2023屆湖南省衡陽市雁峰區(qū)第八中學(xué)高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)m,n為直線,、為平面,則的一個充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,2.著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.40403.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A. B. C.1 D.4.設(shè),其中a,b是實數(shù),則()A.1 B.2 C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.6.已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合,則雙曲線的離心率為()A. B. C.3 D.47.已知在平面直角坐標(biāo)系中,圓:與圓:交于,兩點,若,則實數(shù)的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-28.已知點、.若點在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點的個數(shù)為()A. B. C. D.9.集合的子集的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.810.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.11.已知全集,集合,則()A. B. C. D.12.復(fù)數(shù)()A. B. C.0 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究,從其中一些數(shù)學(xué)用語可見,譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖(圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1)如圖所示,已知幾何體高為,則該幾何體外接球的表面積為__________.14.雙曲線的焦點坐標(biāo)是_______________,漸近線方程是_______________.15.設(shè)變量,,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是______.16.函數(shù)的值域為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等腰梯形中(如圖1),,,為線段的中點,、為線段上的點,,現(xiàn)將四邊形沿折起(如圖2)(1)求證:平面;(2)在圖2中,若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點處的切線方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有兩個實數(shù)根,且,證明:.19.(12分)已知三點在拋物線上.(Ⅰ)當(dāng)點的坐標(biāo)為時,若直線過點,求此時直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當(dāng),且時,求面積的最小值.20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,求的最大值.21.(12分)設(shè)都是正數(shù),且,.求證:.22.(10分)橢圓:的左、右焦點分別是,,離心率為,左、右頂點分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、(不與點、重合),直線與直線相交于點,求證:、、三點共線.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】對于A選項,當(dāng),,時,由于不在平面內(nèi),故無法得出.對于B選項,由于,,所以.故B選項正確.對于C選項,當(dāng),時,可能含于平面,故無法得出.對于D選項,當(dāng),時,無法得出.綜上所述,的一個充分條件是“,”故選:B【點睛】本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

計算,代入等式,根據(jù)化簡得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點睛】本題考查了斐波那契數(shù)列,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.3、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足,利用復(fù)數(shù)的除法求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)z滿足,所以,所以z的虛部為.故選:D.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.【詳解】執(zhí)行該程序可得.故選:D.【點睛】本題考查程序框圖.解題可模擬程序運行,觀察變量值的變化,然后可得結(jié)論,也可以由程序框圖確定程序功能,然后求解.6、A【解析】

根據(jù)題意,由拋物線的方程可得其焦點坐標(biāo),由此可得雙曲線的焦點坐標(biāo),由雙曲線的幾何性質(zhì)可得,解可得,由離心率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,拋物線的焦點為,則雙曲線的焦點也為,即,則有,解可得,雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是求出拋物線焦點的坐標(biāo),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、D【解析】

由可得,O在AB的中垂線上,結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上,從而可求.【詳解】因為,所以O(shè)在AB的中垂線上,即O在兩個圓心的連線上,,,三點共線,所以,得,故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用,幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.8、C【解析】

設(shè)出點的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計算出點到直線的距離,利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,即,設(shè)點到直線的距離為,則,解得,另一方面,由點到直線的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿足條件的點共有三個.故選:C.【點睛】本題考查三角形面積的計算,涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.9、D【解析】

先確定集合中元素的個數(shù),再得子集個數(shù).【詳解】由題意,有三個元素,其子集有8個.故選:D.【點睛】本題考查子集的個數(shù)問題,含有個元素的集合其子集有個,其中真子集有個.10、D【解析】

利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.11、D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合,由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】,,,.故選:.【點睛】本題考查集合運算中的補(bǔ)集和交集運算問題,涉及到函數(shù)定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】略二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】三視圖還原如下圖:,由于每個面是直角,顯然外接球球心O在AC的中點.所以,,填?!军c睛】三視圖還原,當(dāng)出現(xiàn)三個尖點在一個位置時,我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等,而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等,所以本題的球心為AC中點。14、【解析】

通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求解,,即可得到所求的結(jié)果.【詳解】由雙曲線,可得,,則,所以雙曲線的焦點坐標(biāo)是,漸近線方程為:.故答案為:;.【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了運算能力,屬于容易題.15、7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線l:z=2x+3y進(jìn)行平移,當(dāng)l經(jīng)過點A時,目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值∴z最小值=F(2,1)=716、【解析】

利用換元法,得到,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可得到函數(shù)的值域,得到答案.【詳解】由題意,可得,令,,即,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在為增函數(shù),在為減函數(shù),又,,,故函數(shù)的值域為:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,其中解答中合理利用換元法得到函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與預(yù)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】

(1)先連接,根據(jù)線面平行的判定定理,即可證明結(jié)論成立;(2)在圖2中,過點作,垂足為,連接,,證明平面平面,得到點在底面上的投影必落在直線上,記為點在底面上的投影,連接,,得出即是直線與平面所成角,再由題中數(shù)據(jù)求解,即可得出結(jié)果.【詳解】(1)連接,因為等腰梯形中(如圖1),,,所以與平行且相等,即四邊形為平行四邊形;所以;又為線段的中點,為中點,易得:四邊形也為平行四邊形,所以;將四邊形沿折起后,平行關(guān)系沒有變化,仍有:,且,所以翻折后四邊形也為平行四邊形;故;因為平面,平面,所以平面;(2)在圖2中,過點作,垂足為,連接,,因為,,翻折前梯形的高為,所以,則,;所以;又,,所以,即,所以;又,且平面,平面,所以平面;因此,平面平面;所以點在底面上的投影必落在直線上;記為點在底面上的投影,連接,,則平面;所以即是直線與平面所成角,因為,所以,因此,,故;因為,所以,因此,故,所以.即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查證明線面平行,以及求直線與平面所成的角,熟記線面平行的判定定理,以及線面角的求法即可,屬于??碱}型.18、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(Ⅱ)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)(Ⅱ)的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè)的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】(Ⅰ)由題,故.且.故在點處的切線方程為.(Ⅱ)設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當(dāng)時,此時,且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿足題意;當(dāng)時,此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;當(dāng)時,此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;故(Ⅲ).由(Ⅰ),在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因為,,故設(shè)的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數(shù)根,故.結(jié)合(Ⅰ)(Ⅱ)有,在上恒成立.設(shè)的解為,則;設(shè)的解為,則.故,.故,得證.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】

(Ⅰ)設(shè)出直線的方程并代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理以及斜率公式,變形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐標(biāo),,再用基本不等式求得的最小值,從而可得三角形的面積的最小值.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨設(shè)的三個頂點中的兩個頂點在軸右側(cè)(包括軸),設(shè),,,的斜率為,又,則,①因為,所以②由①②得,,(且)從而當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號,從而,所以面積的最小值為.【點睛】本題考查了直線與拋物線的綜合,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于,采用參變分離的方法分離出,并將的部分構(gòu)造成新函數(shù),分析與最值之間的關(guān)系;(2)通過對的導(dǎo)函數(shù)分析,確定有唯一零點,則就是的極大值點也是最大值點,計算的值并利用進(jìn)行化簡,從而確定.【詳解】(1)由題意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以.(2)當(dāng)時,.則,令,則,所以在上單調(diào)遞減.由于,,所以存在滿足,即.當(dāng)時,,;當(dāng)時,,.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,因為,所以,所以,所以.【點睛】(1)求函數(shù)中字母的范圍時,常用的方法有兩種:參變分離法、分類討論法;(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點時,需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨分析,以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點所在區(qū)間,再分析整個函數(shù)的單調(diào)性,最后確定出函數(shù)的最值.21、證明見解析【解析】

利用比較法進(jìn)行證

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