材力第5章：截面的幾何性質(zhì)

第5章截面的幾何性質(zhì)§5-1

截面的靜矩和形心位置設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.靜矩（或一次矩）(常用單位：m3

或mm3

。值：可為正、負(fù)或0。）2.形心坐標(biāo)公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得）OxdAyyxC3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系結(jié)論：截面對(duì)形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。4.組合截面的靜矩

由靜矩的定義知：整個(gè)截面對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和:5.組合截面的形心坐標(biāo)公式將代入解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：（注：被“減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）例

試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，所以對(duì)x軸的靜矩為Oxyb(y)ydyhb例

試計(jì)算圖示截面形心C的位置。解：將截面分為1、2兩個(gè)矩形。建立坐標(biāo)系如圖示。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：Oxyy112010xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II代入組合截面的形心坐標(biāo)公式解得：§5－2

極慣性矩·

慣性矩·

慣性積

設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4或mm4)所以（即截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）OxyyxrdA3.慣性積（其值可為正、負(fù)或0，單位:m4或mm4)截面對(duì)于包含對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交軸的慣性積為0。結(jié)論：4.慣性半徑（單位m

或mm）OxyyxrdA例

試計(jì)算圖a所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。

解：取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，則dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)

若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對(duì)形心軸x的慣性矩同樣為hxyb(b)C例

試計(jì)算圖示圓截面對(duì)于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。

xdyyx解：由于圓截面有極對(duì)稱性，所以所以§5-3慣性矩和慣性積的平移軸公式1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。C為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為Oxy,形心C在在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)

任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：（此為平行移軸公式）注意：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對(duì)于形心軸的量。思考：O為直角三角形ABD斜邊上的中點(diǎn)，x、y軸為過(guò)點(diǎn)Ｏ且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案(已知b>a)：（A）Ixy＞０（B）Ixy<０

(C)Ixy=０（D）Ix=Iy

正確答案是(C)xABDyOab§5-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式組合截面的慣性矩和慣性積截面的主慣性軸和主慣性矩1.慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式

任意面元dA

在舊坐標(biāo)系oxy和新坐標(biāo)系ox1y1的關(guān)系為：代入慣性矩的定義式：xyOxyaxya11ABCDEdAxy11

利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式：注：上式中的的符號(hào)為：從舊軸x至新軸x1逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。（上式表明，截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩）將前兩式相加得思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過(guò)斜邊中點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸（即圖中為任意值），該圖形的:(1)慣性積Ixy＝＿＿(2)慣性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa答案：0；a4/24;a4/24

2.組合截面的慣性矩和慣性積

根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：

由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性積將隨著角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一特定的角度0，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積等于零。3.截面的主慣性軸和主慣性矩(1)

主慣性軸:截面對(duì)其慣性積等于0的一對(duì)坐標(biāo)軸。(2)

主慣性矩:截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。(3)形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí)。(4)形心主慣性矩:截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。(5)確定主慣性軸的位置

設(shè)0是舊軸x逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫為（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定20角的象限）(5)由上面tan20的表達(dá)式求出cos20、sin20后，再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，化簡(jiǎn)后可得主慣性矩的計(jì)算公式：極大值Imax極小值Imin(6)幾個(gè)結(jié)論若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過(guò)形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。若截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對(duì)稱軸，則通過(guò)形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。畫出下列圖形形心主慣性軸的大致方位CCCCCCC例

求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的形心主慣性矩。解：（1）求形心坐標(biāo)xyb(y)ycCdxc（2）求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc例

試求圖a

所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的形心主慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。（1）矩形對(duì)x的慣性矩：（2）一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩（見(jiàn)上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p（3）一個(gè)半圓對(duì)x的慣性矩：由平行移軸公式得：（4）整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩：例

試計(jì)算組合截面的形心主慣性矩Ixc.

解：（1）求截面形心位置：

（2）求個(gè)簡(jiǎn)單截面對(duì)形心軸的慣性矩：

（3）求整個(gè)截面的慣性矩：

例

在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)解：①建立坐標(biāo)系如圖。②求形心位置。③

建立形心坐標(biāo)系；求：IyC

，IxC

，IxCy

db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1例：求圖示截面的形心主慣性矩。250125125500120580解：截面顯然為一對(duì)稱截面，對(duì)稱軸即為形心主慣性軸(y軸)，找到形心，則過(guò)形心與y軸垂直的軸即為另一根形心主軸。(1)求形心位置將截面分為Ⅰ