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文檔簡介

區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的概念

問題:在實(shí)際工作中,由于總體中各觀察對象之間存在著個(gè)體變異,且隨機(jī)抽取的樣本又只是總體中的一部分,因此計(jì)算的樣本統(tǒng)計(jì)量,不一定恰好等于相應(yīng)的總體參數(shù);

eg1:從某地7歲男童中隨機(jī)抽取110名,測得平均身高為119.95cm,該樣本均數(shù)不一定等于該地7歲男童身高的總體均數(shù)。eg2:

某縣為血吸蟲病流行區(qū),從該縣人群中隨機(jī)抽取400人,測得的血吸蟲感染人數(shù)為60人,感染率為15%,該樣本率不一定等于該地人群的總體感染率。

總體X的未知參數(shù)

的估計(jì)量是隨機(jī)變量,無論這個(gè)估計(jì)量的性質(zhì)多么好,它只能是未知參數(shù)的近似值,但近似程度如何?誤差范圍多大?可信程度又如何?這些問題是點(diǎn)估計(jì)無法回答的。

那么

的真值在什么范圍內(nèi)呢?是否能通過樣本尋求一個(gè)區(qū)間,并且給出此區(qū)間包含參數(shù)

真值的可信程度.這就是總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題.

在區(qū)間估計(jì)理論中,被廣泛接受的一種觀點(diǎn)是置信區(qū)間,它是由艾曼(Neymann)于1934年提出的。區(qū)間估計(jì)的思想

點(diǎn)估計(jì)總是有誤差的,但沒有衡量偏差程度的量,區(qū)間估計(jì)則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個(gè)區(qū)間范圍。引例設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命X~N(,1002),現(xiàn)隨機(jī)抽取5只,測量其壽命如下:1455,1502,1370,1610,1430,則該廠燈泡的平均使用壽命的點(diǎn)估計(jì)值為可以認(rèn)為該種燈泡的使用壽命在1473.4個(gè)單位時(shí)間左右,但范圍有多大呢?又有多大的可能性在這“左右”呢?如果要求有95%的把握判斷在1473.4左右,則由U統(tǒng)計(jì)量可知由查表得定義1

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;),為未知參數(shù),X1,X2,…,Xn是取自總體的樣本,對給定值

(0<<1),若存在統(tǒng)計(jì)量和滿足則稱隨機(jī)區(qū)間為的置信水平為1-

的置信區(qū)間,

和分別稱為置信度為的置信下限與置信上限,稱為置信水平(置信度).一、置信區(qū)間的概念這種估計(jì)的方法叫做區(qū)間估計(jì).評價(jià)置信區(qū)間好壞標(biāo)準(zhǔn):(1)精度:越小越好;(2)置信度:越大越好.置信區(qū)間的估計(jì)精度:置信區(qū)間的長度=;[注]置信度的(1-)含義:若重復(fù)多次抽樣,得到樣本X1,X2,…,Xn的多個(gè)樣本值x1,x2,…,xn

,對應(yīng)每個(gè)樣本值都確定了一個(gè)置信區(qū)間,每個(gè)這樣的區(qū)間要么包含了的真值

,要么不包含真值.當(dāng)抽樣次數(shù)100次時(shí),這些區(qū)間中包含真值的區(qū)間大約占100(1-)%個(gè),不包含的區(qū)間大約占100%.當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),對于給定的,我們總是要求(2)圍繞構(gòu)造一個(gè)與待估參數(shù)有關(guān)的函數(shù)U,且分布已知;(1)選取未知參數(shù)的某個(gè)較優(yōu)估計(jì)量,一般步驟:尋求置信區(qū)間的基本思想:在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上,構(gòu)造合適的含樣本及待估參數(shù)的函數(shù)U,且已知U的分布,再根據(jù)給定的置信度導(dǎo)出待估參數(shù)置信區(qū)間.二、尋求置信區(qū)間的方法(4)對上式作恒等變形,化為(3)對給定的置信水平1-,確定1與2,使則就是的置信水平為1-的雙側(cè)置信區(qū)間.對于給定的(0<<1),令

設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本,求,2

的置信水平為(1)的置信區(qū)間.

單個(gè)正態(tài)總體的情況⑴均值的置信區(qū)間(a)2為已知時(shí),因?yàn)榍蟮玫闹眯哦人綖?1)的置信區(qū)間:(2為已知)/2/2或X是,的無偏估計(jì),且注:置信水平為(1)的置信區(qū)間不唯一.如上例=0.05,可證置信區(qū)間長度越短表示估計(jì)的精度越高.例1

某車間生產(chǎn)滾珠,從長期實(shí)踐中知道,滾珠直徑X可以認(rèn)為服從正態(tài)分布,從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè),測得直徑為(單位:cm)14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1(1)試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點(diǎn)估計(jì);(2)若已知方差為0.06,試求該天平均直徑EX的置信

區(qū)間:=0.05;=0.01。解(1)由矩法估計(jì)得EX的點(diǎn)估計(jì)值為續(xù)解(2)由題設(shè)知X~N(,0.06)構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量,得EX的置信區(qū)間為當(dāng)=0.05時(shí),而所以,EX的置信區(qū)間為(14.754,15.146)當(dāng)=0.01時(shí),所以,EX的置信區(qū)間為(14.692,15.208)置信水平提高,置信區(qū)間擴(kuò)大,估計(jì)精確度降低。例2

假定某地一旅游者的消費(fèi)額X服從正態(tài)分布N(,2),且標(biāo)準(zhǔn)差=12元,今要對該地旅游者的平均消費(fèi)額EX加以估計(jì),為了能以95%的置信度相信這種估計(jì)誤差小于2元,問至少要調(diào)查多少人?解由題意知:消費(fèi)額X~N(,122),設(shè)要調(diào)查n人。由即得查表得而解得至少要調(diào)查139人(b)2為未知時(shí),因?yàn)镾2是2的無偏估計(jì)量,所以用S替換,求得的置信水平為(1)的置信區(qū)間:(2未知)/2/2例3

某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認(rèn)為服從正態(tài)分布,今隨機(jī)抽取9個(gè),測得其重量為(單位:克):21.1,21.3,21.4,21.5,21.3,21.7,21.4,21.3,21.6。試用95%的置信度估計(jì)全部口杯的平均重量。解由題設(shè)可知:口杯的重量X~N(,2)由抽取的9個(gè)樣本,可得由得查表得全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為(21.26,21.54)練習(xí)假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)分布,經(jīng)調(diào)查100家住戶,得出每戶每月平均需求量為10公斤,方差為9,如果某商店供應(yīng)10000戶,試就居民對該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)(=0.01),并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以99%的概率滿足需求?解由題設(shè)可知:平均需求量X~N(,2)平均消費(fèi)額的置信區(qū)間為(9.229,10.771)由查表得續(xù)解要以99%的概率滿足10000戶居民對該種商品的需求,則最少要準(zhǔn)備的量為(公斤)最多準(zhǔn)備(公斤)如果總體X~N(,2),其中已知,2未知由構(gòu)造2-統(tǒng)計(jì)量查2-分布表,確定雙側(cè)分位數(shù)從而得2的置信水平為1-的置信區(qū)間為(2)方差2

的置信區(qū)間(已知的情況)例已知某種果樹產(chǎn)量服從N(218,2),隨機(jī)抽取6棵計(jì)算其產(chǎn)量為(單位:公斤)221,191,202,205,256,236試以95%的置信水平估計(jì)產(chǎn)量的方差。解計(jì)算查表果樹方差的置信區(qū)間為

2的無偏估計(jì)量為S2

,(未知的情況)當(dāng)1-給定后,因?yàn)榧吹玫椒讲?

的一個(gè)置信度為1-

的置信區(qū)間:(2)方差2

的置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)差

的一個(gè)置信度為1-

的置信區(qū)間/2/2例4

設(shè)某燈泡的壽命X~N(,2),,2未知,現(xiàn)從中任取5個(gè)燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn),得數(shù)據(jù)10.5,11.0,11.2,12.5,12.8(單位:千小時(shí)),求置信水平為90%的2的區(qū)間估計(jì)。解樣本方差及均值分別為2的置信區(qū)間為(0.4195,5.5977)由得查表得小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)(1)方差已知,對均值的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,確定U的雙側(cè)分位數(shù)

得EX的區(qū)間估計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)(2)方差未知,對均值的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造T-統(tǒng)計(jì)量,查t-分布臨界值表,確定T的雙側(cè)分位數(shù)

得EX的區(qū)間估計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)(3)均值已知,對方差的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造2-統(tǒng)計(jì)量,查2-分布臨界值表,確定2的雙側(cè)分位數(shù)

得2的區(qū)間估計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)(4)均值未知,對方差的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造2-統(tǒng)計(jì)量,查2-分布臨界值表,確定2的雙側(cè)分位數(shù)

得2的區(qū)間估計(jì)為(1)方差已知,對均值的區(qū)間估計(jì),構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量(2)方差未知,對均值的區(qū)間估計(jì),構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量總體服從正態(tài)分布的對均值的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)(4)均值未知,對方差的區(qū)間估計(jì),構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量(3)均值已知,對方差的區(qū)間估計(jì),構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量總體服從正態(tài)分布的對方差的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)在實(shí)際中常遇到下面的問題:已知產(chǎn)品的某一質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布,但由于原料、設(shè)備條件、操作人員不同,或工藝過程的改變等因素,引起總體均值、總體方差有所改變,我們需要知道這些變化有多大,這就需要考慮兩個(gè)正態(tài)總體均值差或方差比的估計(jì)問題。(a)12,22均為已知:設(shè)總體X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的樣本.這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,分別為第一、二個(gè)總體的樣本均值與方差.因?yàn)?-2的無偏估計(jì)量,而即得1-2的(1))置信區(qū)間:兩個(gè)正態(tài)總體的情況(1)兩個(gè)總體均值差1-2的置信區(qū)間(置信度為(1))由第六章§2定理四知

(b),但為未知.從而可得的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間為此處例3為比較I,II兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取I型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為,標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)地取II型子彈20發(fā),得到槍口速度的平均值為,標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等。求兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。=0.95,解:按實(shí)際情況,認(rèn)為分別來自兩個(gè)總體的樣本是相互獨(dú)立的。又由假設(shè)兩總體的方差相等,但數(shù)值未知,故可用上式求均值差的置信區(qū)間。=0.025即(3.07,4.93).故所求的兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間是例4

為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的效率,試圖采用一種新的催化劑。為慎重起見,在實(shí)驗(yàn)工廠先進(jìn)行試驗(yàn),設(shè)采用原來的催化劑進(jìn)行了n1=8次試驗(yàn),得到效率的平均值,樣本方差

;又采用新的催化劑進(jìn)行了n2=8次試驗(yàn),得到效率的均值

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