理論力學(xué)第12章 動(dòng)能定理

Theoryof

Mechanics

理論力學(xué)第十二章動(dòng)能定理自然界中物體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化

---能量（energy）間的相互轉(zhuǎn)換---熱能到機(jī)械能,機(jī)械能到電能,電能到光能(熱能）等

矢量形式

標(biāo)量形式求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題動(dòng)量定理動(dòng)能定理能量（Energy）是基本量力（力偶）和動(dòng)量（動(dòng)量矩）是基本量；動(dòng)量矩定理[學(xué)習(xí)重點(diǎn)]1、力的功的計(jì)算；2、剛體的動(dòng)能計(jì)算；3、機(jī)械效率，功率的單位。4、理想約束：純滾動(dòng)時(shí)摩擦力的功；5、動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定理的關(guān)系。6、三定理的綜合應(yīng)用第十二章動(dòng)能定理§12-1力的功

§12-2剛體的動(dòng)能計(jì)算

§12-3動(dòng)能定理

§12-4功率功率方程

§12-5機(jī)械能守恒定律

§12-6物體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題舉例

§12-1力的功力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。路程是指力其作用點(diǎn)的物體的路程。一．常力的功力的功是代數(shù)量。時(shí),正功；時(shí),功為零；時(shí),負(fù)功。單位：焦耳（Ｊ）；二．變力的功

元功：變力在曲線上所做的功等于在此段路程中所有元功的總和代入元功的表達(dá)式，得功的總和，為

上式表明，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力在任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中所作的功的代數(shù)和。三．合力的功

質(zhì)點(diǎn)M受n個(gè)力作用合力為則合力的功四．常見(jiàn)力的功

1．重力的功質(zhì)點(diǎn)系：

質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：質(zhì)點(diǎn)起止位置的高度差。

2．彈性力的功彈簧原長(zhǎng)，在彈性極限內(nèi)k—彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。N/m,N/cm。彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。若m=常量,則注意：功的符號(hào)的確定。如果作用力偶m,且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸

3．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力(力偶)的功設(shè)在繞z

軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過(guò)一角度時(shí)力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。4.任意運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功

無(wú)論剛體作何運(yùn)動(dòng)，力系的功總等于力系中所有力作功的代數(shù)和。

對(duì)剛體而言，力系的簡(jiǎn)化和等效原理對(duì)動(dòng)力學(xué)也適用。將力系向剛體上任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。由力系的等效原理，這個(gè)力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有平面運(yùn)動(dòng)剛體說(shuō)明:1.對(duì)任何運(yùn)動(dòng)的剛體,上述結(jié)論都適用;

2.C點(diǎn)不是質(zhì)心,而是剛體上任意一點(diǎn)時(shí),上述結(jié)論也成立

3.計(jì)算力系的主矢、主矩時(shí)，可以不包含不作功的力。當(dāng)質(zhì)心由,轉(zhuǎn)角由時(shí),力系的功為已知:均質(zhì)圓盤(pán)R,m,F=常量,且很大,使O

向右運(yùn)動(dòng),f,初靜止。

求:O走過(guò)S

路程時(shí)力的功。

例12-1

F

重力，摩擦力，法向約束力都不作功，只有力F作功，將力F向質(zhì)心簡(jiǎn)化，得解：CFSPFNF§12-2剛體的動(dòng)能計(jì)算2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的不同，或僅僅需要知道運(yùn)動(dòng)物體的某些運(yùn)動(dòng)特征時(shí)，為了研究方便，算常把物體抽象為質(zhì)點(diǎn)?；蛸|(zhì)點(diǎn)系。因此，在介紹剛體的動(dòng)能計(jì)算之前，我們先來(lái)確定質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。單位：J（焦耳），或

(牛頓米)（1）平移剛體的動(dòng)能（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能即

即

令剛體的質(zhì)量

即:平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和.得速度瞬心為P（3）平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能上面結(jié)論也適用于剛體的任意運(yùn)動(dòng).例12-2

均質(zhì)圓盤(pán)沿直線軌道作純滾動(dòng)。設(shè)圓盤(pán)重，半徑R，某瞬時(shí)其質(zhì)心C的速度為。求圓盤(pán)的動(dòng)能。解：圓盤(pán)做平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心，圓盤(pán)的角速度

例

基本量計(jì)算(動(dòng)量,動(dòng)量矩,動(dòng)能)將

兩端點(diǎn)乘

,由于§12-3動(dòng)能定理1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理因此得

上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。稱(chēng)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式:在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過(guò)程中,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功.積分之,有2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理稱(chēng)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式:質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和.

由求和得稱(chēng)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式:質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能改變量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過(guò)程中所作功的和.積分之,有1、理想約束

在許多情況下，約束反力的功之和為零，滿足此條件的約束稱(chēng)為理想約束。2、常見(jiàn)的理想約束:△光滑固定面約束△光滑鉸鏈或軸承約束△剛性連接約束△聯(lián)接兩個(gè)剛體的鉸△柔軟不可伸長(zhǎng)的繩索約束當(dāng)約束不是理想約束時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮摩擦力的功，此時(shí)可將摩擦力作為主動(dòng)力來(lái)考慮。說(shuō)明3、理想約束及內(nèi)力做功

對(duì)理想約束,在動(dòng)能定理中只計(jì)入主動(dòng)力的功即可.拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱(chēng)為理想約束。1．光滑固定面約束2．活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3．剛體沿固定面作純滾動(dòng)4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）5．柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功

只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零。例12-5已知:均質(zhì)圓盤(pán)R,m,F=常量,且很大,使O向右運(yùn)動(dòng),f,初靜止。

求:O走過(guò)S路程時(shí)ω，。圓盤(pán)速度瞬心為C

解:將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo),并利用得例12-7已知:m,h,k,其它質(zhì)量不計(jì).求:解：物體為研究對(duì)象

由于彈簧的壓縮量必定是正值，因此取正號(hào)，分析物體從位置Ⅰ到位置Ⅲ的整個(gè)過(guò)程已知：輪O

：R1

，m1,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C

：R2

，

m2

，純滾動(dòng),初始靜止;θ,M

為常力偶。求:輪心C

走過(guò)路程s時(shí)的速度和加速度例12-3輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系解:式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo),得例12-5均質(zhì)桿AB長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，在水平位置處由靜止釋放如圖所示。試求桿AB到達(dá)鉛垂位置時(shí)點(diǎn)A的速度和加速度。解：分析桿的受力，有重力和約束力、，做功的力為桿的重力。桿AB可作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由積分形式的動(dòng)能定理代入動(dòng)能定理要求A點(diǎn)的加速度，需要求出桿的角加速度。求桿的角加速度，可用兩種方法：(1)在一般位置處列出動(dòng)能定理表達(dá)式，通過(guò)求導(dǎo)得角加速度(2)用剛體統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求角加速度一般位置處，所有力的功為代入動(dòng)能定理,wehave對(duì)時(shí)間求導(dǎo)當(dāng)，，故(2)用剛體統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求角加速度在圖13-15（c）所示位置，有注意：1．用動(dòng)能定理求加速度時(shí)，必須寫(xiě)出—般位置（角度）處的動(dòng)能定理表達(dá)式，再對(duì)等式進(jìn)行求導(dǎo)。不能對(duì)某特定位置（角度）表達(dá)式求導(dǎo)。

2．由此比較可知，對(duì)于單個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求角加速度較方便。此題的最簡(jiǎn)解法為：先用動(dòng)能定理求；再用剛體統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求。[例1]

圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤(pán)A、B各重P，半徑均為R,兩盤(pán)中心線為水平線,盤(pán)A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問(wèn)下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤(pán)B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象上式求導(dǎo)得：

例12-6

在絞車(chē)的主動(dòng)軸I上作用一恒力偶M以提升重物，如圖所示。已知重物的質(zhì)量為m；主動(dòng)軸I和從動(dòng)軸II連同安裝在軸上的齒輪等附件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，傳動(dòng)比；鼓輪的半徑為R。軸承的摩擦和吊索的質(zhì)量均不計(jì)。絞車(chē)初始時(shí)靜止，試求當(dāng)重物上升的距離為h時(shí)的速度v及加速度α。解：取絞車(chē)和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。例12-7

行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動(dòng)齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤(pán)；曲柄重Q,長(zhǎng)l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示)和角加速度。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象根據(jù)動(dòng)能定理，得將上式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得§12-4功率功率方程一、功率：?jiǎn)挝粫r(shí)間力所作的功稱(chēng)功率即:功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積.

由,得單位:W（瓦特）,1W=1J/s作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為二、功率方程稱(chēng)功率方程,即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和.或三、機(jī)械效率機(jī)械效率有效功率多級(jí)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)例12-7已知:若，求F的最大值。求:切削力F的最大值解:當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)§13-5

機(jī)械能守恒定律

若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任一位置都受到一定大小和方向的力的作用，則此空間稱(chēng)為力場(chǎng)（fieldofforce）。

一、勢(shì)力場(chǎng)

1、力場(chǎng)

2、勢(shì)力場(chǎng)

如質(zhì)點(diǎn)在某一力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所所作的功僅與質(zhì)點(diǎn)的起止位置有關(guān)，而與其運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)力場(chǎng)。質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中所受到的力稱(chēng)為勢(shì)力(保守力)，如重力、彈性力等。重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。

二、勢(shì)能

在勢(shì)力場(chǎng)中,質(zhì)點(diǎn)從位置M運(yùn)動(dòng)到任選位置M0,有勢(shì)力所作的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在位置M相對(duì)于位置M0的勢(shì)能（potentialenergy），用V表示。

M0為基準(zhǔn)位置，勢(shì)能為零，稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)。因而，勢(shì)能具有相對(duì)性。

V僅與質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)質(zhì)心的位置有關(guān)。在一般情形下，V是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，稱(chēng)為勢(shì)能函數(shù)。

在勢(shì)力場(chǎng)中勢(shì)能相等的各點(diǎn)所組成的平面稱(chēng)為等勢(shì)面，可表示為：V(x,y,z)=C。由此可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿任一等勢(shì)面運(yùn)動(dòng)時(shí)，勢(shì)力的功恒為零。三、機(jī)械能守恒定律

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受勢(shì)力(或同時(shí)受到不作功的非有勢(shì)力)作用，則而∴(*)說(shuō)明(1)(*)式表明質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能保持不變，此即機(jī)械能守恒定律。(2)由于勢(shì)力場(chǎng)具有機(jī)械能守恒的特性，因而勢(shì)力場(chǎng)又稱(chēng)為保守力場(chǎng)。則勢(shì)力又稱(chēng)為保守力。(3)若質(zhì)點(diǎn)在非保守力的作用下產(chǎn)生機(jī)械運(yùn)動(dòng)，則機(jī)械能不再守恒，機(jī)械能的改變等于非保守力所作的功。（1）重力場(chǎng)中心勢(shì)能（2）彈性力場(chǎng)的勢(shì)能為零勢(shì)能點(diǎn)。下面介紹幾種常見(jiàn)的勢(shì)能（3）萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能取零勢(shì)能點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)質(zhì)點(diǎn)重力場(chǎng)勢(shì)能函數(shù)[例1]

長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功,主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。初瞬時(shí)：由機(jī)械能守恒定律：將

代入上式，化簡(jiǎn)后得任一瞬時(shí)：例2

均質(zhì)圓柱A的重量為，半徑為R，放在足夠粗糙的水平面上，其軸心O處連接一彈簧常數(shù)為k的水平拉伸彈簧，彈簧的另一端固定在墻上。圓柱上繞有質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩，繩子繞過(guò)一重量為、半徑為r的均質(zhì)滑輪B，其另—端懸掛重量的物塊C，使圓柱在地面上作純滾動(dòng)。若滑輪軸承的摩擦略去不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，起始時(shí)彈簧無(wú)變形，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。試以物塊的起始位置為x軸的原點(diǎn)，如圖所示，建立物塊的加速度與位移x間的關(guān)系式。解：[分析]系統(tǒng)的待求量為運(yùn)動(dòng)量，可用動(dòng)能定理求解，因該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，亦可用機(jī)械能守恒定律求解。取系統(tǒng)為研究對(duì)象。受力分析：系統(tǒng)中作功的力為C塊的重力和彈簧的彈性力。分析運(yùn)動(dòng)：

C塊作直線運(yùn)動(dòng)，輪B繞軸Ol作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪A作平面運(yùn)動(dòng)，各物體的速度或角速度如圖所示。求解方法有以下兩種：

1.用動(dòng)能定理求解系統(tǒng)初始靜止

C物塊下移x時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為

由于

所有力的功

知道

代入動(dòng)能定理得

（a）式（a）兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)2．用機(jī)械能守恒定律求解該系統(tǒng)機(jī)械能守恒

取平衡位置處為重力零勢(shì)能點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性力零勢(shì)能點(diǎn)。初始位置

任意位置時(shí)

由機(jī)械能守恒

（b）式(a)和式(b)完全相同。注意：當(dāng)系統(tǒng)中作功的力全為保守力時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，此時(shí)可用機(jī)械能守恒定律解題。但一定要指明零勢(shì)能點(diǎn)，否則講勢(shì)能無(wú)意義。可用機(jī)械能守恒定律求解的題目一定可用動(dòng)能定理求解。§12-6

物體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題舉例動(dòng)量定理（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）建立了動(dòng)量的變化（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的變化）與外力系主矢的關(guān)系。它涉及到速度、時(shí)間和外力三種量。對(duì)于用時(shí)間表示的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，通常使用動(dòng)量定理求解。特別是已知運(yùn)動(dòng)求約束反力的問(wèn)題，必須用動(dòng)量定理（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）求解。

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理，從不同側(cè)面闡明了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，用不同的物理量反映了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的改變和作用力的關(guān)系，在求解動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題時(shí)，各有其特點(diǎn)。求解綜合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要針對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，弄清楚問(wèn)題的性質(zhì)和條件，再結(jié)合各定理所反映的規(guī)律，來(lái)選擇適用的定理，或者聯(lián)合運(yùn)用定理求解。動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩的變化與外力系主矩的關(guān)系。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系繞軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，可考慮使用動(dòng)量矩定理求解。如果已知運(yùn)動(dòng)，則可使用動(dòng)量矩定理求解作用線不通過(guò)轉(zhuǎn)軸的力。如果已知外力矩，則可使用動(dòng)量矩定理求解質(zhì)點(diǎn)系繞軸（或點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化與力的功的關(guān)系。它涉及到速度、路程和力三種量。對(duì)于用路程表示的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，當(dāng)已知力求質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的速度（或角速度）、加速度（或角加速度）時(shí)，通常使用動(dòng)能定理求解較為方便。

舉例說(shuō)明三定理的綜合應(yīng)用：

[例1]

兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。討論動(dòng)量守恒定理＋動(dòng)能定理求解。計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開(kāi)。研究對(duì)象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。代入動(dòng)能定理：

[例2]

均質(zhì)圓盤(pán)A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤(pán)作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由動(dòng)能定理：對(duì)ｔ求導(dǎo)，得例13-9

圖（a）所示鉸車(chē)鼓輪的半徑為r，重為G1，重心與軸承O的中心相重合，在其上作用一力偶矩為M的常力偶，使半徑為R，重為G2的滾子（鼓輪和滾子均視為均質(zhì)圓盤(pán)）沿傾角為的斜面由靜止開(kāi)始向上作純滾動(dòng)。設(shè)繩子不能伸長(zhǎng)且不計(jì)質(zhì)量，求鼓輪由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)，滾子質(zhì)心C的速度、加速度、繩子的拉力和軸承O處約束力。解：(1)取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，應(yīng)用動(dòng)能定理求滾子質(zhì)心C的速度、加速度。

系統(tǒng)初始瞬時(shí)的動(dòng)能系統(tǒng)終止瞬時(shí)的動(dòng)能運(yùn)動(dòng)分析可知

則

系統(tǒng)具有理想約束，且內(nèi)力功之和恒等于零。主動(dòng)力的功只有滾子的重力G2和力偶矩為M的力偶作功，做功總和為根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

（1）

解得

將式（1）兩端對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，得由于

可得滾子質(zhì)心的加速度

（2）

(2)取鼓輪（包括繩子）為研究對(duì)象，其受力圖如圖13-20（b）所示。應(yīng)用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，求滾子對(duì)繩子的拉力。根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，可得而

代入上式得繩子的拉力

(3)

(3)仍以鼓輪（包括繩子）為研究對(duì)象，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求軸承O處約束力。因鼓輪質(zhì)心的加速度為零，故由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的投影形式可得將式（3）代入，解得

例13-10

均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小擾動(dòng)，而倒下時(shí)，求AB桿剛剛達(dá)到地面時(shí)的角速度和地面的約束力。解：由于地面光滑，AB桿在運(yùn)動(dòng)中只受重力和地面法向反力作用，所有外力均為鉛垂，倒下過(guò)程中，即水平方向合力等于零，則質(zhì)心在水平方向的運(yùn)動(dòng)守恒。

由于桿初瞬時(shí)靜止，質(zhì)心的橫坐標(biāo)xC保持常數(shù)。因此，AB桿的質(zhì)心將鉛垂下落。

設(shè)桿向左滑動(dòng)于任一角度P為桿的速度瞬心由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，桿的角速度

桿的動(dòng)能為桿的初瞬時(shí)動(dòng)能為由于地面反力作功等于零，所以系統(tǒng)只有重力作功根據(jù)動(dòng)能定理當(dāng)時(shí)，解出桿剛剛到達(dá)地面時(shí)，受力及加速度如圖所示，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，得點(diǎn)A的加速度方向?yàn)樗?/p>

質(zhì)心C的加速度為鉛垂