第6章 拉壓桿件的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

工程力學(xué)第六章拉壓桿件的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)§6.1拉伸與壓縮桿件的應(yīng)力與變形受到等值、反向、作用線與軸線重合的外力作用受力特點(diǎn)桿件沿軸線方向伸長(zhǎng)或縮短變形特點(diǎn)拉壓桿軸向拉伸與壓縮工程實(shí)例（1）、問(wèn)題提出PPPP根據(jù)軸力不能判斷桿件是否有足夠的強(qiáng)度。拉桿強(qiáng)度的相關(guān)因素軸力大小桿件橫截面面積一、拉（壓）桿件的應(yīng)力計(jì)算（2）橫截面上的應(yīng)力拉（壓）桿的橫截面上，與軸力FN對(duì)應(yīng)的應(yīng)力只有正應(yīng)力σ。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，橫截面上到處存在內(nèi)力。AdA橫截面面積為A，微面積dA上的微內(nèi)力σdA

組成一垂直于橫截面的平行力系，其合力就是軸力FN，為：平面假設(shè)平面假設(shè)：變形前原為平面的橫截面在變形后仍為平面。橫截面上各點(diǎn)的σ相等，即正應(yīng)力均勻分布，等于常量abcdFPd'a'c'b'FP縱向纖維變形相等、力學(xué)性能相同，受力一樣。aFNFpσ簡(jiǎn)易旋臂式吊車如圖a)所示。斜桿AB為橫截面直徑d＝20mm的鋼材，載荷W=15kN。求當(dāng)W移到A點(diǎn)時(shí)，斜桿AB橫截面應(yīng)力(兩桿的自重不計(jì))。根據(jù)平衡方程ΣMC=0，解得由三角形ABC求出故有解：

(1)受力分析當(dāng)W移到A點(diǎn)時(shí)，斜桿AB受到的拉力最大，設(shè)其值為Fmax。取AC為研究對(duì)象，在不計(jì)桿件自重及連接處的摩擦?xí)r，受力分析如圖所示。

(2) 求應(yīng)力斜桿AB橫截面正應(yīng)力為桿件的伸長(zhǎng)量：（1）絕對(duì)變形與胡克定律

lFPFPl1二、拉（壓）桿的變形計(jì)算引入比例常數(shù)E，得到胡克定律實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于由結(jié)構(gòu)鋼等材料制成的拉桿，當(dāng)橫截面上的σ≤σp時(shí)，不僅變形是彈性的，且存在

E：彈性模量，材料拉伸或壓縮時(shí)抵抗彈性變形的能力，實(shí)驗(yàn)測(cè)定EA：桿件的抗拉（壓）剛度。EA/l：桿件的線剛度或剛度系數(shù)，桿件產(chǎn)生單位變形所需的力。當(dāng)拉、壓桿有兩個(gè)以上的外力作用時(shí)，需要先畫出軸力圖，然后分段計(jì)算各段的變形，各段變形的代數(shù)和即為桿的總伸長(zhǎng)量（或縮短量）

對(duì)于桿件沿長(zhǎng)度方向均勻變形的情形，其相對(duì)伸長(zhǎng)量表示軸向變形的程度，即正應(yīng)變：公式適合于桿件各處均勻變形的情形。（2）相對(duì)變形正應(yīng)變

表明：無(wú)論變形是均勻還是不均勻，正應(yīng)力與正應(yīng)變之間的關(guān)系都是相同的。

對(duì)于各處變形不均勻的情形，則以微段dx的相對(duì)變形作為桿件局部的變形程度．即：

橫向變形：桿件在垂直于桿件軸線方向產(chǎn)生的變形。

試驗(yàn)結(jié)果表明：在彈性范圍內(nèi)加載，軸向應(yīng)變與橫向應(yīng)變之間存在如下關(guān)系：稱為泊松比．為量綱一的量。式中負(fù)號(hào)表示：縱向伸長(zhǎng)時(shí)橫向縮短；縱向縮短時(shí)則橫向伸長(zhǎng)。FFdll1d1（3）橫向變形與泊松比【例題6-1】如圖所示之變截面直桿，已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB=10·102mm2，BC段桿的橫截面面積ABC=5*102mm2；FP=60KN；銅的彈性模量EC=100MPa，鋼的彈性量EC=210MPa；各段長(zhǎng)度如圖，單位為mm。試求：

1）直桿橫截面上的絕對(duì)值最大的正應(yīng)力。

2）直桿的總變形量。10001000100015002FPFP2FPFPDBAEC銅鋼【例題6-2】三角架結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖所示。其中FP=22.2KN；鋼桿BD的直徑d1=25.4mm；鋼梁CD的橫截面面積A2=2.32*103mm2。試求桿BD與CD的橫截面上的正應(yīng)力。FP45oDBC圖所示連接螺栓，內(nèi)徑d1＝15.3mm，被連接部分的總長(zhǎng)度l＝54mm，擰緊時(shí)螺栓AB段的Δl=0.04mm，鋼的彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。試求螺栓橫截面上的正應(yīng)力及螺栓的橫向變形?！?.2拉伸與壓縮桿件的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

分析已有或設(shè)想中的機(jī)器或結(jié)構(gòu)，確定它們?cè)谔囟ㄝd荷條件下的性態(tài)。

設(shè)計(jì)新的機(jī)器或新的結(jié)構(gòu)，使之安全而經(jīng)濟(jì)地實(shí)現(xiàn)特定的功能。

進(jìn)行桿件應(yīng)力和變形分析的目的：FP45oDBC1）在確定受力情況下，二桿分別選用什么材料來(lái)保證三角架結(jié)構(gòu)安全可靠地工作？2）給定載荷和材料的情形下，如何判斷結(jié)構(gòu)是否安全可靠？3）給定桿件截面尺寸和材料的情形下，如何確定結(jié)構(gòu)能承受的最大載荷？一、強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則、安全因數(shù)與許用應(yīng)力

強(qiáng)度設(shè)計(jì)：指將桿件中的最大應(yīng)力限制在允許的范圍內(nèi)，以保證桿件正常工作，不僅不發(fā)生強(qiáng)度失效，而且還要具有一定的安全裕度.

拉伸與壓縮桿件的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則（強(qiáng)度條件）：根據(jù)分析計(jì)算所得構(gòu)件之應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力。構(gòu)件工作應(yīng)力的最大容許值，必須低于材料的極限應(yīng)力。稱為許用應(yīng)力

為材料的極限應(yīng)力或危險(xiǎn)應(yīng)力，由材料的拉伸試驗(yàn)確定，n為安全因數(shù)。安全因數(shù)過(guò)大，浪費(fèi)材料，使構(gòu)件笨重過(guò)小，不能保證安全，造成事故其中：[]—許用應(yīng)力，max—危險(xiǎn)截面的最大工作應(yīng)力，F(xiàn)N—危險(xiǎn)截面的軸力，A—截面面積。為保證拉壓桿不發(fā)生強(qiáng)度破壞，并有一定安全余量，得到拉壓桿的強(qiáng)度條件：

二、拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算等截面直桿：危險(xiǎn)截面位于軸力最大處變截面桿：危險(xiǎn)截面綜合軸力FN和面積A確定①?gòu)?qiáng)度校核已知載荷、桿件的橫截面尺寸和材料的許用應(yīng)力，可計(jì)算桿件的最大工作應(yīng)力，并檢查是否滿足強(qiáng)度條件的要求。最大工作正應(yīng)力大于許用應(yīng)力：加大橫截面面積。經(jīng)濟(jì)起見(jiàn)，最大工作正應(yīng)力可略大于許用應(yīng)力：不超過(guò)許用應(yīng)力的5%為宜三、依強(qiáng)度條件進(jìn)行的三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題已知拉壓桿所受外力大小和材料的許用應(yīng)力，可計(jì)算桿件的最大軸力FNmax，根據(jù)強(qiáng)度條件確定桿件的截面尺寸。②設(shè)計(jì)桿件的橫截面尺寸已知拉壓桿的橫截面尺寸和材料的許用應(yīng)力，根據(jù)強(qiáng)度條件可計(jì)算桿件所能承受的最大軸力，即許用軸力。③確定桿件或結(jié)構(gòu)所能承受的許用載荷【例題6-3】螺紋小徑d=15mm的螺栓，緊固時(shí)所承受的預(yù)緊力為FP=20KN。若已知螺栓的許用應(yīng)力為[σ]=150MPa，試校核螺栓的強(qiáng)度是否安全?！纠}6-4】圖所示為可繞軸OO1旋轉(zhuǎn)的吊車簡(jiǎn)圖，其中斜拉桿AC由兩根50mm*50mm*5mm的等邊角鋼組成，水平橫梁AB由兩根10號(hào)槽鋼組成。AC和AB梁的材料都是Q235鋼，許用應(yīng)力[σ]=120MPa,當(dāng)行走小車位于A點(diǎn)時(shí)，求允許的最大起吊重力。桿和梁的自重忽略不計(jì)。F2m30oACB4mO1O一懸臂吊車，如圖

所示。已知起重小車自重G=5kN，起重量F=15kN，拉桿BC用Q235鋼，許用應(yīng)力[σ]=170MPa。試選擇拉桿直徑d。解：(1)計(jì)算拉桿的軸力。當(dāng)小車運(yùn)行到B點(diǎn)時(shí)，BC桿所受的拉力最大，必須在此情況下求拉桿的軸力。取B點(diǎn)為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。由平衡條件△ABC中(2)選擇截面尺寸。由得取為材料的極限應(yīng)力或危險(xiǎn)應(yīng)力，由材料的拉伸試驗(yàn)確定，n為安全因數(shù)．危險(xiǎn)應(yīng)力：材料發(fā)生強(qiáng)度失效時(shí)的應(yīng)力。其應(yīng)力是通過(guò)拉伸試驗(yàn)得到的。通過(guò)拉伸實(shí)驗(yàn)，一方面可以觀察到材料發(fā)生強(qiáng)度失效時(shí)的現(xiàn)象，另一方面可以得到材料失效時(shí)的極限應(yīng)力值?！?.3拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能一、材料拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線（1）拉伸試驗(yàn)：將被試驗(yàn)的材料按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)制成標(biāo)準(zhǔn)試樣，將試樣安裝在試驗(yàn)機(jī)上，對(duì)試樣施加拉伸載荷，通過(guò)緩慢加載完成試驗(yàn)過(guò)程。1）標(biāo)準(zhǔn)試件兩端較粗中間一段等直的部分試驗(yàn)段：等直部分標(biāo)距：長(zhǎng)度l裝夾部分：較粗的兩端標(biāo)準(zhǔn)試件規(guī)定標(biāo)距l(xiāng)與橫截面直徑d關(guān)系：試件截面形狀長(zhǎng)試件短試件圓形l=10dl=5d矩形l=11.3A1/2l=5.63A1/2壓縮試驗(yàn)通常采用圓截面和方截面的短試件，長(zhǎng)度l與橫截面直徑d或邊長(zhǎng)b的比值一般規(guī)定為1~3ldlb扭轉(zhuǎn)試件拉伸試件壓縮試件2)試驗(yàn)設(shè)備及布置：a)：對(duì)試件施加載荷使其發(fā)生變形，并能測(cè)出拉（壓）力。拉力機(jī)壓力機(jī)萬(wàn)能實(shí)驗(yàn)機(jī)b)：測(cè)量試樣變形的儀器，如電阻應(yīng)變儀、杠桿式引伸儀、千分表。電阻應(yīng)變儀杠桿式引伸儀千分表3)試驗(yàn)條件：材料力學(xué)性能影響因素：溫度、載荷形式（動(dòng)載、靜載）。主要討論常溫和靜載條件下材料受拉（壓）時(shí)的力學(xué)性能。靜載：載荷從0開始緩慢增加到一定數(shù)值后不再改變（變化不明顯）的載荷。（2）材料應(yīng)力——應(yīng)變曲線與強(qiáng)度指標(biāo)典型的代表性材料：低碳鋼和鑄鐵1）低碳鋼：含碳量不大于0.25%的碳素鋼F增大直至試樣斷裂載荷F與相應(yīng)伸長(zhǎng)變形△l的關(guān)系消除橫截面尺寸和長(zhǎng)度的影響1）載荷F除以原來(lái)的橫截面面積得到應(yīng)力，即2）變形△l除以試件原長(zhǎng)l得到應(yīng)變，即應(yīng)力-應(yīng)變曲線（σ-ε

曲線）反映材料的本身特性彈性階段屈服階段縮頸階段變形過(guò)程強(qiáng)化階段a）彈性階段oa段：σ與ε成正比胡克定律E：彈性模量，量綱與σ相同，常用GPa應(yīng)力-應(yīng)變曲線（σ-ε

曲線）σP：比例極限當(dāng)σ≤σP時(shí)，服從胡克定律材料是線性彈性的除去外力，試件變形完全消失外力卸除后能夠消失的這部分變形σe：彈性極限，即材料產(chǎn)生彈性變形的最大應(yīng)力值。當(dāng)σp﹤σ≤σe時(shí)，不服從胡克定律材料在外力撤去后仍能恢復(fù)原有形狀和尺寸的性質(zhì)彈性彈性變形應(yīng)力-應(yīng)變曲線（σ-ε

曲線）b）屈服階段a'c段：σe﹤σ，應(yīng)變迅速增加，應(yīng)力基本保持不變上屈服點(diǎn)材料暫時(shí)失去抵抗變形的能力應(yīng)力變化不大，變形顯著增加的現(xiàn)象材料的屈服或流動(dòng)最高應(yīng)力下屈服點(diǎn)最低應(yīng)力上屈服點(diǎn)：與試樣形狀、加載速度等因素有關(guān)，一般不穩(wěn)定。塑性變形（永久變形或殘余變形）下屈服點(diǎn)：數(shù)值較穩(wěn)定，能夠反映材料的性能，稱為屈服點(diǎn)。σs：屈服極限，載荷卸去，試件殘留一部分變形光滑試件屈服時(shí)表面出現(xiàn)與軸線大致成450的條紋線滑移線材料內(nèi)部相對(duì)滑移形成拉伸時(shí)與桿軸成45o傾角斜面上，切應(yīng)力為最大值屈服現(xiàn)象與最大切應(yīng)力有關(guān)低碳鋼屈服階段總的塑性應(yīng)變是比例極限所對(duì)應(yīng)彈性應(yīng)變的10~15倍屈服極限σs作為衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)c）強(qiáng)化階段cd段：σs﹤σ后，材料恢復(fù)抵抗變形的能力欲使其繼續(xù)變形必須增加拉力材料的強(qiáng)化σb：強(qiáng)度極限，即材料所能承受的最大應(yīng)力值。衡量材料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)d）縮頸階段de段：σ達(dá)到σb后，試件某一薄弱橫截面發(fā)生急劇的局部收縮“縮頸”現(xiàn)象A減小，塑性變形增加，承載能力下降，載荷隨之下降，直至斷裂?？s頸階段從出現(xiàn)縮頸到試件斷裂的階段結(jié)論應(yīng)力增大到屈服極限時(shí)，材料出現(xiàn)明顯的塑性變形σs和σb是衡量韌性材料的兩個(gè)重要指標(biāo)應(yīng)力增大到強(qiáng)度極限時(shí)，材料就要發(fā)生斷裂實(shí)驗(yàn)表明og：殘留的塑性變形試件拉伸到f點(diǎn)，然后緩慢卸載，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系曲線為fggh：消失的彈性變形卸載后立即加載，應(yīng)力與應(yīng)變曲線沿gf上升到f點(diǎn)后與原來(lái)相同。試件拉到屈服極限后卸載，再重新加載，材料的比例極限有所提高，塑性變形減小冷作硬化：退火可消除卸載定律：在卸載過(guò)程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線變化。

對(duì)于在拉伸過(guò)程中沒(méi)有明顯屈服階段的材料，通常規(guī)定以產(chǎn)生0.2％的塑性應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服極限，并稱為名義屈服極限，用σ0.2來(lái)表示。2）其他塑性材料：錳鋼、硬鋁、退火球墨鑄鐵和45鋼無(wú)明顯直線部分無(wú)屈服階段和縮頸階段oσB0.2%灰鑄鐵拉伸時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變圖三、脆性材料（鑄鐵）拉伸時(shí)的力學(xué)性能從開始加載到試樣被拉斷，試樣的變形都很小。無(wú)塑性變形強(qiáng)度極限是衡量脆性材料拉伸的唯一標(biāo)準(zhǔn)斷裂時(shí)應(yīng)力很小，斷口垂直于試件軸線εoσB實(shí)際計(jì)算以直線代替，認(rèn)為近似符合胡克定律斷口四、強(qiáng)度失效概念與失效應(yīng)力

韌性材料的強(qiáng)度失效-屈服與斷裂。

脆性材料的強(qiáng)度失效-斷裂。

失效應(yīng)力：發(fā)生屈服和斷裂時(shí)的應(yīng)力,即強(qiáng)度設(shè)計(jì)中的危險(xiǎn)應(yīng)力。

韌性材料的強(qiáng)度失效應(yīng)力-屈服點(diǎn)σs

(或條件屈服強(qiáng)度σ0.2)和抗拉強(qiáng)度σb

。

脆性材料的強(qiáng)度失效應(yīng)力-抗拉強(qiáng)度σb?！?％＜5％塑性脆性