第4章-區(qū)間估計0

區(qū)間估計區(qū)間估計的概念

問題：在實際工作中，由于總體中各觀察對象之間存在著個體變異，且隨機抽取的樣本又只是總體中的一部分，因此計算的樣本統(tǒng)計量，不一定恰好等于相應的總體參數(shù)；

eg1:從某地7歲男童中隨機抽取110名，測得平均身高為119.95cm，該樣本均數(shù)不一定等于該地7歲男童身高的總體均數(shù)。eg2:

某縣為血吸蟲病流行區(qū)，從該縣人群中隨機抽取400人，測得的血吸蟲感染人數(shù)為60人，感染率為15%，該樣本率不一定等于該地人群的總體感染率。

總體X的未知參數(shù)

的估計量是隨機變量，無論這個估計量的性質多么好，它只能是未知參數(shù)的近似值，但近似程度如何？誤差范圍多大？可信程度又如何？這些問題是點估計無法回答的。

那么

的真值在什么范圍內呢？是否能通過樣本尋求一個區(qū)間，并且給出此區(qū)間包含參數(shù)

真值的可信程度．這就是總體未知參數(shù)的區(qū)間估計問題．

在區(qū)間估計理論中，被廣泛接受的一種觀點是置信區(qū)間，它是由艾曼（Neymann)于1934年提出的。區(qū)間估計的思想

點估計總是有誤差的，但沒有衡量偏差程度的量，區(qū)間估計則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間范圍。引例設某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命X~N（，1002），現(xiàn)隨機抽取5只，測量其壽命如下：1455，1502，1370，1610，1430，則該廠燈泡的平均使用壽命的點估計值為可以認為該種燈泡的使用壽命在1473.4個單位時間左右，但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這“左右”呢？如果要求有95%的把握判斷在1473.4左右，則由U統(tǒng)計量可知由查表得定義1

設總體X的分布函數(shù)F(x;)，為未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是取自總體的樣本，對給定值

(0<<1),若存在統(tǒng)計量和滿足則稱隨機區(qū)間為的置信水平為1-

的置信區(qū)間,

和分別稱為置信度為的置信下限與置信上限，稱為置信水平(置信度)．一、置信區(qū)間的概念這種估計的方法叫做區(qū)間估計.評價置信區(qū)間好壞標準：(1)精度：越小越好；(2)置信度：越大越好.置信區(qū)間的估計精度：置信區(qū)間的長度=;［注］置信度的(1-)含義：若重復多次抽樣,得到樣本X1,X2,…,Xn的多個樣本值x1,x2,…,xn

，對應每個樣本值都確定了一個置信區(qū)間，每個這樣的區(qū)間要么包含了的真值

，要么不包含真值.當抽樣次數(shù)100次時，這些區(qū)間中包含真值的區(qū)間大約占100(1-)%個，不包含的區(qū)間大約占100%.當Ｘ是連續(xù)型隨機變量時，對于給定的，我們總是要求(2)圍繞構造一個與待估參數(shù)有關的函數(shù)U,且分布已知；(1)選取未知參數(shù)的某個較優(yōu)估計量，一般步驟：尋求置信區(qū)間的基本思想：在點估計的基礎上，構造合適的含樣本及待估參數(shù)的函數(shù)U，且已知U的分布，再根據(jù)給定的置信度導出待估參數(shù)置信區(qū)間.二、尋求置信區(qū)間的方法(4)對上式作恒等變形，化為(3)對給定的置信水平1-，確定1與2，使則就是的置信水平為1-的雙側置信區(qū)間.對于給定的(0<<1),令

設總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，求,2

的置信水平為(1)的置信區(qū)間.

單個正態(tài)總體的情況⑴均值的置信區(qū)間(a)2為已知時,因為求得的置信度水平為(1)的置信區(qū)間:(2為已知)/2/2或X是,的無偏估計,且注：置信水平為(1)的置信區(qū)間不唯一.如上例=0.05,可證置信區(qū)間長度越短表示估計的精度越高.例1

某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑X可以認為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機抽取6個，測得直徑為（單位：cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點估計；（2）若已知方差為0.06，試求該天平均直徑EX的置信

區(qū)間：=0.05；=0.01。解（1）由矩法估計得EX的點估計值為續(xù)解（2）由題設知X~N（，0.06）構造U-統(tǒng)計量，得EX的置信區(qū)間為當=0.05時，而所以，EX的置信區(qū)間為（14.754，15.146）當=0.01時，所以，EX的置信區(qū)間為（14.692，15.208）置信水平提高，置信區(qū)間擴大，估計精確度降低。例2

假定某地一旅游者的消費額X服從正態(tài)分布N（，2），且標準差=12元，今要對該地旅游者的平均消費額EX加以估計，為了能以95%的置信度相信這種估計誤差小于2元，問至少要調查多少人？解由題意知：消費額X~N（，122），設要調查n人。由即得查表得而解得至少要調查139人(b)2為未知時,因為S2是2的無偏估計量,所以用S替換,求得的置信水平為(1)的置信區(qū)間:(2未知)/2/2例3

某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認為服從正態(tài)分布，今隨機抽取9個，測得其重量為（單位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。試用95%的置信度估計全部口杯的平均重量。解由題設可知：口杯的重量X~N（，2）由抽取的9個樣本，可得由得查表得全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（21.26，21.54）練習假設某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)分布，經(jīng)調查100家住戶，得出每戶每月平均需求量為10公斤，方差為9，如果某商店供應10000戶，試就居民對該種商品的平均需求量進行區(qū)間估計（=0.01），并依此考慮最少要準備多少這種商品才能以99%的概率滿足需求？解由題設可知：平均需求量X~N（，2）平均消費額的置信區(qū)間為（9.229，10.771）由查表得續(xù)解要以99%的概率滿足10000戶居民對該種商品的需求，則最少要準備的量為（公斤）最多準備（公斤）如果總體X~N（，2），其中已知，2未知由構造2-統(tǒng)計量查2-分布表，確定雙側分位數(shù)從而得2的置信水平為1-的置信區(qū)間為(2)方差2

的置信區(qū)間(已知的情況)例已知某種果樹產(chǎn)量服從Ｎ（218，2），隨機抽取6棵計算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，236試以95%的置信水平估計產(chǎn)量的方差。解計算查表果樹方差的置信區(qū)間為

2的無偏估計量為S2

，(未知的情況)當1-給定后,因為即得到方差2

的一個置信度為1-

的置信區(qū)間:(2)方差2

的置信區(qū)間標準差

的一個置信度為1-

的置信區(qū)間/2/2例4

設某燈泡的壽命X~N（，2），，2未知，現(xiàn)從中任取5個燈泡進行壽命試驗，得數(shù)據(jù)10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（單位：千小時），求置信水平為90%的2的區(qū)間估計。解樣本方差及均值分別為2的置信區(qū)間為（0.4195，5.5977）由得查表得小結總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計

假設置信水平為1-構造U-統(tǒng)計量，反查標準正態(tài)分布表，確定U的雙側分位數(shù)

得EX的區(qū)間估計為小結總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計

假設置信水平為1-構造T-統(tǒng)計量，查t-分布臨界值表，確定T的雙側分位數(shù)

得EX的區(qū)間估計為小結總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計（3）均值已知，對方差的區(qū)間估計

假設置信水平為1-構造2-統(tǒng)計量，查2-分布臨界值表，確定2的雙側分位數(shù)

得2的區(qū)間估計為小結總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計（4）均值未知，對方差的區(qū)間估計

假設置信水平為1-構造2-統(tǒng)計量，查2-分布臨界值表，確定2的雙側分位數(shù)

得2的區(qū)間估計為（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計，構造U統(tǒng)計量（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計，構造T統(tǒng)計量總體服從正態(tài)分布的對均值的區(qū)間估計區(qū)間估計（4）均值未知，對方差的區(qū)間估計，構造2統(tǒng)計量（3）均值已知，對方差的區(qū)間估計，構造2統(tǒng)計量總體服從正態(tài)分布的對方差的區(qū)間估計區(qū)間估計在實際中常遇到下面的問題：已知產(chǎn)品的某一質量指標服從正態(tài)分布，但由于原料、設備條件、操作人員不同，或工藝過程的改變等因素，引起總體均值、總體方差有所改變,我們需要知道這些變化有多大，這就需要考慮兩個正態(tài)總體均值差或方差比的估計問題。(a)12,22均為已知:設總體X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的樣本.這兩個樣本相互獨立，分別為第一、二個總體的樣本均值與方差.因為1-2的無偏估計量,而即得1-2的(1))置信區(qū)間:兩個正態(tài)總體的情況(1)兩個總體均值差1-2的置信區(qū)間(置信度為(1))由第六章§2定理四知

(b),但為未知.從而可得的一個置信度為的置信區(qū)間為此處例3為比較I，II兩種型號步槍子彈的槍口速度，隨機地取I型子彈10發(fā)，得到槍口速度的平均值為，標準差．隨機地取II型子彈20發(fā)，得到槍口速度的平均值為，標準差。假設兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布，且由生產(chǎn)過程可認為它們的方差相等。求兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。=0.95,解：按實際情況，認為分別來自兩個總體的樣本是相互獨立的。又由假設兩總體的方差相等，但數(shù)值未知，故可用上式求均值差的置信區(qū)間。=0.025即（3.07,4.93）.故所求的兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間是例4

為提高某一化學生產(chǎn)過程的效率，試圖采用一種新的催化劑。為慎重起見，在實驗工廠先進行試驗，設采用原來的催化劑進行了n1=8次試驗，得到效率的平均值，樣本方差

;又采用新的催化劑進行了n2=8次試驗，得到效率的均值