離散時間隨機過程(第二講2)

離散時間隨機過程第二講1隨機變量由概率論可知，我們可以用一個隨機變量X來描述自然界中的隨機事件，若X的取值是連續(xù)的，則X為連續(xù)型隨機變量，若X的取值是離散的，則X為離散型隨機變量。2隨機變量的特征描述概率分布函數(shù)概率密度均值均方值（二階原點矩）方差（二階中心矩）協(xié)方差3隨機變量舉例－均勻分布均勻分布的隨機變量是一個隨機試驗結(jié)果“可能性相等”情況下的理想模型，其概率密度p(x)和概率分布函數(shù)P(x)為：其均值和方差為。4隨機變量舉例－高斯分布正態(tài)分布的隨機變量也稱高斯隨機變量，是一個在實際中應(yīng)用非常廣泛和方便的模型。其概率密度為：顯然，高斯分布的隨機變量概率密度函數(shù)完全由它的平均值和方差來描述，它可用表示。5隨機信號（隨機過程）在相同條件下獨立地進行多次觀察時，各次觀測到的結(jié)果并不相同。為了全面了解輸出電壓的噪聲特征，從概念上講，應(yīng)該在相同的條件下，獨立地作盡可能多次的觀察，這就如同在同一時刻，對盡可能多的同樣的放大器各作一次觀察。這樣，我們每一次觀察都可以得到一個記錄

如果把對放大器輸出電壓的觀察看作一個隨機試驗，那么，每一次記錄就是該隨機試驗的一次實現(xiàn)，相應(yīng)的結(jié)果就是一個樣本函數(shù)。所有樣本函數(shù)的集合就構(gòu)成了輸出電壓可能經(jīng)歷的整個過程，該集合就是一個隨機過程，也即隨機信號，記為X(t)。

6隨機信號與隨機變量對于一個特定的時刻，例如，是一個隨機變量，相當(dāng)于在某一時刻同時測量無限多個相同放大器的輸出。當(dāng)時，也是一個隨機變量。因此，一個隨機信號X(t)是依賴于時間t的隨機變量。這樣，就可以用描述隨機變量的方法來描述隨機信號。對下圖中的隨機信號X(t)離散化，得到離散隨機信號，簡記為。對X(n)的每次實現(xiàn)記為，顯然，對某一固定時刻，如時，構(gòu)成一個隨機變量。若隨i的變化仍取連續(xù)值，那么是連續(xù)型隨機變量，否則，為離散型隨機變量。

7隨機信號的特征描述均值方差均方值自相關(guān)函數(shù)

自協(xié)方差函數(shù)

互相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)上面所述各式右邊的求均值運算體現(xiàn)了隨機信號的“集總平均”，該集總平均是由X(n)的無窮多樣本在相應(yīng)時刻對應(yīng)相加或乘加來實現(xiàn)的。

9平穩(wěn)隨機信號平穩(wěn)隨機過程：指一個隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化，即在到時間段內(nèi)的噪聲統(tǒng)計特性與到時間段內(nèi)的噪聲統(tǒng)計特性相同；隨機過程的統(tǒng)計特性與起始時間無關(guān)，只取決于時間差。離散平穩(wěn)隨機信號：一個離散時間信號X(n)，如果其均值與時間n無關(guān)，其自相關(guān)函數(shù)和、的選取點無關(guān)，而僅和、之差有關(guān)，那么，稱X(n)為寬平穩(wěn)的隨機信號，或廣義平穩(wěn)隨機信號。10平穩(wěn)隨機信號的特征描述均值方差均方自相關(guān)函數(shù)

11平穩(wěn)隨機信號的特征描述自協(xié)方差兩個平穩(wěn)隨機信號X(n)、Y(n)的互相關(guān)函數(shù)及互協(xié)方差函數(shù)可分別變?yōu)?/p>

12平穩(wěn)隨機信號的各態(tài)遍歷性（各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程）一個隨機信號X(n)，其均值、方差、均方及自相關(guān)函數(shù)等，均是建立在集總平均的意義上，如自相關(guān)函數(shù)是對樣本（隨機變量）求和，不是對時間（隨機信號）13各態(tài)遍歷性含義對一平穩(wěn)隨機信號X(n)，如果它的所有樣本函數(shù)在某一固定時刻的一階、二階統(tǒng)計特性和單一樣本函數(shù)在長時間內(nèi)的統(tǒng)計特性一致，我們稱X(n)為各態(tài)遍歷信號。其意義就是，單一樣本函數(shù)隨時間變化的過程可以包括該信號所有樣本函數(shù)的取值經(jīng)歷。也可理解為，用一個樣本作出的時間統(tǒng)計特性和用全體樣本作出的集總統(tǒng)計特性是相同的；或者說，只要測一次樣本就可以代表無限次樣本的隨機特征了。為了簡化問題，很多實際問題中的隨機過程都可以近似看成這一類。14各態(tài)遍歷性隨機信號數(shù)字特征設(shè)x(n)是各態(tài)遍歷信號X(n)的一個樣本函數(shù)，對X(n)的數(shù)字特征可以重新定義如下：上面兩式右邊的計算都是使用單一樣本函數(shù)x(n)來求出和，因此稱為“時間平均”。各態(tài)遍歷信號，其一階、二階的集總平均等于相應(yīng)的時間平均