則值為０。無向圖的鄰接矩陣是按主對角線對稱的。若G是帶權(quán)圖，只要把1換成相應(yīng)邊上的權(quán)值即可,０的位置上可以不動或?qū)⑵鋼Q成無窮大表達。無向圖的鄰接矩陣表達法可以僅存儲主對角線以下的元素,時間復(fù)雜度為Ｏ(n2）鄰接表表達法:鄰接表是圖的一種鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)。將無向圖的鄰接表稱為邊表,將有向圖的鄰接表稱為出邊表，將鄰接表的表頭向量稱為頂點表。若無向圖有n個頂點和e條邊，則它的鄰接表共有n個頭結(jié)點和２e個表結(jié)點。建立鄰接表的時間復(fù)雜度是Ｏ(ｎ+e）。圖的鄰接表表達不是唯一的,這是由于在每個頂點的鄰接表中,各邊結(jié)點的鏈接順序可以是任意的,其具體鏈接順序與邊的輸入順序和生成算法有關(guān)。3．圖的遍歷:遍歷圖的算法是求解圖的連通性、圖的拓?fù)渑判虻人惴ǖ幕A(chǔ)。圖的遍歷常用的是深度優(yōu)先搜索遍歷和廣度優(yōu)先搜索遍歷兩種方法。深度優(yōu)先搜索遍歷(DFS)類似于前序(先根)遍歷。按訪問頂點的先后順序得到的頂點序列稱為圖的深度優(yōu)先遍歷序列,或簡稱為DFＳ序列。共需要搜索n2個矩陣元素，時間復(fù)雜度為鄰接矩陣O(n2)或鄰接表O(ｎ＋e）。廣度優(yōu)先搜索遍歷(ＢＦS)類似于樹的按層次遍歷,先被訪問的頂點,其鄰接點也先被訪問，就是先進先出。時間復(fù)雜度為鄰接矩陣O(n2）或鄰接表Ｏ（n+e)，空間復(fù)雜度都是O(n）。4．生成樹是連通圖的包含圖中所有頂點的一個極小連通子圖，一個圖的極小連通子圖恰為一個無回路的連通圖，也就是說，若圖中任意添加一條邊，就會出現(xiàn)回路，若去掉任意一條邊，都會使之成為非連通圖。因此,一個具有n個頂點的生成樹有且僅有n-1條邊,但有n-1條邊的圖不一定是生成樹，同一個圖可以有不同的生成樹。生成樹定義為：若從圖的某頂點出發(fā)，可以系統(tǒng)的訪問到圖的所有頂點，則遍歷時通過的邊和圖的所有頂點所構(gòu)成的子圖,稱為該圖的生成樹。最小生成樹：圖的生成樹不唯一，把權(quán)值最小的生成樹稱為最小生成樹(MST）。構(gòu)造最小生成樹的算法：普里姆Prim算法的時間復(fù)雜度為O(ｎ２）與網(wǎng)中邊數(shù)無關(guān)適于稠密圖。克魯斯卡爾Ｋruskal算法的時間復(fù)雜度為Ｏ（elogｅ),重要取決于邊數(shù),較適合于稀疏圖。5.最短途徑：Dｉｊｋｓtrａ迪杰斯特拉算法，提出了按途徑長度遞增的順序產(chǎn)生諸頂點的最短途徑算法。拓?fù)渑判?子工程稱為活動,頂點代表活動，有向邊代表活動的先后關(guān)系。這樣的有向無環(huán)圖DAG稱為頂點活動網(wǎng),簡稱為AＯＶ網(wǎng)。將有向無環(huán)圖G中所有頂點排成一個線性序列,若<ｕ，ｖ＞∈E（Ｇ）,則在線性序列u在ｖ之前,這種線性序列稱為拓?fù)湫蛄?。由AOＶ網(wǎng)構(gòu)造拓?fù)湫蛄械倪^程稱為拓?fù)渑判颉z測的方法是:對有向圖構(gòu)造其頂點的拓?fù)湫蛄?，若網(wǎng)中所有頂點都在他的拓?fù)湫蛄兄?則ＡOV網(wǎng)必然不存在環(huán)。ＡOV網(wǎng)的拓?fù)湫蛄胁皇俏ㄒ坏?。拓?fù)渑判虻拿枋鏊枷?a、在有向圖中選一個沒有前趨(入度為零)的頂點,且輸出之。ｂ、從有向圖中刪除該頂點及其與該頂點有關(guān)的所有邊。c、反復(fù)上述環(huán)節(jié),直到所有頂點都已輸出或圖中剩余的頂點中沒有前趨頂點為止。ｄ、輸出剩余的無前趨結(jié)點。拓?fù)渑判蚴聦嵣鲜菍︵徑颖肀磉_的圖Ｇ進行遍歷的過程。時間復(fù)雜度是Ｏ(n+ｅ)。第七章排序１.假如待排序文獻中存在多個關(guān)鍵字相同的記錄,通過排序后,這些具有相同關(guān)鍵字的記錄之間的相對順序保持不變,該排序方法是穩(wěn)定的；反之，則是不穩(wěn)定的。排序在內(nèi)存中解決,不涉及數(shù)據(jù)的內(nèi)外存互換，稱為內(nèi)部排序，反之為外部排序。內(nèi)部排序又分為五類：插入、選擇、互換、歸并和分派排序。在排序過程中需進行兩種操作:比較兩個關(guān)鍵字的大小、改變指向記錄的指針或移動記錄自身，而待排序記錄的存儲形式一般有三種:順序結(jié)構(gòu)、鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)和輔助表。評價排序算法的標(biāo)準(zhǔn)：執(zhí)行算法需要的時間,以及算法所需要的附加空間。尚有算法自身的復(fù)雜度。排序的時間開銷,一般情況下可用算法中關(guān)鍵字的比較次數(shù)和記錄的移動次數(shù)來衡量。2.插入排序:每次將一個待排序記錄按其關(guān)鍵字大小插入到前面已排好序的文獻中的適當(dāng)位置。直接插入排序：每次從無序區(qū)取出第一個元素把它插入到有序區(qū)的適當(dāng)位置,使之成為新的有序區(qū)，通過ｎ-1次插入后完畢。算法中R[0］作用：保存R[ｉ]副本，監(jiān)視數(shù)組下標(biāo)變量j是否越界。所以Ｒ[0］稱為哨兵。每次的比較是從后往前比較的。時間復(fù)雜度最佳是O(n)，最壞是O(n2)，所以是Ｏ(n2)。空間復(fù)雜度O(1)，所以是就地排序。是穩(wěn)定的算法。初始情況是有序區(qū)中只有一個元素R［１]，無序區(qū)中Ｒ［２..n]。希爾排序(縮小增量排序):算法不穩(wěn)定。記錄的總比較次數(shù)和總移動次數(shù)都要比直接插入排序少得多，特別是當(dāng)ｎ越大越明顯。希爾排序的時間依賴于增量序列，最后一個增量必須是1，盡量避免增量互為倍數(shù)的情況。3．互換排序：兩兩比較待排序記錄的關(guān)鍵字,假如發(fā)現(xiàn)兩個記錄的順序相反時即進行互換,直到?jīng)]有反序位置。冒泡排序(起泡排序)：通過相鄰元素之間比較和互換,使較小移向頂部,從后往前兩兩比較。時間復(fù)雜度最佳是O(ｎ)，最壞是O（n2），所以是Ｏ（n２)。是穩(wěn)定的排序算法。快速排序（劃分互換排序):是冒泡排序的改善。比較和互換從兩端向中間進行。一趟快速排序環(huán)節(jié):設(shè)兩個指針i和j,初值分別為loｗ和ｈｉgｈ,基準(zhǔn)為x＝R[i］,一方面從j位置開始向前搜索第一個小于基準(zhǔn)x.key的記錄存入ｉ所指位置上,ｉ自增1,然后從i所指位置向后搜索找到第一個大于基準(zhǔn)x.key的記錄存入j所指位置上,ｊ自減1，反復(fù)直至i=j為止?？焖倥判蚴遣环€(wěn)定的。有非常好的時間復(fù)雜度，優(yōu)于其他各種排序算法,O(nlog２ｎ)，但是當(dāng)記錄關(guān)鍵字有序或基本有序時復(fù)雜度反而大了使之轉(zhuǎn)變成冒泡排序為Ｏ(n2)?？焖倥判蚴沁f歸的,需要一個?？臻g,空間復(fù)雜度O（log2n)。4.選擇排序：每一趟在待排序的記錄中選出關(guān)鍵字最小的記錄，依次存放在已排序好的記錄序列的最后。直接選擇排序:初始時，R[1..n]為無序區(qū),Ｒ[1]為空;第一趟是在R[1..n]中選出最小的記錄與R[1]互換,Ｒ［1］為有序區(qū)；第二趟是在R[2.．n］中選出最小的記錄與R[2］互換,R［1．.２]為有序區(qū)。時間復(fù)雜度Ｏ(n2)，是不穩(wěn)定的。初始情況是有序區(qū)為空，無序區(qū)中R[1..n］,第一趟從Ｒ[1..n］選擇最小記錄與Ｒ［1]互換。堆排序：是對直接選擇排序的改善，是一種樹形選擇排序?；舅枷耄涸谂判蜻^程中，將記錄數(shù)組R[1..n]當(dāng)作是一棵完全二叉樹的順序存儲結(jié)構(gòu),運用完全二叉樹中雙親結(jié)點和孩子結(jié)點之間的內(nèi)在關(guān)系,在當(dāng)前無序區(qū)中選擇關(guān)鍵字最大或最小記錄。每一趟排序：將當(dāng)前無序區(qū)調(diào)整為一個大根堆，選取關(guān)鍵字最大的堆頂記錄，將他和無序區(qū)中最后一個記錄互換。堆排序是一個不斷建堆的過程。構(gòu)造堆的過程:R[1]作為二叉樹的根，Ｒ[2.．n]依次逐層從左到右順序排列，構(gòu)成一棵完全二叉樹,任意結(jié)點Ｒ[ｉ]的左孩子是R[2i],右孩子是R[2ｉ+1]，雙親是R?ｉ/2?,此稱為篩選法。從?ｎ/２?開始。每一趟的時間復(fù)雜度是O(loｇ2n),整個堆排序的時間復(fù)雜度是Ｏ（nloｇ2n）。５.歸并排序：一方面將待排序文獻當(dāng)作n個長度為1的有序子文獻，把這些子文獻兩兩歸并,得到?n/2?個長度為2的有序子文獻，然后再將他們兩兩歸并，如此反復(fù)，直到得到一個長度為ｎ的有序文獻，此稱為二路歸并排序。每一趟歸并排序的時間復(fù)雜度是O（n)，所以總的時間復(fù)雜度是O(nlog２ｎ)。6.分派排序:前面方法都至少需要進行?nlogn?次比較,而分派排序?qū)r間復(fù)雜度降為O(n）。箱排序(桶排序)：基數(shù)排序：是對箱排序的改善和推廣。箱排序只合用于關(guān)鍵字取值范圍較小的情況,否則所需箱子數(shù)目太多。每個分量也許取值的個數(shù)rｄ稱為基數(shù)，基數(shù)的選擇和關(guān)鍵字的分解因關(guān)鍵字的類型而異。d趟箱排序?；鶖?shù)排序中,沒有進行關(guān)鍵字的比較和記錄的移動,而只是掃描鏈表和進行指針賦值，所以排序的時間重要用在修改指針上，初始化鏈表時間為Ｏ(ｎ)。7.內(nèi)部排序方法分析比較：本章除基數(shù)排序外,都是在順序表上實現(xiàn)的。時間復(fù)雜度空間復(fù)雜度穩(wěn)定性插入直接插入O(n2)O(1)穩(wěn)定希爾排序O(nlｏｇ２n）或Ｏ(n1.25)O（１）不穩(wěn)定互換冒泡排序Ｏ(n２)O(１）穩(wěn)定快速排序O(nｌog2n）O（loｇ2n)不穩(wěn)定選擇直接選擇Ｏ(n２)O(1)不穩(wěn)定堆排序O(nlog2n)O（1)不穩(wěn)定歸并排序歸并排序O(nｌｏg2ｎ）O(n)穩(wěn)定分派排序基數(shù)排序O(d*（rｄ+n）)ｒd是基數(shù),d是關(guān)鍵字位數(shù)．n是元素個數(shù)Ｏ(ｒｄ+n)穩(wěn)定箱排序選取排序方法時需要考慮的重要因素：a、待排序的記錄個數(shù)，b、記錄自身的大小和存儲結(jié)構(gòu),ｃ、關(guān)鍵字的分布情況,d、對排序穩(wěn)定性的規(guī)定,ｅ、時間和空間復(fù)雜度要等排序方法的選取：a、若待排序的一組記錄數(shù)目n較小(如ｎ≤５0)時，可采用插入排序或選擇排序；b、n較大時，則應(yīng)采用快速排序、堆排序或歸并排序；c、若待排序記錄按關(guān)鍵字基本有序時,則宜選用直接插入排序或冒泡排序；d、當(dāng)n很大，并且關(guān)鍵字位數(shù)較少時,采用鏈?zhǔn)交鶖?shù)排序較好；ｅ、關(guān)鍵字比較次數(shù)與記錄的初始排列順序無關(guān)的排序方法是選擇排序。一般的排序方法都可以在順序結(jié)構(gòu)上實現(xiàn),當(dāng)記錄自身信息量較大時，可采用鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)。插入、歸并、基數(shù)排序易于在鏈表上實現(xiàn)；快速排序和堆排序可以提取關(guān)鍵字建立索引表,然后對索引表進行排序。第八章：查找1.查找又稱檢索，是數(shù)據(jù)解決中經(jīng)常使用的一種重要運算。查找也分為內(nèi)查找和外查找。運算查找的重要操作是關(guān)鍵字的比較，因此把查找過程中的平均比較次數(shù)（也稱為平均查找長度)作為衡量算法效率優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。2.順序表的查找:順序查找和二分查找順序查找又稱線性查找:查找成功的平均查找長度（n＋1)/2，即約為表長的一半。假如查找成功和不成功機會相等,那么平均查找長度3（n+1)／4。優(yōu)點是簡樸，對表的結(jié)構(gòu)無任何規(guī)定，無論是順序存儲和鏈?zhǔn)酱鎯?、無論是否有序，都同樣合用,缺陷是效率低。對于有序表來說,該算法的平均查找長度是（n+1)/2。二分查找（折半查找):規(guī)定查找對象的線性表必須是順序存儲結(jié)構(gòu)的有序表。查找過程是遞歸的。樹中每個子樹的根節(jié)點相應(yīng)當(dāng)前查找區(qū)間的中位記錄Ｒ［mid]，它的左子樹和右子樹分別相應(yīng)區(qū)間的左子表和右子表,通常將此樹稱為二叉鑒定樹。由于二分查找是在有序表上進行的，所以其相應(yīng)的鑒定樹必然是一棵二叉排序樹。二叉鑒定樹一定是二叉排序樹,二叉排序樹又稱為二叉查找樹。從鑒定樹上可見，關(guān)鍵字比較的次數(shù)恰好為該結(jié)點在樹中的層數(shù)。因此,二分查找算法在查找成功時進行關(guān)鍵字比較的次數(shù)最多不超過鑒定樹的深度。查找成功時的平均查找長度（n＋1)/nlｏg２(n+1）-１,當(dāng)n很大時,可近似用ｌoｇ２(ｎ+1)－1表達。由于鑒定樹度數(shù)小于2的結(jié)點只也許在最下面的兩層,所以n個結(jié)點的鑒定樹的深度和ｎ個結(jié)點的完全二叉樹的深度相同,即為?ｌog2(ｎ+1)?。可見，二分查找的最壞性能和平均性能相稱接近。二叉鑒定樹的輸出：每次以?(low＋ｈigｈ）/2?為根建樹。3.索引順序查找(分塊查找）:是一種介于順序查找和二分查找之間的查找方法。規(guī)定分塊有序,前一塊的最大關(guān)鍵字小于后一塊的最小關(guān)鍵字,抽取各塊中的最大關(guān)鍵字及其起始位置構(gòu)成索引表。分塊查找的基本思想是：一方面查找索引表,可用二分查找或順序查找,然后在擬定的塊中進行順序查找。平均查找長度：二分查找lo