廣義胡克定律

§10.4 空間應(yīng)力狀態(tài)及廣義胡克定律一、 空間應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介當(dāng)單元體上三個(gè)主應(yīng)力均不為零時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)稱為空間應(yīng)力狀態(tài)，也稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。本節(jié)只討論在已知主應(yīng)力 ?！?。尸氣的條件下，單元體的最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。先研究一個(gè)與 。1平行的斜截面上的應(yīng)力情況，如圖 10-16(a)所示。該斜面上的應(yīng)力o、t與氣無關(guān)，只由主應(yīng)力氣、。：決定。于是，可由氣、。：確定的應(yīng)1 2 3 2 3力圓周上的點(diǎn)來表示平行于氣某個(gè)斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。同理，在平行于 。2或氣的斜面上的應(yīng)力O、T，也可分別由(。「氣)或(氣、％)確定的應(yīng)力圓來表示。這樣作出的3個(gè)應(yīng)力圓稱作三向應(yīng)力圓，如圖 10-16(d)所示。當(dāng)與三個(gè)主應(yīng)力均不平行的任意斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力必然處在三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影范圍之內(nèi)的某一點(diǎn)D。D點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)值即為該斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。由于 D點(diǎn)的確定比較復(fù)雜且不常用，在此不作進(jìn)一步介紹。圖10-16空間應(yīng)力狀態(tài)及其應(yīng)力圓二、最大、最小正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力從圖10-16(d)看出，在三個(gè)應(yīng)力圓中，由氣、。3所確定的應(yīng)力圓是三個(gè)應(yīng)力圓中最大的應(yīng)力圓，又稱極限應(yīng)力圓。畫陰影線的部分內(nèi)，橫坐標(biāo)的極大值為 Al點(diǎn)，而極小值為B1點(diǎn)，因此，單元體正應(yīng)力的極值為：、氣，”。3單元體中任意斜面上的應(yīng)力一定在。1和％之間。而最大剪應(yīng)力則等于最大應(yīng)力圓上 Gl點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即等于該應(yīng)力圓半徑：_CT1-CT3max2Gl點(diǎn)在由氣和氣所確定的圓周上，此圓周上各點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)就是與％軸平行的一組斜截面上的應(yīng)力，所以單元體的最大剪應(yīng)力所在的平面與 。2軸平行，且與。1和。3主平面交45o。三、廣義胡克定律在研究單向拉伸與壓縮時(shí)，已經(jīng)知道了在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，滿足胡克定律b=E￡ （a）此外，軸向變形還將引起橫向尺寸的變化，橫向線應(yīng)變根據(jù)材料的泊松比可得出：(b)在純剪切的情況下，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在剪應(yīng)力不超過剪切比例極限時(shí)，剪應(yīng)力和剪應(yīng)變之間的關(guān)系服從剪切胡克定律，即_Tc=Gy 或丫=g （c）對(duì)于復(fù)雜受力情況，描述物體一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常需要 9個(gè)應(yīng)力分量，如圖10.1所示。根據(jù)剪應(yīng)力互等定律，T二—T，T二—T，T二—T，因而，在這9個(gè)應(yīng)xy yxxz zxyz zy力分量中只有6個(gè)是獨(dú)立的。這種情況可以看成是三組單向應(yīng)力（圖10-17）和三組純剪切的組合。對(duì)于各向同性材料，在線彈性范圍內(nèi)，處于小變形時(shí)，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，與剪應(yīng)力無關(guān)；而剪應(yīng)變只與剪應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)，并且剪應(yīng)力只能引起與其相對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變分量的改變，而不會(huì)影響其它方向上的剪應(yīng)變。因此，求線應(yīng)變時(shí)，可不考慮剪應(yīng)力的影響，求剪應(yīng)變時(shí)不考慮正應(yīng)力的影響。于是只要利用（a）、（b）、（c）三式求出與各個(gè)應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量，然后進(jìn)行疊加即可。(C)(d)(C)(d)圖10-17應(yīng)力分解如在正應(yīng)力。x如在正應(yīng)力。x單獨(dú)作用時(shí)（圖10-17（b））,E_b單元體在x方向的線應(yīng)變口E；在叫在叫單獨(dú)作用時(shí)（圖10-17（c）），單元體在bx方向的線應(yīng)變?yōu)椋黑觥癊；^_b在&單獨(dú)作用時(shí)（圖10-17（d）），單元體在x方向的線應(yīng)變?yōu)閤廣四衛(wèi)在ox、oy、oz共同作用下，單元體在x方向的線應(yīng)變?yōu)椋骸陎=￡xx+S巧+￡x=%__^5^_^^=A「b-g(b+b)EEEExy/同理，可求出單元體在y和Z方向的線應(yīng)變ey和ez。最后得1氣=E「bx-g（by+氣）］1(10-9)%=E「七"（氣+bx）(10-9)1￡廣E「b廣的x+氣）］對(duì)于剪應(yīng)變與剪應(yīng)力之間，由于剪應(yīng)變只與剪應(yīng)力有關(guān)，并且剪應(yīng)力只能引起與其相對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變分量的改變， 而不會(huì)影響其它方向上的剪應(yīng)變。 因而仍然是（c）式所表示的關(guān)系。這樣，在xy、yz、zx三個(gè)面內(nèi)的剪應(yīng)變分別是

1 2（1+口）疽GTxy=^T~Txy七v_1 _2（1+g） 奴y廣G氣=^^Ty^ f （10-10）1 2（1+閔 Jzx=Gzx=~E~吃公式（10-9）和（10-10）就是三向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的廣義胡克定律。當(dāng)單元體的六個(gè)面是主平面時(shí)，使 X、y、z的方向分別與主應(yīng)力氣、％、氣的方向一致，這時(shí)有b=b1Q=Q2b=。3T=0,T=0,T=0,廣義胡克定律化為：蕓1=E卜1_貝。2+b3)] 〉(10-11)￡2=E[氣一P(氣+b1(10-11)%昏**Y=0,Y=0,Y=0e、e、e方向分別與主應(yīng)力。、。、。的方向一致，稱為一點(diǎn)處的主應(yīng)變。三1 2 3 1 2 3個(gè)主應(yīng)變按代數(shù)值的大小排列，eI法e,法孔，其中，e1和分別是該點(diǎn)處沿各方向1 2 3 1 3線應(yīng)變的最大值和最小值。變形后的體積為：v1=四、體積應(yīng)變變形后的體積為：v1=單位體積的改變稱為體積應(yīng)變（體應(yīng)變）。圖10-18所示的主單元體，邊長分別是dx、dy和dz。在3個(gè)互相垂直的面上有主應(yīng)力?！钙吆?。3。單元體變形前的體積為：v=dxdydz;(dx+e1dx)(dy+e2dy)(dz+e3dz)

則體積應(yīng)變?yōu)?Avv一v (dx+edx)(dy+edy>)(dz+￡dz)-dxdydzH=——= = 1 2 3vv dxdydz=(1+E)(1+￡)(1+E)—1=￡+￡+8+88+8￡+88+88￡x y z 123122331123略去高階微量，得H=8+8+8123將廣義胡克定律式（10-11）代入上式，得到以應(yīng)力表示的體積應(yīng)變1—2口(10-12)(10-13)(10-14)H=81+82+83= ￡(b]+b2(10-12)(10-13)(10-14)H=3(1-21Rm=%(10-15)一E(10-15)E式中：3（1-2口）稱為體積彈性模量，om式中：公式（10-15）表明，體積應(yīng)變。與平均主應(yīng)力。m成正比，即體積胡克定律。單位體積的體積改變只與三個(gè)主應(yīng)力之和有關(guān)，至于三個(gè)主應(yīng)力之間的比例對(duì)體積應(yīng)變沒有影響。若將圖10-19（a）中所示單元體分解為（b）和（c）兩種情況的疊加，在（c）圖中，由于各面上的主應(yīng)力為平均主應(yīng)力，該單元體各邊長按相同比例伸長或縮短，所以單元體只發(fā)生體積改變而不發(fā)生形狀改變。在圖（b）中，三個(gè)主應(yīng)力之和為零，由式（10-13）可得其體積應(yīng)變。也為零，表明該單元體只發(fā)生形狀改變而不發(fā)生體積改變。由此可知，圖（ a）所示的單元體的變形將同時(shí)包括體積改變和形狀改變。

圖10-19圖10-19單元體應(yīng)力的組合五、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈性變形比能彈性變形比能是指物體在外力作用處于彈性狀態(tài)下， 在單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的變形能。在單向應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)應(yīng)力。與應(yīng)變e滿足線性關(guān)系時(shí)，根據(jù)外力功和應(yīng)變能在數(shù)值上相等的關(guān)系，導(dǎo)出變形比能的計(jì)算公式為在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的單元體的變形比能為u=\。￡+a&+ae)211 22 33將將廣義胡克定律(10.11)式代入上式，經(jīng)過整理后得出:u=2E{j1[ct1-p(a2+a3)]+b2卜2-g(a1+a3)]+a3卜3-p(a2+a「]}(10-16)2el。1+a2+a2-2p(ap2+a2a3+a3a1)(10-16)式(10-16)就是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下桿件的彈性變形比能計(jì)算公式。由于單元體的變形包括體積改變和形狀改變，所以變形比能也可以看成由體積改變比能和形狀改變比能這兩部分的組合。u=ue+ud式中：ue為體積改變比能，ud為形狀改變比能。

對(duì)于圖（10-19（c））中的單元體，各面上的正應(yīng)力為：七=腳1-2+°3），將。m代入式（10-16）得體積改變比能:TOC\o"1-5"\h\zu=——Ib2+b2+b2一2四(b2+b2+b2)

0 2Emmm mmm1一蟲(b+b+b)2(10-17)6E(10-17)形狀改變比能:1 1—2u,. 、u=u—u= Ib2+b2+b2—2四(bb+bb+bb)I— (b+b+b)2d 02EL1 2 3 12 23 31，」 6E 1 2 3’1+g—ELb2+b2+b2-b1b2—b2b3—b3b1(10-18)鹽［(b1"b2”+(b2一b3)2+(b3(10-18)例10-7如圖10-20所示鋼梁，在梁的A點(diǎn)處測(cè)得線應(yīng)變氣=400X10-6,e廣-120X瑚6,試求：a點(diǎn)處沿x、y方向的正應(yīng)力和z方向的線應(yīng)變。已知彈性模