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第12章動能定理本章學(xué)習(xí)要點力的功質(zhì)點和質(zhì)點系的動能動能定理功率與機械效率12.1力的功
12.1.1常力的功
如圖所示,質(zhì)點M在常力F的作用下,沿直線走過一段路程s。力F在這段路程內(nèi)積累的效應(yīng)用力的功來度量,用W表示,并定義為
式中,θ為力F與直線位移方向之間的夾角。如果路程用矢量s表示,則力F的功可以寫成
12.1.2變力的功
如圖所示,設(shè)質(zhì)點M在變力F作用下,沿曲線從位置M1運動到位置M2,現(xiàn)求力F在路徑M1M2上做的功。由于從M1運動到M2的過程中,力F的大小和方向在不斷地變化著。因此,應(yīng)將路程s分為無限多個微段ds。這樣,微段路程ds可以近似地看作直線,且力F在無限位移dr中可視為常力,dr可視為沿M點的切線。
力F在此微小路徑上所作的功稱為元功,用δW表示,且有
質(zhì)點M沿曲線由M1運動到M2的過程中,變力F作的功為
上式表明,變力在某一曲線運動上做的功,等于該力在運動方向的投影沿這段曲線路徑的定積分。如果力始終與質(zhì)點位移垂直,則該力不做功。
具體計算時,常采用其在直角坐標(biāo)軸上的投影形式,即
12.1.3合力的功
如圖所示,設(shè)質(zhì)點同時受到幾個力F1,F(xiàn)2,……,F(xiàn)n的作用,它們的合力為FR,則合力的功為
上式表明,作用在物體上的各力在一段路程上所做的功,等于各力在同一段路程上所做的功的代數(shù)和。
重力的功
設(shè)重為G的質(zhì)點M,沿曲線由位置M1運動到位置M2,M1與M2的高度差為h=y(tǒng)1-y2,如圖所示。則重力G所做的功為
上式表明,重力的功等于質(zhì)點的重量與起止位置間高度差的乘積,而與質(zhì)點的運動路徑無關(guān)。
彈性力的功
設(shè)彈簧的原長為l0,一端固定,另一端與物體M相連,彈簧的剛性系數(shù)為k(N/m),如圖所示。則當(dāng)物體從位置M1運動到M2的過程中,彈簧力對物體所做的功為
上式表明,彈簧力的功等于彈簧始末位置變形量平方差與剛性系數(shù)乘積的一半。
摩擦力的功
由于質(zhì)點受到的動滑動摩擦力F'=μFN的方向總與質(zhì)點運動方向相反,如圖所示,所以摩擦力作功恒為負(fù),且有
由于上式為曲線積分,因此動滑動摩擦力的功,不僅與起止位置有關(guān),還與路徑有關(guān)。
12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能
12.2.1質(zhì)點的動能
動能是度量物體機械運動強弱程度的物理量。研究表明,質(zhì)點的動能等于它的質(zhì)量m與速度v平方的乘積的一半,即質(zhì)點的動能為
設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成,則質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點所具有動能的代數(shù)和就是質(zhì)點系的動能,即
12.2.2質(zhì)點系的動能
12.2.3剛體的動能
平動剛體的動能
剛體平動時,其上各點速度都與質(zhì)心速度vC相同,故平動剛體的動能為
或
上式表明,平動剛體的動能等于剛體質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方的乘積的一半。因此,平動剛體的動能與質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點的動能相同。
定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能
設(shè)剛體以角速度ω繞固定軸z轉(zhuǎn)動,剛體內(nèi)第i個質(zhì)點的質(zhì)量為mi,到z軸的距離為ri,則該質(zhì)點的速度為vi=riω,于是剛體的動能為
或
上式表明,繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體的動能,等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半。
平面運動剛體的動能
如圖所示,剛體作平面運動時,可視為繞瞬時軸(通過速度瞬心P,并與運動平面垂直的軸)的轉(zhuǎn)動,其動能表達(dá)式為
上式表明,平面運動剛體的動能等于隨同質(zhì)心平動的動能與繞通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能之和。
由質(zhì)點運動方程的微分形式
12.3動能定理
12.3.1質(zhì)點的動能定理
由于
方程兩邊同乘以dr,得
于是有
即
上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式,即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。對上式積分,可得
此為質(zhì)點動能定理的積分形式,即質(zhì)點動能在某一路程中的改變量,等于作用在質(zhì)點上的力在同一路程上所做的功。
設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成,對每一個質(zhì)點寫出其動能定理的微分形式,即
12.3.2質(zhì)點系的動能定理
即
這樣的方程共有n個,將這n個方程相加可得
由于
于是
上式稱為質(zhì)點系動能定理的微分形式,即質(zhì)點系動能的增量等于作用在質(zhì)點上的所有力的元功之和。
對上式積分,可得
此為質(zhì)點系動能定理的積分形式,即質(zhì)點系動能在某一路程中的改變量,等于作用在質(zhì)點系上的所有力在同一路程上所做的功之和。
例:如圖所示為一橋式起重機,吊車吊著質(zhì)量為m的重物A沿橫向勻速運動,其速度為v,吊繩長度為l。由于緊急情況,吊車急剎車并導(dǎo)致重物繞懸掛點向前擺動。求最大擺角φmax。
解:以重物A為研究對象,對擺角從零到φmax的過程進行分析。重物A的受力圖如題圖所示。由于繩子的拉力始終垂直于重物的運動方向,故拉力不做功。重力做功為
重物A的始末動能分別為
由積分形式的動能定理
可解得
12.4功率與機械效率
力在單位時間內(nèi)做的功稱為功率。它是衡量機械力學(xué)性能的一項重要指標(biāo)。
設(shè)作用于質(zhì)點上的力為F,在dt時間內(nèi)力F的元功為δW,質(zhì)點速度為v,則功率P可表示為
上式表明,作用于質(zhì)點上力的功率,等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。如果用力矩或力偶矩計算功,則
若轉(zhuǎn)速用n(r/min)表示,功率用P(kW)表示,力偶或力偶矩用M(N·m)表示,則上式可改寫為
機器工作時必須輸入一定的功,輸入的功一部分為有用功,另一部分消耗在克服無用阻力上。以δW0表示驅(qū)動力輸入的元功,以δW1和δW2表示工作阻力和無用阻力消耗的元功,則動能定理的微分形式可寫為上式稱為機器的功率方程
機器在穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時的有
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