2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章概率3條件概率與獨(dú)立事件學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE21學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE3條件概率與獨(dú)立事件學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解條件概率與兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。2。掌握條件概率的計(jì)算公式.3.能利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一條件概率100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格，90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格，85件產(chǎn)品的長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格．令A(yù)＝｛產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格}，B＝{產(chǎn)品的質(zhì)量合格｝，AB＝{產(chǎn)品的長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格}思考1試求P(A）、P(B)、P（AB）．思考2任取一件產(chǎn)品,已知其質(zhì)量合格(即B發(fā)生）,求它的長(zhǎng)度(即A發(fā)生）也合格(記為A|B)的概率．思考3P（B)、P（AB）、P（A｜B）間有怎樣的關(guān)系．梳理?xiàng)l件概率（1）概念事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱(chēng)為_(kāi)___________的條件概率,記為_(kāi)___________．(2)公式P(A｜B)＝eq\f（PA∩B,PB)（其中，A∩B也可以記成AB)．(3）當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B｜A)＝________________.知識(shí)點(diǎn)二獨(dú)立事件甲箱里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱里裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球．從這兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球，記事件A＝“從甲箱里摸出白球”,B＝“從乙箱里摸出白球"．思考1事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎?思考2P(A)，P（B），P（AB）的值為多少？思考3P(AB)與P（A)，P（B）有什么關(guān)系？梳理獨(dú)立事件（1）概念：對(duì)兩個(gè)事件A,B，如果____________________,則稱(chēng)A，B相互獨(dú)立．(2）推廣：若A與B相互獨(dú)立,則A與______,eq\x\to（A)與______，eq\x\to（A)與______也相互獨(dú)立．（3）拓展：若A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則有P（A1A2…An)＝________________________。類(lèi)型一條件概率例1在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求：（1）第1次抽到理科題的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；（3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．反思與感悟求條件概率一般有兩種方法：一是對(duì)于古典概型類(lèi)題目,可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來(lái)計(jì)算,P(B｜A）＝eq\f（nAB，nA）,其中n（AB)表示事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù),n（A）表示事件A包含的基本事件個(gè)數(shù);二是直接根據(jù)定義計(jì)算,P（B|A）＝eq\f(PAB，PA），特別要注意P（AB)的求法．跟蹤訓(xùn)練1盒中裝有5個(gè)產(chǎn)品，其中3個(gè)一等品,2個(gè)二等品,不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個(gè)．求：（1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；(2）取兩次，第二次取得一等品的概率;（3）取兩次，在第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率．類(lèi)型二獨(dú)立事件的判斷例2一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩},B＝｛一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}．對(duì)下列兩種情形,討論A與B的獨(dú)立性：（1)家庭中有兩個(gè)小孩;（2)家庭中有三個(gè)小孩．反思與感悟三種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性(1）定義法:直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．(2）公式法：檢驗(yàn)P(AB）＝P（A）P（B）是否成立．(3）條件概率法:當(dāng)P（A）>0時(shí)，可用P（B｜A)＝P（B)判斷．跟蹤訓(xùn)練2分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結(jié)果相同”，則下列事件具有相互獨(dú)立性的是________．（填序號(hào)）①A,B；②A,C；③B，C。類(lèi)型三獨(dú)立事件的概率例3在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上,有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱,由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾要彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào),另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài),因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2）X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列．反思與感悟概率問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想（1）正難則反:靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系(P（A)＋P(eq\x\to（A)）＝1)簡(jiǎn)化問(wèn)題，是求解概率問(wèn)題最常用的方法．(2）化繁為簡(jiǎn):將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(lèi)(考慮概率加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件）還是分幾步(考慮概率乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件）組成．(3)方程思想：利用有關(guān)的概率公式和問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,建立方程（組)，通過(guò)解方程(組)使問(wèn)題獲解．跟蹤訓(xùn)練3甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種零件,已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為eq\f（1,4），乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1，12），甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為eq\f(2，9）.(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．1．一件產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)2道獨(dú)立的加工程序，第一道工序的次品率為a，第二道工序的次品率為b，則產(chǎn)品的正品率為（）A．1－a－b B．1－abC．（1－a)(1－b) D．1－(1－a）(1－b）2．拋擲紅、藍(lán)兩個(gè)骰子，事件A＝“紅骰子出現(xiàn)4點(diǎn)”，事件B＝“藍(lán)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，則P（A|B)為(）A。eq\f（1，2） B.eq\f（5，36)C。eq\f（1,12) D。eq\f(1,6)3．市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95％，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場(chǎng)上買(mǎi)到的一個(gè)甲廠的合格燈泡的概率是(）A．0.665 B．0.564C．0.245 D．0.2854．壇子里放有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，則A1與A2是()A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件5．某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員,根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)甲，乙，丙三人100m跑(互不影響)的成績(jī)?cè)?3s內(nèi)（稱(chēng)為合格）的概率分別為eq\f（2，5)，eq\f(3，4），eq\f(1,3),若對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m跑的成績(jī)進(jìn)行一次檢測(cè)，求（1）三人都合格的概率；（2)三人都不合格的概率；（3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大？1．計(jì)算條件概率時(shí)應(yīng)注意：（1)準(zhǔn)確理解條件概率的概念：條件概率中的兩個(gè)事件是互相影響的,其結(jié)果受兩個(gè)條件的概率的制約．(2)要正確求出條件概率，必須首先弄清楚“事件A發(fā)生”“事件A發(fā)生并且事件B也發(fā)生”“事件B在事件A發(fā)生的條件下發(fā)生”的概率之間的關(guān)系．2．互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的區(qū)別與聯(lián)系名稱(chēng)區(qū)別聯(lián)系定義事件個(gè)數(shù)互斥事件在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的事件兩個(gè)或兩個(gè)以上①兩事件互斥，但不一定對(duì)立；反之一定成立．②兩事件獨(dú)立，則不一定互斥（或?qū)αⅲ蹆墒录コ猓ɑ驅(qū)α?，則不相互獨(dú)立對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生但必有一個(gè)發(fā)生的事件兩個(gè)獨(dú)立事件一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響兩個(gè)或兩個(gè)以上

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1P(A）＝eq\f（93，100）,P（B）＝eq\f(90，100)，P(AB)＝eq\f（85,100）.思考2事件A|B發(fā)生，相當(dāng)于從90件質(zhì)量合格的產(chǎn)品中任取1件長(zhǎng)度合格，其概率為P(A|B)＝eq\f（85,90).思考3P(A｜B)＝eq\f(PAB，PB)。梳理(1）B發(fā)生時(shí)A發(fā)生P（A|B）（3)eq\f（PAB，PA)知識(shí)點(diǎn)二思考1不影響．思考2P（A)＝eq\f（3，5）,P（B)＝eq\f（1,2）,P(AB）＝eq\f（3×2,5×4）＝eq\f(3,10)。思考3P（AB）＝P（A)·P(B)．梳理獨(dú)立事件（1）P（AB）＝P（A）P（B)（2）eq\x\to（B）Beq\x\to(B）P（A1）P（A2)…P（An)題型探究例1解設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB。(1）從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n（Ω)＝Aeq\o\al（2,5)＝20。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,n(A）＝Aeq\o\al（1，3)×Aeq\o\al(1，4）＝12.于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ）＝eq\f(12,20)＝eq\f(3，5).(2）∵n（AB）＝Aeq\o\al(2,3）＝6,∴P（AB）＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f（6,20)＝eq\f(3,10)。(3）方法一由（1）（2）可得在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f（\f(3,10），\f（3,5））＝eq\f（1，2)。方法二因?yàn)閚(AB)＝6，n（A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f（nAB，nA)＝eq\f（6，12）＝eq\f(1,2).跟蹤訓(xùn)練1解記Ai為第i次取到一等品，其中i＝1，2。（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率，P（A1A2）＝P（A1）·P（A2｜A1)＝eq\f（3，5）×eq\f（2，4)＝eq\f(3，10）.（2)取兩次，第二次取得一等品,則第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，則P（A2)＝P(eq\x\to（A）1A2）＋P(A1A2）＝eq\f(2,5)×eq\f（3，4）＋eq\f（3,5）×eq\f（2,4)＝eq\f（3，5).(3）取兩次，已知第二次取得一等品，則第一次取得二等品的概率為P(eq\x\to(A）1｜A2）＝eq\f（P\x\to（A）1A2,PA2)＝eq\f（\f(2，5)×\f（3，4),\f(3,5））＝eq\f(1,2)。例2解(1）有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{（男,男），(男，女),(女,男），（女，女）}，它有4個(gè)基本事件，由等可能性知概率都為eq\f（1，4）。這時(shí)A＝｛（男，女)，（女，男）}，B＝｛（男，男）,（男，女），（女,男)｝,AB＝｛(男，女），（女,男）｝，于是P(A)＝eq\f(1，2)，P(B）＝eq\f(3,4），P(AB）＝eq\f(1，2）.由此可知P（AB)≠P（A)P（B）,所以事件A，B不相互獨(dú)立．（2)有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{（男，男,男)，（男，男,女），（男，女，男），(男,女，女),(女，男，男),（女，男,女)，(女，女，男),（女，女，女）｝．由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為eq\f（1，8),這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件，B中含有4個(gè)基本事件,AB中含有3個(gè)基本事件．于是P（A)＝eq\f（6，8)＝eq\f(3,4）,P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f（1，2)，P(AB）＝eq\f(3，8),顯然有P(AB)＝eq\f（3,8）＝P(A)P(B)成立．從而事件A與B是相互獨(dú)立的．跟蹤訓(xùn)練2①②③例3解(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手"，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，則P（A)＝eq\f（C\o\al（1，2),C\o\al(2,3））＝eq\f(2,3），P(B）＝eq\f(C\o\al(2,4），C\o\al(3，5））＝eq\f(3，5).因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立,所以觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P（Aeq\x\to（B))＝P(A)·P（eq\x\to(B)）＝P（A）·［1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f（2,5）＝eq\f（4,15).eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（或PA\x\to（B）＝\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(3,4)，C\o\al（2,3）·C\o\al(3,5））＝\f（4，15）))（2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手"，則P(C）＝eq\f(C\o\al（2,4）,C\o\al（3,5））＝eq\f(3,5），因?yàn)閄可能的取值為0,1，2,3，且取這些值的概率分別為P（X＝0)＝P（eq\x\to（A）eq\x\to(B)eq\x\to（C）)＝eq\f（1,3)×eq\f(2，5)×eq\f(2,5)＝eq\f（4，75)，P(X＝1)＝P(Aeq\x\to(B）eq\x\to（C）)＋P(eq\x\to（A）Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B）C)＝eq\f(2，3)×eq\f(2，5)×eq\f(2,5）＋eq\f(1，3)×eq\f（3,5)×eq\f（2,5)＋eq\f（1，3）×eq\f(2，5）×eq\f（3,5)＝eq\f(20，75）＝eq\f(4,15）,P(X＝2）＝P（ABeq\x\to（C））＋P(Aeq\x\to（B）C）＋P（eq\x\to(A)BC)＝eq\f（2,3）×eq\f（3,5)×eq\f(2,5）＋eq\f（2，3)×eq\f(2，5）×eq\f（3，5)＋eq\f（1，3）×eq\f(3，5）×eq\f（3,5)＝eq\f（33，75）＝eq\f（11,25),P(X＝3）＝P(ABC)＝eq\f(2，3）×eq\f(3，5)×eq\f（3，5）＝eq\f(18，75）＝eq\f（6，25）.所以X的分布列為X0123Peq\f（4，75)eq\f(4,15)eq\f(11,25）eq\f（6,25）跟蹤訓(xùn)練3解(1）設(shè)A，B，C分別為甲，乙，丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件．由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（PA\x\to(B）＝\f（1，4)，，PB\x\to(C)＝\f（1，12）,，PAC＝\f（2,9）,))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（PA[1－PB]＝\f(1，4），①，PB［1－PC］＝\f（1，12),②,PAPC＝\f(2，9），③））由①③得P（B)＝1－eq\f(9,8）P（C)，代入②得27[P(C）]2－51P（C）＋22＝0，解得P（C）＝eq\f（2，3）或P（C）＝eq\f(11,9）(舍去）．將P（C）＝eq\f(2,3)代入②得，P(B)＝eq\f(1,4），將P(B）＝eq\f（1，4)代入①得,P（A)＝eq\f(1,3)。故甲，乙，丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是eq\f(1，3)，eq\f（1,4），eq\f(2,3)。（2)記D為從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，其中至少有一個(gè)一等品的事件，則P(D)＝1－P（eq\x\to（D))＝1－［1－P（A)]·[1－P（B)][1－P（C)］＝1－eq\f(2,3)×eq\f（3，4)×eq\f(1,3）＝eq\f（5,6)。故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為eq\f(5，6)。當(dāng)堂訓(xùn)練1．C2.D3.A4