2023屆江西省贛州市于都縣二中高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中，，為的中點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．22．已知α，β是兩平面，l，m，n是三條不同的直線(xiàn)，則不正確命題是（）A．若m⊥α，n//α，則m⊥n B．若m//α，n//α，則m//nC．若l⊥α，l//β，則α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，則l//β3．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．34．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．55．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）A． B． C． D．6．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．72 B．64 C．48 D．327．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．8．已知雙曲線(xiàn)，過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)左、右兩支P，Q兩點(diǎn)，以線(xiàn)段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，則雙曲線(xiàn)離心率為A． B． C．2 D．9．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．10．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則A． B．C． D．11．的展開(kāi)式中，滿(mǎn)足的的系數(shù)之和為（）A． B． C． D．12．已知F是雙曲線(xiàn)（k為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______．14．如圖，在等腰三角形中，已知，，分別是邊上的點(diǎn)，且,其中且，若線(xiàn)段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是_____.15．如果復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，那么______（為虛數(shù)單位）.16．已知非零向量，滿(mǎn)足，且，則與的夾角為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.18．（12分）在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷(xiāo)，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷(xiāo)價(jià)格(元)產(chǎn)品銷(xiāo)量(件)已知變量且有線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線(xiàn)方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？（2）若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)，則稱(chēng)該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為的概率.19．（12分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求的面積.20．（12分）已知橢圓，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn).（1）若，求直線(xiàn)的方程；（2）設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)過(guò)軸上的定點(diǎn).21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線(xiàn)MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.22．（10分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+2b+3c=m，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.2、B【解析】

根據(jù)線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直和空間角的知識(shí)，判斷A選項(xiàng)的正確性.由線(xiàn)面平行有關(guān)知識(shí)判斷B選項(xiàng)的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理，判斷C選項(xiàng)的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】A．若，則在中存在一條直線(xiàn)，使得，則，又，那么，故正確；B．若，則或相交或異面，故不正確；C．若，則存在，使，又，則，故正確．D．若，且，則或，又由，故正確．故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計(jì)算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問(wèn)題的基本思路，屬于中檔題．4、D【解析】

由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】由題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5、D【解析】

由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，滿(mǎn)足，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)，滿(mǎn)足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)，即，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題.線(xiàn)性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.6、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解?！驹斀狻坑深}意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線(xiàn)在三視圖中為實(shí)線(xiàn)，不可見(jiàn)輪廓線(xiàn)在三視圖中為虛線(xiàn)。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線(xiàn)面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。7、B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵；幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.8、B【解析】

求得直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和雙曲線(xiàn)的方程，求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】設(shè)，依題意直線(xiàn)的方程為，代入雙曲線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得，故，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.9、D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過(guò)可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過(guò)正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.10、B【解析】

由可得，所以，故選B．11、B【解析】

，有，，三種情形，用中的系數(shù)乘以中的系數(shù)，然后相加可得．【詳解】當(dāng)時(shí)，的展開(kāi)式中的系數(shù)為．當(dāng)，時(shí)，系數(shù)為；當(dāng)，時(shí)，系數(shù)為；當(dāng)，時(shí)，系數(shù)為；故滿(mǎn)足的的系數(shù)之和為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式乘法是解題關(guān)鍵．12、D【解析】

分析可得,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線(xiàn)的方程；當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長(zhǎng),所以點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的距離為2.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、40【解析】

根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式，求得r的值，進(jìn)而求得系數(shù)．【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式的通項(xiàng)式得所以，解得所以系數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

根據(jù)條件及向量數(shù)量積運(yùn)算求得,連接,由三角形中線(xiàn)的性質(zhì)表示出.根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積公式表示出,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】根據(jù)題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數(shù)量積運(yùn)算可知線(xiàn)段的中點(diǎn)分別為則由向量減法的線(xiàn)性運(yùn)算可得所以因?yàn)?代入化簡(jiǎn)可得因?yàn)樗援?dāng)時(shí),取得最小值因而故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,向量的線(xiàn)性運(yùn)算及模的求法,二次函數(shù)最值的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、（或?qū)懗桑窘馕觥?/p>

設(shè)與的夾角為，通過(guò)，可得，化簡(jiǎn)整理可求出，從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)求出公差，從而求出，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】（1），且，，依次成等比數(shù)列，，即：，，，，，；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和法，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）乙同學(xué)正確；（2）.【解析】

（1）根據(jù)變量且有線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線(xiàn)方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，判斷出乙正確.（2）由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算出誤差，求得“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，由此利用古典概型概率計(jì)算公式，求得所求概率.【詳解】（1）已知變量具有線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，，代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表：021212由上表可知，“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為.用列舉法可知，從個(gè)不同數(shù)據(jù)里抽出個(gè)不同數(shù)據(jù)的方法有種.從符合條件的個(gè)不同數(shù)據(jù)中抽出個(gè)，還要在不符合條件的個(gè)不同數(shù)據(jù)中抽出個(gè)的方法有種.故所求概率為【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線(xiàn)方程的判斷，考查古典概型概率計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）或【解析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；（2）由（1）可求，結(jié)合范圍，可求的值，由余弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）∴最小正周期.（2）由（1）知，∴∴，又∴或.解得或當(dāng)時(shí)，由余弦定理得即，解得.此時(shí).當(dāng)時(shí)，由余弦定理得.即，解得.此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）或；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線(xiàn)的方程，則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，而點(diǎn)在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線(xiàn)的斜率；（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出，然后直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程，消元后得到關(guān)于的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線(xiàn)的方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）由條件可知直線(xiàn)的斜率存在，則可設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，由，有，所以，由在橢圓上，則，解得，此時(shí)在橢圓內(nèi)部，所以滿(mǎn)足直線(xiàn)與橢圓相交，故所求直線(xiàn)方程為或.（也可聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，由驗(yàn)證）（2）設(shè)，則，直線(xiàn)的方程為