專題16橢圓的簡單幾何性質（知識精講）（原卷版）

專題十六橢圓的簡單幾何性質—知識結構圖內(nèi)容考點關注點橢圓的簡單幾何性質橢圓的簡單幾何性質性質運用離心率求離心率，由離心率求方程二.學法指導.由標準方程研究性質時的兩點注意(1)已知橢圓的方程討論性質時，若不是標準形式的先化成標準形式，再確定焦點的位置，進而確定橢圓的類型.(2)焦點位置不確定的要分類討論，找準。與幾正確利用〃=加+。2求出焦點坐標，再寫出頂點坐標.同時要注意長軸長、短軸長、焦距不是a,byC,而應是242〃,2c..利用橢圓的幾何性質求標準方程的思路(1)利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：①確定焦點位置；②設出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)；③根據(jù)」知條件構造關于參數(shù)的關系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時常用的關系式有b2=a1—c2,(2)在橢圓的簡單幾何性質中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標準方程可能有兩個..求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a,c可直接利用e=?求解.若已知小人或〃，c可借助于〃=〃+/求出c,或〃，再代入公式求解.(2)方程法：若〃，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a,b,。的齊次關系式，借助于〃2=//+理，轉化為關于a,c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以。的最高次幕，得到關于e的方程或不等式，即可求得。的值或范圍..代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關系判斷直線與橢圓的位置關系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關于另一個變量的一元二次方程，則4>00直線與橢圓相交；/=0臺直線與橢圓相切；/VOO直線與橢圓相離..解決橢圓的中點弦問題的兩種方法（I）方程組法通過解直線方程與橢圓方程構成的方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系及中點坐標公式求解.（2）點差法設直線與橢圓的交點（弦的端點）坐標為4（為，V）,8（X2,）嘮，將這兩點代入橢圓的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點（M）,和）和斜率公8有關的式子，可以大大減少運算量.我們稱這種代點作差的方法為“點差法”，事實上就是橢圓的垂徑定理.利用心8=1三*一號葺=一舄，轉化為中點（X0,和）與直線AB的斜率之間的關系，這是處理弦中點軌跡問題的常用方法.三.知識點貫通知識點1由橢圓方程研究幾何性質焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上圖形焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上標準方程o2總噂三L3?>0)范圍一aWxW”且一bWyWb-b￡x《b且一對稱性對稱軸為坐標軸,對稱中心為原息頂點Ai(—a,O),A2(a,0)Bi(O,~b),%(0,b)Ai(0>-a),42(0，a)&(b,0)軸長短軸長長軸氏H4|=^焦點Fi(-gO),F2(cO)~(0,—c),尸2(0，c)焦距國同例題L求橢圓9.F+16）2=144的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標和頂點坐標.知識點二由幾何性質求橢圓的方程

焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形JL隹占的位置焦點在X軸上焦點在)，軸上標準方程宗+方=l(QQ0)92寵扁曰(>0)范圍一aWxWa且一力一bWxMb且一aWyWa對稱性對稱軸為坐標軸,對稱中心為原直頂點A|(一4,0),A2(4,0)Bi(0,一b),&(0,b)4(0,一辦4(0，〃)51(-—0),B2s,0)軸長短軸長IS&尸四，長軸長IAN2尸額焦點-l(-C,0),尸2(C,0)Fi(0,c),。2(0，c)焦距|FiF2|=2c例題2：求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)橢圓過點(3,0),離心率e=坐；(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線G相垂直，且焦距為8；知識點三求橢圓的離心率(1)定義：橢圓的焦距與長軸長的比。稱為橢圓的離心率.例題3.設橢圓耒+后(2)性質：崗心率。的范圍是皿.當e越接近于1時，橢圓越扁;當例題3.設橢圓耒+后的兩焦點為a,f2,若在橢圓上存在一點p,使即「港=o,求橢圓的離心率e的取值范圍.知識點四直線與橢圓的位置關系直線y=kx+m與橢圓a+方=的位置關系:聯(lián)立‘2+史=]消去得一個關于匯的一元二次方程?例題4.已知直線/：〃，橢圓C，+弓=1.試問當機取何值時，直線/與橢圓C：位置關系解的個數(shù)J的取值相交西解J>0位置關系解的個數(shù)/的取值相切_解/三0相離無解J<0⑴有兩個公共點；(2)有且只有一個公共點;⑶沒有公共點.知識點五弦長和中點弦問題設直線與橢圓交于A(xi,)，i),B(X2,”)兩點，則有H8|=yj(xi—X2)2+(y\—>^)2=yj1+A:2--\/(xi+x2)2—4.nx2=71+￡、。1+”)2-4yL為直線斜率).例題5過橢圓會+?=1內(nèi)一點M(2,l)引一條弦，使弦被M點平分.(1)求此弦所在的直線方程；(2)求此弦長.知識點六與橢圓有關的綜合問題例題6.橢圓E：5+方=13>6>。)經(jīng)過點A(—2,0),且離心率為坐(1)求橢圓E的方程；(2)過點P(4,0)任作一條直線/與橢圓C交于不同的兩點M,M在x軸上是否存在點Q,使得NPQM+NPQN=I8O。？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

五易錯點分析易錯一由橢圓的方程研究橢圓性質9222例題7.橢圓7+方=與橢圓今+方=入（入>0且件1）有（）A.相同的焦點B.相同的頂點C.相同的離心率D.相同的長、短軸由橢圓的方程判斷焦點的位置，-與y2誰的分母大，焦點就在那個軸上。易錯二由橢圓