專題16橢圓的簡單幾何性質(zhì)（知識精講）（原卷版）

專題十六橢圓的簡單幾何性質(zhì)—知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì)性質(zhì)運(yùn)用離心率求離心率，由離心率求方程二.學(xué)法指導(dǎo).由標(biāo)準(zhǔn)方程研究性質(zhì)時的兩點(diǎn)注意(1)已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定橢圓的類型.(2)焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論，找準(zhǔn)。與幾正確利用〃=加+。2求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).同時要注意長軸長、短軸長、焦距不是a,byC,而應(yīng)是242〃,2c..利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：①確定焦點(diǎn)位置；②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；③根據(jù)」知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時常用的關(guān)系式有b2=a1—c2,(2)在橢圓的簡單幾何性質(zhì)中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個..求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a,c可直接利用e=?求解.若已知小人或〃，c可借助于〃=〃+/求出c,或〃，再代入公式求解.(2)方程法：若〃，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a,b,。的齊次關(guān)系式，借助于〃2=//+理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以。的最高次幕，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得。的值或范圍..代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，則4>00直線與橢圓相交；/=0臺直線與橢圓相切；/VOO直線與橢圓相離..解決橢圓的中點(diǎn)弦問題的兩種方法（I）方程組法通過解直線方程與橢圓方程構(gòu)成的方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.（2）點(diǎn)差法設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為4（為，V）,8（X2,）嘮，將這兩點(diǎn)代入橢圓的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點(diǎn)（M）,和）和斜率公8有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”，事實(shí)上就是橢圓的垂徑定理.利用心8=1三*一號葺=一舄，轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)（X0,和）與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這是處理弦中點(diǎn)軌跡問題的常用方法.三.知識點(diǎn)貫通知識點(diǎn)1由橢圓方程研究幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程o2總噂三L3?>0)范圍一aWxW”且一bWyWb-b￡x《b且一對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸,對稱中心為原息頂點(diǎn)Ai(—a,O),A2(a,0)Bi(O,~b),%(0,b)Ai(0>-a),42(0，a)&(b,0)軸長短軸長長軸氏H4|=^焦點(diǎn)Fi(-gO),F2(cO)~(0,—c),尸2(0，c)焦距國同例題L求橢圓9.F+16）2=144的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).知識點(diǎn)二由幾何性質(zhì)求橢圓的方程

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形JL隹占的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在)，軸上標(biāo)準(zhǔn)方程宗+方=l(QQ0)92寵扁曰(>0)范圍一aWxWa且一力一bWxMb且一aWyWa對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸,對稱中心為原直頂點(diǎn)A|(一4,0),A2(4,0)Bi(0,一b),&(0,b)4(0,一辦4(0，〃)51(-—0),B2s,0)軸長短軸長IS&尸四，長軸長IAN2尸額焦點(diǎn)-l(-C,0),尸2(C,0)Fi(0,c),。2(0，c)焦距|FiF2|=2c例題2：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)橢圓過點(diǎn)(3,0),離心率e=坐；(2)在x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩個端點(diǎn)的連線G相垂直，且焦距為8；知識點(diǎn)三求橢圓的離心率(1)定義：橢圓的焦距與長軸長的比。稱為橢圓的離心率.例題3.設(shè)橢圓耒+后(2)性質(zhì)：崗心率。的范圍是皿.當(dāng)e越接近于1時，橢圓越扁;當(dāng)例題3.設(shè)橢圓耒+后的兩焦點(diǎn)為a,f2,若在橢圓上存在一點(diǎn)p,使即「港=o,求橢圓的離心率e的取值范圍.知識點(diǎn)四直線與橢圓的位置關(guān)系直線y=kx+m與橢圓a+方=的位置關(guān)系:聯(lián)立‘2+史=]消去得一個關(guān)于匯的一元二次方程?例題4.已知直線/：〃，橢圓C，+弓=1.試問當(dāng)機(jī)取何值時，直線/與橢圓C：位置關(guān)系解的個數(shù)J的取值相交西解J>0位置關(guān)系解的個數(shù)/的取值相切_解/三0相離無解J<0⑴有兩個公共點(diǎn)；(2)有且只有一個公共點(diǎn);⑶沒有公共點(diǎn).知識點(diǎn)五弦長和中點(diǎn)弦問題設(shè)直線與橢圓交于A(xi,)，i),B(X2,”)兩點(diǎn)，則有H8|=yj(xi—X2)2+(y\—>^)2=yj1+A:2--\/(xi+x2)2—4.nx2=71+￡、。1+”)2-4yL為直線斜率).例題5過橢圓會+?=1內(nèi)一點(diǎn)M(2,l)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分.(1)求此弦所在的直線方程；(2)求此弦長.知識點(diǎn)六與橢圓有關(guān)的綜合問題例題6.橢圓E：5+方=13>6>。)經(jīng)過點(diǎn)A(—2,0),且離心率為坐(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)P(4,0)任作一條直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,M在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得NPQM+NPQN=I8O。？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

五易錯點(diǎn)分析易錯一由橢圓的方程研究橢圓性質(zhì)9222例題7.橢圓7+方=與橢圓今+方=入（入>0且件1）有（）A.相同的焦點(diǎn)B.相同的頂點(diǎn)C.相同的離心率D.相同的長、短軸由橢圓的方程判斷焦點(diǎn)的位置，-與y2誰的分母大，焦點(diǎn)就在那個軸上。易錯二由橢圓