人教B版必修第一冊2.2.3一元二次不等式的解法學(xué)案

2.2.3一元二次不等式的解法學(xué)習(xí)目標.理解一元二次不等式的定義.借助一元二次不等式的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)..能夠利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.通過學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法,提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).,了解簡單的分式不等式,并會求其解集,借助簡單分式不等式的解法，培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)..一元二次不等式的概念一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式稱為一元二次不等式,其中a,b,c是常數(shù)，而且且.一元二次不等式中的不等號也可以是“2”等.思考1：(1)不等式x2+->0是一元二次不等式嗎？X⑵一元二次不等式的一般形式中“aWO”可以省略嗎？答案：(1)不是,一元二次不等式一定為整式不等式.⑵不可以,若a=0,就不是二次不等式了..用因式分解法解一元二次不等式一般地,如果xXx2,則不等式(x-x)(x-X2)<0的解集是3,xj,不等式(x-xj(x-x2)>0的解集是(-8,X|)U(X2,+8)..用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c>0(aW0)通過配方總是可以變?yōu)?x-h)2>k或(x-h)2〈k的形式,再由k值情況,可得原不等式的解集如表.易錯辨析1——因忽略未知項系數(shù)的符號而致誤［典例1］解不等式：(x+2)(3-x)〈0.錯解:不等式的解集為{x|-2<x<3}.糾錯:錯解的錯誤在于沒有注意到第二個括號中x的系數(shù)為負.正解:原不等式可化為(x+2)(x-3)>0,所以原不等式的解集為{x|x<-2或x>3}.易錯辨析2——因不等式兩端約分時轉(zhuǎn)化不等價而致誤［典例2］解不等式:2x(x+2)<3(x+2).錯解:不等式兩邊同除以x+2,得2x<3,則x<|.故原不等式的解集為{x|x<|}.糾錯:對不等式的兩邊同乘(或除以)相同的負值時.，不等號方向是要改變的.錯解中未考慮X+2的正負.若要對不等式兩邊同除以x+2,就應(yīng)分情況討論.正解:法一當(dāng)x+2>0,即x>-2時，2x<3,所以-2<x<|.當(dāng)x+2<0,即x<-2時,2x>3,所以無解.故原不等式的解集為{x|-2<x<1}.法二移項整理得(x+2)(2x-3)<0,解得-2<x<|,故原不等式的解集為{x|-2<x<|}..(教材習(xí)題改編)不等式x(2-x)>0的解集為(D)A.{x|x>0}B.{xx<2)C.{x|x>2或x<0}D.{x|0<x<2}解析:原不等式化為X(X-2)<0,解得0<x<2.故選D.2.已知集合M={x|x-3x-28^0},N={x|x2-x-6>0)，貝ijMAN為(A){x|-4Wx<-2或3<xW7}{x|-4〈xW-2或3Wx<7}{x|xW-2或x>3}{x|x<-2或x23}解析：因為M={x|x2-3x-28W0}二{x|-4〈xW7},N={x|x2-x_6>0}={x|x<-2或x>3},所以MGN={x|—4Wx<—2或3<xW7}.故選A..下面所給關(guān)于x的幾個不等式:①3x+4<0;②x'mxTX);③ax2+4x-7>0;@x2<0.其中一定為一元二次不等式的有.(填序號)答案:②④.解下列不等式：(1)x(7-x)^12;(2)x2>2(x-1).解：(1)原不等式可化為x2-7x+12^0,因為方程x2-7x+12=0的兩根為X1=3,x2=4,所以原不等式的解集為{x|3Wx<4}.⑵原不等式可以化為x2-2x+2>0,即(x-l)2+l>0,所以原不等式的解集為R.k>0k=0k<0(x-h)2>k轉(zhuǎn)化為1x-h>Vfc,解集為(-8,h-Vfc)U(h+V/c,+8)(-8,h)U(h,+8)R(x-h)2<k轉(zhuǎn)化為x-h<Vfc,解集為(h-Vfc,h+Vfc)00思考2:(1)關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為R,a,b,c滿足的條件是什么？⑵關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為0,a,b,c滿足的條件是什么？答案：(1){"；：="或{；2>)_八(C>0w￡-4ac<0.=或tc<0<0.4.分式不等式解分式不等式的基本思想是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.即門?g(x)-0，(2)售〉0=f(x)?g(x)>0glx)”)〉0,成如)<0,lg(x)>0Ig(%)<0;⑶售欠"⑴口，g(%)(g(x)豐0;(4)售<0=f(x)?g(x)<0g(%)[/(%)>0,Af(x)<0,Ig(%)<0%(%)>0.

元二次不等式與相應(yīng)的方程的關(guān)系如表至探究點一一元二次不等式的解法判別式A=b2-4ac△>0△二0A<0沒有一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根實ax2+bx+c=0(a>0)的根Xl,X2(X1<X2)bxH2二一孤數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x〈X］或x>x』{x|x#喂}2aRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x1X1<X<X2}00［例1］解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5^0;(3)-4x2+18x--^0.4解：(1)因為△=7-4X2X3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有兩個不等實根x.=-3,1X2.所以原不等式的解集為{xIx>—或x<-3}.⑵原不等式可化為(x-5)(x+1)W0,解得-1近x《5,所以原不等式的解集為{x|-1WxW5}.⑶原不等式可化為(2x《)2wo,解得x=2.4所以原不等式的解集為｛：｝.解一元二次不等式的方法方法一:若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為兩個一次因式的乘積形式,則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集；方法二:若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值,完全平方式始終大于或等于零,則不等式的解集易得；方法三:若上述兩種方法均不能解決，則應(yīng)采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法.針對訓(xùn)練:解下列不等式：(l)-1x'+3x-5>0;(2)-2x2+3x-2<0;(3)-x2+7x>6.解：(1)原不等式可化為x2-6x+10〈0,而x2-6x+10=(x-3)2+11,所以原不等式的解集為。.⑵原不等式可化為2x2-3x+2>0,因為A=9-4X2X2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0無實根，所以原不等式的解集為R.(3)原不等式可化為x2-7x+6<0.解方程X?-7x+6=0,得x)=l,x2=6.所以原不等式的解集為｛x|l<x<6｝.［備用例1］解不等式：-2<x2-3xW10.解:原不等式等價于不等式組:?U2-3x<10,②不等式①可化為x2-3x+2>0,解得x〉2或x〈L不等式②可化為x2-3x-10^0,解得-2WxW5.故原不等式的解集｛x|-2<x<l或2<xW5｝.至探究點二解含參數(shù)的一元二次不等式［例2］解關(guān)于x的不等式:ax?-222x-ax(a<0).解:原不等式移項得ax2+(a-2)x-220,化簡為(x+1)(ax-2)20.因為水0,所以(x+l)(xq)WO當(dāng)—2<a<0時,;WxWT;當(dāng)a=-2時,x=-l;當(dāng)水-2時，-IWxW2a綜上所述，當(dāng)-2<a<0時,解集為｛xlaWxWT｝;a當(dāng)a=-2時,解集為｛x|x=-l);當(dāng)a<-2時,解集為｛x卜a解含參數(shù)的一元二次不等式時⑴若二次項系數(shù)含有參數(shù),則需對二次項系數(shù)大于0與小于0進行討論；⑵若求對應(yīng)時一元二次方程的根需用公式,則應(yīng)對判別式△進行討論；⑶若求出的根中含有參數(shù),則應(yīng)對兩根的大小進行討論.針對訓(xùn)練：解關(guān)于X的不等式:ax2-（a-Dx-l<0（aeR）.解:原不等式可化為（ax+1）（x-l）〈O.當(dāng)a=0時,x<l;當(dāng)a>0時，（x+工）（xT）CO,所以-乂x〈l;aa當(dāng)a=-l時，,xWl;當(dāng)-時，（x+工）（xT）>0,a所以x>△或X<1；a當(dāng)a<-l時,\<1,a所以X>1或x<--.a綜上,原不等式的解集是當(dāng)a>0時，｛x|-乂x〈l｝;a當(dāng)a=0時，｛xx<l｝;當(dāng)-l<a<0時，｛x|x<l或x>--｝;a當(dāng)a="l時，｛x|xWl｝;當(dāng)a<-l時，｛x|x<,或x>l｝.a

［備用例2］若關(guān)于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解:當(dāng)a=0時，原不等式可化為2x+2>0,其解集不為R,故a=0不滿足題意,舍去；當(dāng)aWO時,要使原不等式的解集為R,只需a>0,/=22-4x2a<0,解得a>；.綜上,所求實數(shù)a的取值范圍為(i+8).⑨探究點三一元二次不等式與相應(yīng)方程的關(guān)系［例3］已知ax2+2x+c>0的解集為｛x|-2奪，試求a,c的值,并解不等式-cx'+2x-a>0.解:由ax"+2x+c>0的解集是｛x|,知a<0,且方程ax2+2x+c=0的兩根為xi=qx24由根與系數(shù)的關(guān)系知_-2ac=—>a解得｛:二2"，此時，-cx2+2x-a>0,即2x-2x-12<0,整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3,故不等式-cx，2x-a>0的解集為｛x|-2<x<3｝.一元二次不等式ax2+bx+c>0(aWO)的解集的端點值是一元二次方程ax2+bx+c=O的根.針對訓(xùn)練：已知一元二次不等式x24-px+q<0的解集為｛xlgx?,求不等式qx2+px+l>0的解集.解：因為x2+px+q<0的解集為｛x|,所以x尸一言X2三是方程x2+px+q=0的兩個實數(shù)根，｛11I孑x(w)=q，(p=［,解得|61所以不等式qx2+px+l>0即為二x2+4+l>0,整理得x2-x-6<0,解得66-2<x<3.即不等式qx2+px+l>0的解集為｛x|-2<x<3｝.解簡單分式不等式［例4］解下列不等式：⑴歿川；⑵注<3.x-3x+1解：(1)根據(jù)商的符號法則，不等式二20可轉(zhuǎn)化成不等式組x-3(%+1)(x-3)>0,303,解這個不等式組,可得xWT或x>3.即原不等式的解集為｛x|xWT或x>3).(2)不等式曳匚<3可化為2-3<0,X+lX+1即工!〈..X+1可將這個不等式轉(zhuǎn)化成2(X-1)(x+l)<0,解得-所以原不等式的解集為｛x|-1<x<1｝.對于分子、分母均含X的不等式,若一側(cè)為0,則可利用符號法則轉(zhuǎn)化為整式不等式或不等式組求解,一定要注意等價轉(zhuǎn)化,特別注意等號能否取到.若有一側(cè)不為0,要先移項將一側(cè)化為0,再轉(zhuǎn)化為整式不等式求解,要注意不可在兩邊同乘分母,直接去掉分母，因為分母的符號不確定.針對訓(xùn)練：(1)不等式pwo的解集為()2-X{x|T〈x<2}{x|-l^x<2}C.{x|xWT或x22}D.