第4章-區(qū)間估計(jì)0

區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的概念

問(wèn)題：在實(shí)際工作中，由于總體中各觀(guān)察對(duì)象之間存在著個(gè)體變異，且隨機(jī)抽取的樣本又只是總體中的一部分，因此計(jì)算的樣本統(tǒng)計(jì)量，不一定恰好等于相應(yīng)的總體參數(shù)；

eg1:從某地7歲男童中隨機(jī)抽取110名，測(cè)得平均身高為119.95cm，該樣本均數(shù)不一定等于該地7歲男童身高的總體均數(shù)。eg2:

某縣為血吸蟲(chóng)病流行區(qū)，從該縣人群中隨機(jī)抽取400人，測(cè)得的血吸蟲(chóng)感染人數(shù)為60人，感染率為15%，該樣本率不一定等于該地人群的總體感染率。

總體X的未知參數(shù)

的估計(jì)量是隨機(jī)變量，無(wú)論這個(gè)估計(jì)量的性質(zhì)多么好，它只能是未知參數(shù)的近似值，但近似程度如何？誤差范圍多大？可信程度又如何？這些問(wèn)題是點(diǎn)估計(jì)無(wú)法回答的。

那么

的真值在什么范圍內(nèi)呢？是否能通過(guò)樣本尋求一個(gè)區(qū)間，并且給出此區(qū)間包含參數(shù)

真值的可信程度．這就是總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題．

在區(qū)間估計(jì)理論中，被廣泛接受的一種觀(guān)點(diǎn)是置信區(qū)間，它是由艾曼（Neymann)于1934年提出的。區(qū)間估計(jì)的思想

點(diǎn)估計(jì)總是有誤差的，但沒(méi)有衡量偏差程度的量，區(qū)間估計(jì)則是按一定的可靠性程度對(duì)待估參數(shù)給出一個(gè)區(qū)間范圍。引例設(shè)某廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡使用壽命X~N（，1002），現(xiàn)隨機(jī)抽取5只，測(cè)量其壽命如下：1455，1502，1370，1610，1430，則該廠(chǎng)燈泡的平均使用壽命的點(diǎn)估計(jì)值為可以認(rèn)為該種燈泡的使用壽命在1473.4個(gè)單位時(shí)間左右，但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這“左右”呢？如果要求有95%的把握判斷在1473.4左右，則由U統(tǒng)計(jì)量可知由查表得定義1

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;)，為未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是取自總體的樣本，對(duì)給定值

(0<<1),若存在統(tǒng)計(jì)量和滿(mǎn)足則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間為的置信水平為1-

的置信區(qū)間,

和分別稱(chēng)為置信度為的置信下限與置信上限，稱(chēng)為置信水平(置信度)．一、置信區(qū)間的概念這種估計(jì)的方法叫做區(qū)間估計(jì).評(píng)價(jià)置信區(qū)間好壞標(biāo)準(zhǔn)：(1)精度：越小越好；(2)置信度：越大越好.置信區(qū)間的估計(jì)精度：置信區(qū)間的長(zhǎng)度=;［注］置信度的(1-)含義：若重復(fù)多次抽樣,得到樣本X1,X2,…,Xn的多個(gè)樣本值x1,x2,…,xn

，對(duì)應(yīng)每個(gè)樣本值都確定了一個(gè)置信區(qū)間，每個(gè)這樣的區(qū)間要么包含了的真值

，要么不包含真值.當(dāng)抽樣次數(shù)100次時(shí)，這些區(qū)間中包含真值的區(qū)間大約占100(1-)%個(gè)，不包含的區(qū)間大約占100%.當(dāng)Ｘ是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)于給定的，我們總是要求(2)圍繞構(gòu)造一個(gè)與待估參數(shù)有關(guān)的函數(shù)U,且分布已知；(1)選取未知參數(shù)的某個(gè)較優(yōu)估計(jì)量，一般步驟：尋求置信區(qū)間的基本思想：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造合適的含樣本及待估參數(shù)的函數(shù)U，且已知U的分布，再根據(jù)給定的置信度導(dǎo)出待估參數(shù)置信區(qū)間.二、尋求置信區(qū)間的方法(4)對(duì)上式作恒等變形，化為(3)對(duì)給定的置信水平1-，確定1與2，使則就是的置信水平為1-的雙側(cè)置信區(qū)間.對(duì)于給定的(0<<1),令

設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，求,2

的置信水平為(1)的置信區(qū)間.

單個(gè)正態(tài)總體的情況⑴均值的置信區(qū)間(a)2為已知時(shí),因?yàn)榍蟮玫闹眯哦人綖?1)的置信區(qū)間:(2為已知)/2/2或X是,的無(wú)偏估計(jì),且注：置信水平為(1)的置信區(qū)間不唯一.如上例=0.05,可證置信區(qū)間長(zhǎng)度越短表示估計(jì)的精度越高.例1

某車(chē)間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期實(shí)踐中知道，滾珠直徑X可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，測(cè)得直徑為（單位：cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點(diǎn)估計(jì)；（2）若已知方差為0.06，試求該天平均直徑EX的置信

區(qū)間：=0.05；=0.01。解（1）由矩法估計(jì)得EX的點(diǎn)估計(jì)值為續(xù)解（2）由題設(shè)知X~N（，0.06）構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量，得EX的置信區(qū)間為當(dāng)=0.05時(shí)，而所以，EX的置信區(qū)間為（14.754，15.146）當(dāng)=0.01時(shí)，所以，EX的置信區(qū)間為（14.692，15.208）置信水平提高，置信區(qū)間擴(kuò)大，估計(jì)精確度降低。例2

假定某地一旅游者的消費(fèi)額X服從正態(tài)分布N（，2），且標(biāo)準(zhǔn)差=12元，今要對(duì)該地旅游者的平均消費(fèi)額EX加以估計(jì)，為了能以95%的置信度相信這種估計(jì)誤差小于2元，問(wèn)至少要調(diào)查多少人？解由題意知：消費(fèi)額X~N（，122），設(shè)要調(diào)查n人。由即得查表得而解得至少要調(diào)查139人(b)2為未知時(shí),因?yàn)镾2是2的無(wú)偏估計(jì)量,所以用S替換,求得的置信水平為(1)的置信區(qū)間:(2未知)/2/2例3

某廠(chǎng)生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認(rèn)為服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得其重量為（單位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。試用95%的置信度估計(jì)全部口杯的平均重量。解由題設(shè)可知：口杯的重量X~N（，2）由抽取的9個(gè)樣本，可得由得查表得全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（21.26，21.54）練習(xí)假設(shè)某片居民每月對(duì)某種商品的需求量X服從正態(tài)分布，經(jīng)調(diào)查100家住戶(hù)，得出每戶(hù)每月平均需求量為10公斤，方差為9，如果某商店供應(yīng)10000戶(hù)，試就居民對(duì)該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（=0.01），并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以99%的概率滿(mǎn)足需求？解由題設(shè)可知：平均需求量X~N（，2）平均消費(fèi)額的置信區(qū)間為（9.229，10.771）由查表得續(xù)解要以99%的概率滿(mǎn)足10000戶(hù)居民對(duì)該種商品的需求，則最少要準(zhǔn)備的量為（公斤）最多準(zhǔn)備（公斤）如果總體X~N（，2），其中已知，2未知由構(gòu)造2-統(tǒng)計(jì)量查2-分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)從而得2的置信水平為1-的置信區(qū)間為(2)方差2

的置信區(qū)間(已知的情況)例已知某種果樹(shù)產(chǎn)量服從Ｎ（218，2），隨機(jī)抽取6棵計(jì)算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，236試以95%的置信水平估計(jì)產(chǎn)量的方差。解計(jì)算查表果樹(shù)方差的置信區(qū)間為

2的無(wú)偏估計(jì)量為S2

，(未知的情況)當(dāng)1-給定后,因?yàn)榧吹玫椒讲?

的一個(gè)置信度為1-

的置信區(qū)間:(2)方差2

的置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)差

的一個(gè)置信度為1-

的置信區(qū)間/2/2例4

設(shè)某燈泡的壽命X~N（，2），，2未知，現(xiàn)從中任取5個(gè)燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（單位：千小時(shí)），求置信水平為90%的2的區(qū)間估計(jì)。解樣本方差及均值分別為2的置信區(qū)間為（0.4195，5.5977）由得查表得小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（1）方差已知，對(duì)均值的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定U的雙側(cè)分位數(shù)

得EX的區(qū)間估計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（2）方差未知，對(duì)均值的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造T-統(tǒng)計(jì)量，查t-分布臨界值表，確定T的雙側(cè)分位數(shù)

得EX的區(qū)間估計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（3）均值已知，對(duì)方差的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造2-統(tǒng)計(jì)量，查2-分布臨界值表，確定2的雙側(cè)分位數(shù)

得2的區(qū)間估計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（4）均值未知，對(duì)方差的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造2-統(tǒng)計(jì)量，查2-分布臨界值表，確定2的雙側(cè)分位數(shù)

得2的區(qū)間估計(jì)為（1）方差已知，對(duì)均值的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量（2）方差未知，對(duì)均值的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量總體服從正態(tài)分布的對(duì)均值的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)（4）均值未知，對(duì)方差的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量（3）均值已知，對(duì)方差的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量總體服從正態(tài)分布的對(duì)方差的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)在實(shí)際中常遇到下面的問(wèn)題：已知產(chǎn)品的某一質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，但由于原料、設(shè)備條件、操作人員不同，或工藝過(guò)程的改變等因素，引起總體均值、總體方差有所改變,我們需要知道這些變化有多大，這就需要考慮兩個(gè)正態(tài)總體均值差或方差比的估計(jì)問(wèn)題。(a)12,22均為已知:設(shè)總體X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的樣本.這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，分別為第一、二個(gè)總體的樣本均值與方差.因?yàn)?-2的無(wú)偏估計(jì)量,而即得1-2的(1))置信區(qū)間:兩個(gè)正態(tài)總體的情況(1)兩個(gè)總體均值差1-2的置信區(qū)間(置信度為(1))由第六章§2定理四知

(b),但為未知.從而可得的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間為此處例3為比較I，II兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度，隨機(jī)地取I型子彈10發(fā)，得到槍口速度的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差．隨機(jī)地取II型子彈20發(fā)，得到槍口速度的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布，且由生產(chǎn)過(guò)程可認(rèn)為它們的方差相等。求兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。=0.95,解：按實(shí)際情況，認(rèn)為分別來(lái)自?xún)蓚€(gè)總體的樣本是相互獨(dú)立的。又由假設(shè)兩總體的方差相等，但數(shù)值未知，故可用上式求均值差的置信區(qū)間。=0.025即（3.07,4.93）.故所求的兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間是例4

為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過(guò)程的效率，試圖采用一種新的催化劑。為慎重起見(jiàn)，在實(shí)驗(yàn)工廠(chǎng)先進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)采用原來(lái)的催化劑進(jìn)行了n1=8次試驗(yàn)，得到效率的平均值，樣本方差

;又采用新的催化劑進(jìn)行了n2=8次試驗(yàn)，得到效率的均值